Convex Polytopes es un libro de texto de matemáticas para graduados sobre politopos convexos , generalizaciones de dimensiones superiores de poliedros convexos tridimensionales. Fue escrito por Branko Grünbaum , con contribuciones de Victor Klee , Micha Perles y GC Shephard , y publicado en 1967 por John Wiley & Sons. [1] [2] [3] [4] Se agotó en 1970. [5] [6] Una segunda edición, preparada con la ayuda de Volker Kaibel, Victor Klee y Günter M. Ziegler , fue publicada por Springer-Verlagen 2003, como el volumen 221 de su serie de libros Graduate Texts in Mathematics . [5] [6] [7] [8]
Convex Polytopes fue el ganador del Premio Leroy P. Steele 2005 de exposición matemática, otorgado por la American Mathematical Society . [9] El Comité de Lista de Bibliotecas Básicas de la Asociación de Matemáticas de América ha recomendado su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [10]
Temas
El libro tiene 19 capítulos. Después de dos capítulos que presentan material de fondo en álgebra lineal, topología y geometría convexa , dos capítulos más proporcionan definiciones básicas de poliedros, en sus dos versiones duales (intersecciones de medios espacios y cascos convexos de conjuntos de puntos finitos), presentan diagramas de Schlegel y proporcione algunos ejemplos básicos que incluyen los politopos cíclicos . El capítulo 5 presenta los diagramas de Gale , y los dos capítulos siguientes los utilizan para estudiar politopos con un número de vértices solo ligeramente superior a su dimensión, y politopos vecinos . [8] [5]
Los capítulos 8 al 11 estudian el número de caras de diferentes dimensiones en politopos mediante la fórmula poliédrica de Euler , las ecuaciones de Dehn-Sommerville y la combinatoria extrema de números de caras en politopos. El capítulo 11 conecta las caras de baja dimensión juntas en el esqueleto de un politopo y prueba el teorema de van Kampen-Flores sobre la no incrustación de esqueletos en espacios de dimensiones inferiores. El capítulo 12 estudia la cuestión de cuándo un esqueleto determina de forma única la estructura combinatoria de dimensiones superiores de su politopo. El capítulo 13 proporciona una respuesta completa a este teorema para politopos convexos tridimensionales mediante el teorema de Steinitz , que caracteriza las gráficas de poliedros convexos de forma combinatoria y se puede utilizar para demostrar que solo pueden realizarse como poliedros convexos de una forma. También toca los conjuntos múltiples de tamaños de caras que se pueden realizar como poliedros ( teorema de Eberhard ) y los tipos combinatorios de poliedros que pueden tener esferas inscritas o esferas circunscritas . [8] [5]
El capítulo 14 trata de relaciones análogas a las ecuaciones de Dehn-Sommerville para sumas de ángulos de politopos, y utiliza sumas de ángulos para definir un punto central, el "punto de Steiner", para cualquier politopo. El capítulo 15 estudia la adición de Minkowski y la adición de Blaschke , dos operaciones mediante las cuales los politopos se pueden combinar para producir otros politopos. Los capítulos 16 y 17 estudian los caminos más cortos y la conjetura de Hirsch , los caminos más largos y los ciclos hamiltonianos y el exponente de la brevedad de los politopos. El capítulo 18 estudia las disposiciones de los hiperplanos y su relación dual con la estructura combinatoria de los zonótopos . Un capítulo final, el capítulo 19, también incluye material sobre las simetrías de los politopos. [8] [5]
Los ejercicios a lo largo del libro lo hacen utilizable como libro de texto y proporcionan enlaces adicionales a investigaciones recientes, y los últimos capítulos del libro también enumeran muchos problemas de investigación abiertos. [1] La segunda edición del libro mantiene intactos el contenido, la organización y la paginación de la primera edición, agregando notas al final de cada capítulo sobre las actualizaciones del material de ese capítulo. [7] [8] Estas actualizaciones incluyen material sobre el teorema de universalidad de Mnëv y su relación con la realizabilidad de politopos a partir de sus estructuras combinatorias, la prueba de la-conjetura para esferas simpliciales y conjetura en 3 d de Kalai . [8] La segunda edición también proporciona una bibliografía mejorada. [6]
Los temas que son importantes para la teoría de los politopos convexos pero que no se tratan bien en el libro Politopos convexos incluyen el tercer problema de Hilbert y la teoría de las invariantes de Dehn . [8]
Audiencia y recepción
Aunque está escrito a nivel de posgrado, los principales requisitos previos para leer el libro son el álgebra lineal y la topología general , ambos a nivel de licenciatura. [1]
En una reseña de la primera edición del libro, Werner Fenchel lo llama "un logro notable", "una gran cantidad de material", "bien organizado y presentado con un estilo lúcido". [2] Más de 35 años después, al otorgar el premio Steele a Grünbaum por politopos convexos , la American Mathematical Society escribió que el libro "ha servido como referencia estándar y como inspiración", que fue en gran parte responsable de la vibrante investigación en curso en combinatoria poliédrica , y que sigue siendo relevante en esta área. [9] Al revisar y dar la bienvenida a la segunda edición, Peter McMullen escribió que a pesar de ser "inmediatamente obsoleto" por la investigación que provocó, el libro seguía siendo una lectura esencial para los investigadores en esta área. [8]
Ver también
- Lista de libros sobre poliedros
Referencias
- ↑ a b c Baxandall, PR (octubre de 1969), "Review of Convex Polytopes (1ª ed.)", The Mathematical Gazette , 53 (385): 342–343, doi : 10.2307 / 3615008
- ^ a b Fenchel, Werner (invierno de 1968), "Review of Convex Polytopes (1ª ed.)", American Scientist , 56 (4): 476A – 477A, JSTOR 27828384
- ^ Sallee, GT, "Revisión de politopos convexos (1ª ed.)", MathSciNet , MR 0226496
- ^ Jucovič, E., "Review of Convex Polytopes (1ª ed.)", ZbMATH (en alemán), Zbl 0163.16603
- ^ a b c d e Zvonkin, Alexander (2004), "Revisión de politopos convexos (2ª ed.)", MathSciNet , MR 1976856
- ^ a b c Ehrig, G., "Review of Convex Polytopes (2nd ed.)", ZbMATH (en alemán), Zbl 1024.52001
- ^ a b Lord, Nick (marzo de 2005), "Review of Convex Polytopes (2ª ed.)", The Mathematical Gazette , 89 (514): 164-166, JSTOR 3620690
- ^ a b c d e f g h McMullen, Peter (julio de 2005), "Review of Convex Polytopes (2ª ed.)", Combinatoria, Probabilidad y Computación , 14 (4): 623–626, doi : 10.1017 / s0963548305226998
- ^ a b "Premios Steele 2005" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 52 (4): 439–442, abril de 2005
- ^ " Convex Polytopes (selección de la lista básica de bibliotecas, sin revisión)" , MAA Reviews , Mathematical Association of America , consultado el 26 de agosto de 2020