En geometría , Dehn introdujo dos ejemplos de planos, una geometría semi-euclidiana y una geometría no Legendrian , que tienen infinitas líneas paralelas a una dada que pasan por un punto dado, pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos π . Un fenómeno similar ocurre en la geometría hiperbólica , excepto que la suma de los ángulos de un triángulo es menor que π . Los ejemplos de Dehn usan un campo que no es de Arquímedes, por lo que se viola el axioma de Arquímedes . Fueron introducidos por Max Dehn ( 1900 ) y discutidos por Hilbert (1902 , págs. 127–130, o págs. 42–43 en algunas ediciones posteriores).
Campo no arquimediano de Dehn Ω ( t )
Para construir sus geometrías, Dehn usó un campo pitagórico ordenado no arquimediano Ω ( t ), un cierre pitagórico del campo de funciones racionales R ( t ), que consiste en el campo más pequeño de funciones con valores reales en la línea real que contiene el campo real. constantes, la función de identidad t (tomando cualquier número real para sí misma) y cerrada bajo la operación. El campo Ω ( t ) se ordena poniendo x > y si la función x es mayor que y para reales suficientemente grandes. Un elemento x de Ω ( t ) se llama finito si m < x < n para algunos enteros m , n , y de lo contrario se llama infinito .
Geometría semi-euclidiana de Dehn
El conjunto de todos los pares ( x , y ), donde x y y son cualquier (posiblemente infinitas) elementos del campo Ω ( t ), y con la usual métrica
que toma valores en Ω ( t ), da un modelo de geometría euclidiana . El postulado paralelo es cierto en este modelo, pero si la desviación de la perpendicular es infinitesimal (es decir, más pequeña que cualquier número racional positivo), las líneas que se cruzan se cruzan en un punto que no está en la parte finita del plano. Por lo tanto, si el modelo se limita a la parte finita del plano (puntos ( x , Y ) con x y y finito), se obtiene una geometría en la que el postulado paralelo falla pero la suma de los ángulos de un triángulo es π . Esta es la geometría semi-euclidiana de Dehn. Se analiza en Rucker (1982 , págs. 91-2).
Geometría no Legendrian de Dehn
En el mismo artículo, Dehn también construyó un ejemplo de una geometría no Legendrian donde hay infinitas líneas a través de un punto que no se encuentran con otra línea, pero la suma de los ángulos en un triángulo excede π . La geometría elíptica de Riemann sobre Ω ( t ) consiste en el plano proyectivo sobre Ω ( t ), que se puede identificar con el plano afín de puntos ( x : y : 1) junto con la "línea en el infinito", y tiene la propiedad de que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es mayor que π La geometría no Legendrian consiste en los puntos ( x : y : 1) de este subespacio afín de manera que tx y ty son finitos (donde, como arriba, t es el elemento de Ω ( t ) representado por la función de identidad). El teorema de Legendre establece que la suma de los ángulos de un triángulo es como mucho π , pero asume el axioma de Arquímedes, y el ejemplo de Dehn muestra que el teorema de Legendre no tiene por qué ser válido si se descarta el axioma de Arquímedes.
Referencias
- Dehn, Max (1900), "Die Legendre'schen Sätze über die Winkelsumme im Dreieck" , Mathematische Annalen , 53 (3): 404–439, doi : 10.1007 / BF01448980 , ISSN 0025-5831 , JFM 31.0471.01
- Hilbert, David (1902), Los fundamentos de la geometría (PDF) , The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., MR 0116216
- Rucker, Rudy (1982), El infinito y la mente. La ciencia y la filosofía del infinito , Boston, Mass .: Birkhäuser, ISBN 3-7643-3034-1, MR 0658492