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Aproximación de ajuste |
Conceptos |
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Órdenes de aproximación Análisis de escala · Notación Big O Ajuste de curvas · Falsa precisión Cifras significativas |
Otros fundamentos |
Aproximación · Error de generalización Polinomio de Taylor Modelado científico |
Las cifras significativas (también conocidas como dígitos significativos , precisión o resolución ) de un número en notación posicional son dígitos en el número que son confiables y absolutamente necesarios para indicar la cantidad de algo. Si un número que expresa el resultado de la medición de algo (p. Ej., Longitud, presión, volumen o masa) tiene más dígitos que los permitidos por la resolución de la medición, solo los dígitos permitidos por la resolución de la medición son confiables y, por lo tanto, solo estos pueden ser cifras significativas. Por ejemplo, si una medida de longitud da 114,8 mm mientras que el intervalo más pequeño entre las marcas de la regla utilizada en la medida es de 1 mm, entonces los primeros tres dígitos (1, 1 y 4, y estos muestran 114 mm) solo son confiables, por lo que pueden ser cifras significativas. Entre estos dígitos, hay incertidumbre en el último dígito (8, para agregar 0,8 mm) pero también se considera como una cifra significativa [1] ya que los dígitos son inciertos pero confiablesse consideran cifras significativas. Otro ejemplo es una medición de volumen de 2,98 L con una incertidumbre de ± 0,05 L. El volumen real está entre 2,93 L y 3,03 L. Incluso si los tres dígitos no son seguros (por ejemplo, el volumen real puede ser 2,94 L pero también sea 3.02 L.) pero confiables ya que estos indican el volumen real con la incertidumbre aceptable. Entonces, estas son cifras significativas. [2]
Los siguientes dígitos no son cifras significativas. [3]
De las cifras significativas en un número, la más significativa es el dígito con el valor de exponente más alto (simplemente la cifra más significativa a la izquierda), y la menos significativa es el dígito con el valor de exponente más bajo (simplemente la cifra más significativa a la derecha) . Por ejemplo, en el número "123", el "1" es la cifra más significativa, ya que cuenta cientos (10 2 ), y "3" es la cifra menos significativa, ya que cuenta unos (10 0 ).
La aritmética de significancia es un conjunto de reglas aproximadas para mantener aproximadamente la significancia a lo largo de un cálculo. Las reglas científicas más sofisticadas se conocen como propagación de la incertidumbre .
Los números a menudo se redondean para evitar informar cifras insignificantes. Por ejemplo, crearía una precisión falsa expresar una medida como 12,34525 kg si la escala solo se midiera al gramo más cercano. En este caso, las cifras significativas son los primeros 5 dígitos del dígito más a la izquierda (1, 2, 3, 4 y 5), y el número debe redondearse a las cifras significativas para que sea 12,345 kg como el valor confiable. Los números también se pueden redondear simplemente por simplicidad en lugar de indicar una precisión de medición, por ejemplo, para hacer que los números se pronuncien más rápidamente en las transmisiones de noticias.
La raíz 10 (base-10, números decimales) se asume a continuación.
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Tenga en cuenta que identificar las cifras significativas en un número requiere saber qué dígitos son confiables (por ejemplo, conociendo la resolución de medición o informe con la que se obtiene o procesa el número) ya que solo los dígitos confiables pueden ser significativos; por ejemplo, 3 y 4 en 0,00234 g no son significativos si el peso más pequeño medible es 0,001 g. [4]
La importancia de los ceros finales en un número que no contiene un punto decimal puede ser ambigua. Por ejemplo, es posible que no siempre esté claro si el número 1300 es exacto a la unidad más cercana (solo casualmente resulta ser un múltiplo exacto de cien) o si solo se muestra a las centenas más cercanas debido al redondeo o la incertidumbre. Existen muchas convenciones para abordar este problema. Sin embargo, estos no se usan universalmente y solo serían efectivos si el lector está familiarizado con la convención:
Como las convenciones anteriores no son de uso general, las siguientes opciones más ampliamente reconocidas están disponibles para indicar la importancia del número con ceros finales:
El redondeo a cifras significativas es una técnica de uso más general que el redondeo a n dígitos, ya que maneja números de diferentes escalas de manera uniforme. Por ejemplo, la población de una ciudad solo puede conocerse al millar más cercano y establecerse como 52,000, mientras que la población de un país solo puede conocerse al millón más cercano y establecerse como 52,000,000. El primero puede tener un error de cientos y el último puede tener un error de cientos de miles, pero ambos tienen dos cifras significativas (5 y 2). Esto refleja el hecho de que la importancia del error es la misma en ambos casos, en relación con el tamaño de la cantidad que se mide.
