En matemáticas, las ecuaciones de Dehn-Sommerville son un conjunto completo de relaciones lineales entre el número de caras de diferente dimensión de un politopo simplicial . Para politopos de dimensión 4 y 5, fueron encontrados por Max Dehn en 1905. Su forma general fue establecida por Duncan Sommerville en 1927. Las ecuaciones de Dehn-Sommerville se pueden reformular como una condición de simetría para el vector hdel politopo simplicial y esto se ha convertido en la formulación estándar en la literatura combinatoria reciente. Por dualidad, las ecuaciones análogas son válidas para politopos simples .
Declaración
Sea P un politopo simplicial d - dimensional . Para i = 0, 1, ..., d - 1, y mucho f i denota el número de i -dimensional caras de P . La secuencia
se llama el f -vector del politopo P . Además, establezca
Entonces, para cualquier k = −1, 0, ..., d - 2, se cumple la siguiente ecuación de Dehn-Sommerville :
Cuando k = −1, expresa el hecho de que la característica de Euler de una esfera simplicial ( d - 1) -dimensional es igual a 1 + (−1) d - 1 .
Las ecuaciones de Dehn-Sommerville con diferentes k no son independientes. Hay varias formas de elegir un subconjunto independiente máximo que consta deecuaciones. Si d es par, las ecuaciones con k = 0, 2, 4, ..., d - 2 son independientes. Otro conjunto independiente consta de las ecuaciones con k = −1, 1, 3, ..., d - 3. Si d es impar, entonces las ecuaciones con k = −1, 1, 3, ..., d - 2 forman un conjunto independiente y las ecuaciones con k = −1, 0, 2, 4, ..., d - 3 forman otro.
Formulaciones equivalentes
Sommerville encontró una forma diferente de enunciar estas ecuaciones:
donde 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d − 1). Esto se puede facilitar además la introducción de la noción de h -vector de P . Para k = 0, 1, ..., d , sea
La secuencia
se llama la h -vector de P . El vector f y el vector h se determinan de forma única entre sí a través de la relación
Entonces, las ecuaciones de Dehn-Sommerville se pueden reformular simplemente como
Las ecuaciones con 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d − 1) son independientes, y los demás son manifiestamente equivalentes a ellos.
Richard Stanley dio una interpretación de los componentes de la h -vector de un simplicial convexa politopo P en términos de la proyectiva variedad tórica X asociada con (el dual de) P . Es decir, son las dimensiones de los grupos de cohomología de intersección par de X :
(los grupos de cohomología de intersección impares de X son todos cero). En este lenguaje, la última forma de las ecuaciones Dehn-Sommerville, la simetría de la h -vector, es una manifestación de la dualidad de Poincaré en el cohomology intersección de X .
Referencias
- Branko Grünbaum , politopos convexos . Segunda edicion. Textos de posgrado en matemáticas, 221, Springer, 2003 ISBN 0-387-00424-6
- Richard Stanley , combinatoria y álgebra conmutativa . Segunda edicion. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x + 164 págs. ISBN 0-8176-3836-9
- Duncan Sommerville (1927) Las relaciones que conectan las sumas de los ángulos y el volumen de un politopo en el espacio de n dimensiones Actas de la Royal Society Series A 115: 103-19, enlace web de JSTOR .
- G. Ziegler , Conferencias sobre politopos , Springer , 1998. ISBN 0-387-94365-X