En matemáticas , los ceros finales son una secuencia de 0 en la representación decimal (o más generalmente, en cualquier representación posicional ) de un número, después de lo cual no siguen otros dígitos .
Los ceros finales a la derecha de un punto decimal , como en 12.3400, no afectan el valor de un número y pueden omitirse si lo único que interesa es su valor numérico. Esto es cierto incluso si los ceros se repiten infinitamente . Por ejemplo, en farmacia , los ceros finales se omiten de los valores de dosis para evitar errores de lectura. Sin embargo, los ceros finales pueden ser útiles para indicar el número de cifras significativas , por ejemplo, en una medición. En tal contexto, "simplificar" un número eliminando los ceros finales sería incorrecto.
El número de ceros a la derecha en una base- no nulo b número entero n es igual al exponente de la mayor potencia de b que divide n . Por ejemplo, 14000 tiene tres ceros finales y, por lo tanto, es divisible entre 1000 = 10 3 , pero no entre 10 4 . Esta propiedad es útil cuando se buscan pequeños factores en la factorización de enteros . Algunas arquitecturas de computadora tienen una operación de conteo de ceros finales en su conjunto de instrucciones para determinar eficientemente el número de bits de cero finales en una palabra de máquina.
Factorial
El número de ceros finales en la representación decimal de n !, El factorial de un entero no negativo n , es simplemente la multiplicidad del factor primo 5 en n ! Esto se puede determinar con este caso especial de la fórmula de de Polignac : [1]
donde k debe elegirse de manera que
más precisamente
y denota la función de suelo aplicada a a . Para n = 0, 1, 2, ... esto es
- 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (secuencia A027868 en la OEIS ).
Por ejemplo, 5 3 > 32 y, por lo tanto, ¡32! = 263130836933693530167218012160000000 termina en
ceros. Si n <5, la desigualdad se satisface con k = 0; en ese caso, la suma está vacía , dando la respuesta 0.
En realidad, la fórmula cuenta el número de factores 5 en n !, Pero como hay al menos tantos factores 2, esto equivale al número de factores 10, cada uno de los cuales da un cero final más.
Definiendo
se cumple la siguiente relación de recurrencia :
Esto se puede utilizar para simplificar el cálculo de los términos de la suma, que se puede detener tan pronto como q i llegue a cero. La condición 5 k +1 > n es equivalente a q k +1 = 0.
Ver también
Referencias
- ^ Resumido de factoriales y ceros finales
enlaces externos
- ¿Por qué son importantes los ceros fraccionarios finales? para algunos ejemplos de cuándo los ceros finales son significativos
- Número de ceros finales de cualquier programa factorial de Python para calcular el número de ceros finales de cualquier factorial [ enlace muerto ]