Para redondear un número an cifras significativas: [9] [10]
En los cálculos financieros, un número a menudo se redondea a un número determinado de lugares. Por ejemplo, a dos lugares después del separador decimal para muchas monedas del mundo. Esto se hace porque una mayor precisión es irrelevante y, por lo general, no es posible liquidar una deuda de menos de la unidad monetaria más pequeña.
En las declaraciones de impuestos personales del Reino Unido, los ingresos se redondean a la libra más cercana, mientras que los impuestos pagados se calculan al centavo más cercano.
Como ilustración, la cantidad decimal 12,345 se puede expresar con varios números de cifras significativas o lugares decimales. Si no hay suficiente precisión disponible, el número se redondea de alguna manera para que se ajuste a la precisión disponible. La siguiente tabla muestra los resultados de varias precisiones totales en dos formas de redondeo (N / A significa No aplicable).
Precisión | Redondeado a cifras significativas | Redondeado a lugares decimales |
---|---|---|
6 | 12.3450 | 12.345000 |
5 | 12.345 | 12.34500 |
4 | 12,34 o 12,35 | 12.3450 |
3 | 12,3 | 12.345 |
2 | 12 | 12,34 o 12,35 |
1 | 10 | 12,3 |
0 | N / A | 12 |
Otro ejemplo para 0.012345 . (Recuerde que los ceros iniciales no son significativos).
Precisión | Redondeado a cifras significativas | Redondeado a lugares decimales |
---|---|---|
7 | 0.01234500 | 0.0123450 |
6 | 0.0123450 | 0.012345 |
5 | 0.012345 | 0.01234 o 0.01235 |
4 | 0.01234 o 0.01235 | 0.0123 |
3 | 0.0123 | 0,012 |
2 | 0,012 | 0,01 |
1 | 0,01 | 0.0 |
0 | N / A | 0 |
La representación de un número x distinto de cero con una precisión de p dígitos significativos tiene un valor numérico que viene dado por la fórmula: [ cita requerida ]
que puede necesitar escribirse con una marca específica como se detalla anteriormente para especificar el número de ceros finales significativos.
Se recomienda que el resultado de una medición incluya la incertidumbre de la medición, por ejemplo , donde x mejor y σ x son la mejor estimación y la incertidumbre en la medición, respectivamente. [11] x mejor puede ser el promedio de los valores medidos y σ x puede ser la desviación estándar o un múltiplo de la desviación de la medición. Las reglas para escribir son: [12]
En química (y también puede serlo para otras ramas científicas), la incertidumbre puede estar implícita en la última cifra significativa si no se expresa explícitamente. [2]La incertidumbre implícita es ± la mitad de la escala mínima en la última posición de la cifra significativa. Por ejemplo, si el volumen de agua en una botella se informa como 3,78 L sin mencionar la incertidumbre, entonces puede estar implícita una incertidumbre de medición de ± 0,005 L. Si se mide 2,97 ± 0,07 kg, por lo que el peso real está entre 2,90 y 3,04 kg, y se desea informar con un solo número, entonces 3,0 kg es el mejor número para informar, ya que su incertidumbre implícita ± 0,05 kg indica la rango de peso de 2,95 a 3,05 kg que está cerca del rango de medición. Si 2,97 ± 0,09 kg, 3,0 kg sigue siendo lo mejor, ya que, si se informa de 3 kg, su incertidumbre implícita ± 0,5 indica que el rango de 2,5 a 3,5 kg es demasiado amplio en comparación con el rango de medición.
Si existe la necesidad de escribir la incertidumbre implícita de un número, entonces se puede escribir como si fuera la incertidumbre implícita (para evitar que los lectores la reconozcan como la incertidumbre de medición), donde x y σ x son el número con una dígito cero adicional (para seguir las reglas para escribir la incertidumbre anterior) y la incertidumbre implícita de la misma, respectivamente. Por ejemplo, 6 kg con la incertidumbre implícita ± 0,5 kg pueden expresarse como 6,0 ± 0,5 kg.
