h-vector

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En combinatoria algebraica , el vector h de un politopo simplicial es una invariante fundamental del politopo que codifica el número de caras de diferentes dimensiones y permite expresar las ecuaciones de Dehn-Sommerville en una forma particularmente simple. Una caracterización del conjunto de vectores h de politopos simpliciales fue conjeturada por Peter McMullen ^[1] y demostrada por Lou Billera y Carl W. Lee ^{[2] [3]} y Richard Stanley ^[4] ( teorema g ). La definición de h-vector se aplica a complejos simpliciales abstractos arbitrarios . La conjetura g establecía que para las esferas simpliciales , todos los vectores h posibles ya se encuentran entre los vectores h de los límites de los politopos simpliciales convexos. Lo probó en diciembre de 2018 Karim Adiprasito . ^{[5] [6]}

Stanley introdujo una generalización del vector h, el vector h tórico , que se define para un poset clasificado arbitrariamente , y demostró que para la clase de posets eulerianos , las ecuaciones de Dehn-Sommerville siguen siendo válidas. Una generalización diferente, más combinatoria, del vector h que se ha estudiado extensamente es el vector h bandera de un poset clasificado. Para posets eulerianos, se puede expresar de manera más concisa por medio de un polinomio no conmutativo en dos variables llamado índice cd .

Sea Δ un complejo simplicial abstracto de dimensión d − 1 con caras dimensionales f _i i y f ₋₁ = 1. Estos números están ordenados en el vector f de Δ,

se llama el vector h de Δ. En particular, , , y , donde es la característica de Euler de . El vector f y el vector h se determinan únicamente entre sí a través de la relación lineal${\ estilo de visualización h_ {0} = 1}$${\displaystyle h_{1}=f_{0}-d}$${\displaystyle h_{d}=(-1)^{d}(1-\chi (\Delta))}$${\ estilo de visualización \ chi (\ Delta)}$${\ estilo de visualización \ Delta}$

de donde se sigue que, para ,${\displaystyle i=0,\dotsc,d}$

En particular, . Sea R = k [Δ] el anillo de Stanley-Reisner de Δ. Entonces su serie de Hilbert-Poincaré se puede expresar como${\displaystyle f_{d-1}=h_{0}+h_{1}+\dotsb +h_{d}}$

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