Como existen reglas para determinar las cifras significativas en cantidades medidas directamente , también existen pautas (no reglas) para determinar las cifras significativas en cantidades calculadas a partir de estas cantidades medidas .
Las cifras significativas en cantidades medidas son más importantes en la determinación de cifras significativas en cantidades calculadas con ellas. Una constante matemática o física (por ejemplo, π en la fórmula para el área de un círculo con radio r como π r 2 ) no tiene ningún efecto en la determinación de las cifras significativas en el resultado de un cálculo con ella si sus dígitos conocidos son iguales ao más que las cifras significativas en las cantidades medidas utilizadas en el cálculo. Un número exacto como ½ en la fórmula para la energía cinética de una masa m con velocidad vya que ½ mv 2 no influye en las cifras significativas de la energía cinética calculada, ya que su número de cifras significativas es infinito (0,500000 ...).
Las pautas que se describen a continuación están destinadas a evitar un resultado de cálculo más preciso que las cantidades medidas, pero no garantizan que la incertidumbre implícita resultante se acerque lo suficiente a las incertidumbres medidas. Este problema se puede ver en la conversión de unidades. Si las pautas dan la incertidumbre implícita demasiado lejos de las medidas, entonces puede ser necesario decidir dígitos significativos que den una incertidumbre comparable.
Para cantidades creadas a partir de cantidades medidas mediante multiplicación y división , el resultado calculado debe tener tantas cifras significativas como el menor número de cifras significativas entre las cantidades medidas utilizadas en el cálculo. [13] Por ejemplo,
con cifras significativas de uno , dos y uno respectivamente. (Aquí se supone que 2 no es un número exacto). Para el primer ejemplo, el primer factor de multiplicación tiene cuatro cifras significativas y el segundo tiene una cifra significativa. El factor con menos o menos cifras significativas es el segundo con solo una, por lo que el resultado final calculado también debe tener una cifra significativa.
Para la conversión de unidades, la incertidumbre implícita del resultado puede ser insatisfactoriamente más alta que la de la unidad anterior si se sigue esta pauta de redondeo; Por ejemplo, 8 pulgadas tiene la incertidumbre implícita de ± 0,5 pulgadas = ± 1,27 cm. Si se convierte a la escala de centímetros y se sigue la pauta de redondeo para la multiplicación y la división, entonces 2 0.32 cm ≈ 20 cm con la incertidumbre implícita de ± 5 cm. Si esta incertidumbre implícita se considera demasiado subestimada, los dígitos significativos más adecuados en el resultado de la conversión de unidades pueden ser 2 0 .32 cm ≈ 20. cm con la incertidumbre implícita de ± 0,5 cm.
Otra excepción a la aplicación de la pauta de redondeo anterior es multiplicar un número por un entero, como 1,234 × 9. Si se sigue la pauta anterior, el resultado se redondea como 1,234 × 9,000 .... = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Sin embargo, esta multiplicación esencialmente se suma 1.234 a sí misma 9 veces, como 1.234 + 1.234 + ... + 1.234, por lo que la pauta de redondeo para la suma y la resta descrita a continuación es un enfoque de redondeo más adecuado. [14] Como resultado, la respuesta final es 1.234 + 1.234 + ... + 1.234 = 11.10 6 = 11.106 (aumento de un dígito significativo).
Para las cantidades creadas a partir de cantidades medidas mediante la suma y la resta , la última posición de la figura significativa (por ejemplo, centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas, etc.) en el resultado calculado debe ser la misma que la posición del dígito más a la izquierda o más grande entre los últimas cifras significativas de las cantidades medidas en el cálculo. Por ejemplo,
con las últimas cifras significativas en la queridos lugar, décimas su lugar, y los colocan respectivamente. (Aquí se supone que 2 no es un número exacto). Para el primer ejemplo, el primer término tiene su última cifra significativa en el lugar de las milésimas y el segundo término tiene su última cifra significativa en el lugar de las unidades. La posición del dígito más a la izquierda o más grande entre las últimas cifras significativas de estos términos es el lugar de las unidades, por lo que el resultado calculado también debe tener su última cifra significativa en el lugar de las unidades.
La regla para calcular cifras significativas para la multiplicación y la división no es la misma que la regla para la suma y la resta. Para la multiplicación y la división, solo importa el número total de cifras significativas en cada uno de los factores del cálculo; la posición del dígito de la última cifra significativa en cada factor es irrelevante. Para la suma y la resta, solo importa la posición del dígito de la última cifra significativa en cada uno de los términos del cálculo; el número total de cifras significativas en cada término es irrelevante. [ cita requerida ] Sin embargo, a menudo se obtendrá una mayor precisión si se mantienen algunos dígitos no significativos en los resultados intermedios que se utilizan en los cálculos posteriores. [ cita requerida ]
El logaritmo en base -10 de un número normalizado (es decir, a × 10 b con 1 ≤ a <10 yb como un número entero), se redondea de manera que su parte decimal (llamada mantisa ) tenga tantas cifras significativas como las cifras significativas en el número normalizado.
Al tomar el antilogaritmo de un número normalizado, el resultado se redondea para tener tantas cifras significativas como cifras significativas en la parte decimal del número que se va a antilogar.
Si una función trascendental (p. Ej., La función exponencial , el logaritmo y las funciones trigonométricas ) es diferenciable en su elemento de dominio x , entonces su número de cifras significativas (denotado como "cifras significativas de ") está aproximadamente relacionado con el número de cifras significativas. cifras en x (indicadas como "cifras significativas de x ") por la fórmula
,
donde es el número de condición . Consulte el artículo de aritmética de importancia para encontrar su derivación.
Al realizar cálculos de etapas múltiples, no redondee los resultados de los cálculos de etapas intermedias; Mantenga tantos dígitos como sea práctico (al menos un dígito más de lo que permite la regla de redondeo por etapa) hasta el final de todos los cálculos para evitar errores de redondeo acumulativos al rastrear o registrar las cifras significativas en cada resultado intermedio. Luego, redondee el resultado final, por ejemplo, a la menor cantidad de cifras significativas (para multiplicación o división) o al último dígito significativo situado más a la izquierda (para suma o resta) entre las entradas del cálculo final. [15]
Cuando use una regla, use inicialmente la marca más pequeña como el primer dígito estimado. Por ejemplo, si la marca más pequeña de una regla es 0,1 cm y se lee 4,5 cm, entonces es 4,5 (± 0,1 cm) o 4,4 cm a 4,6 cm como el intervalo de marca más pequeño. Sin embargo, en la práctica, una medida normalmente se puede estimar a ojo más cerca que el intervalo entre la marca más pequeña de la regla, por ejemplo, en el caso anterior podría estimarse entre 4,51 cm y 4,53 cm.
También es posible que la longitud total de una regla no sea precisa en el grado de la marca más pequeña, y las marcas pueden estar espaciadas imperfectamente dentro de cada unidad. Sin embargo, asumiendo una regla normal de buena calidad, debería ser posible estimar décimas entre las dos marcas más cercanas para lograr un lugar decimal adicional de precisión. [16] No hacer esto agrega el error en la lectura de la regla a cualquier error en la calibración de la regla. [17]
Al estimar la proporción de individuos que portan alguna característica particular en una población, a partir de una muestra aleatoria de esa población, el número de cifras significativas no debe exceder la precisión máxima permitida por ese tamaño de muestra.
Tradicionalmente, en varios campos técnicos, "precisión" se refiere a la cercanía de una medida dada a su valor real; "precisión" se refiere a la estabilidad de esa medición cuando se repite muchas veces. Con la esperanza de reflejar la forma en que el término "precisión" se usa realmente en la comunidad científica, existe una norma reciente, ISO 5725, que mantiene la misma definición de precisión pero define el término "veracidad" como la cercanía de una medida determinada. a su verdadero valor y utiliza el término "exactitud" como la combinación de veracidad y precisión. (Consulte el artículo sobre exactitud y precisión para una discusión completa). En cualquier caso, el número de cifras significativas corresponde aproximadamente a la precisión , no a la exactitud o al concepto más nuevo de veracidad.
Las representaciones informáticas de números de punto flotante utilizan una forma de redondeo a cifras significativas (aunque por lo general no llevan un registro de cuántos), en general con números binarios . El número de cifras significativas correctas está estrechamente relacionado con la noción de error relativo (que tiene la ventaja de ser una medida de precisión más precisa y es independiente de la raíz , también conocida como base, del sistema numérico utilizado).
Pruebas eléctricas experimentales.