Campo pitagórico

En álgebra, un campo pitagórico es un campo en el que cada suma de dos cuadrados es un cuadrado: de manera equivalente, tiene un número de Pitágoras igual a 1. Una extensión pitagórica de un campo es una extensión obtenida al unir un elemento para algunos en . Entonces, un campo pitagórico es uno cerrado que toma extensiones pitagóricas. Para cualquier campo hay un campo pitagórico mínimo que lo contiene, único hasta el isomorfismo , llamado cierre pitagórico . ^[1] El campo de Hilbert es el campo pitagórico ordenado mínimo. ^[2] ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {1+ \ lambda ^ {2}}}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ textstyle F ^ {\ mathrm {py}}}$

Cada campo euclidiano (un campo ordenado en el que todos los elementos positivos son cuadrados) es un campo pitagórico ordenado, pero lo contrario no se cumple. ^[3] Un campo cuadráticamente cerrado es un campo pitagórico pero no a la inversa ( es pitagórico); sin embargo, un campo pitagórico no formalmente real está cuadráticamente cerrado. ^[4] ${\ Displaystyle \ mathbf {R}}$

El anillo de Witt de un campo pitagórico es de orden 2 si el campo no es formalmente real y libre de torsión en caso contrario. ^[1] Para un campo hay una secuencia exacta que involucra los anillos de Witt. ${\ Displaystyle F}$

donde es el ideal fundamental del anillo de Witt de ^[5] y denota su subgrupo de torsión (que es simplemente el radical de ). ^[6] ${\ Displaystyle IW (F)}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Tor} IW (F)}$ ${\ Displaystyle W (F)}$

Los campos pitagóricos pueden usarse para construir modelos para algunos de los axiomas de Hilbert para la geometría ( Iyanaga & Kawada 1980 , 163 C). La geometría de coordenadas dada por para un campo pitagórico satisface muchos de los axiomas de Hilbert, como los axiomas de incidencia, los axiomas de congruencia y los axiomas de paralelos. Sin embargo, en general, esta geometría no necesita satisfacer todos los axiomas de Hilbert a menos que el campo F tenga propiedades adicionales: por ejemplo, si el campo también está ordenado, la geometría satisfará los axiomas de ordenación de Hilbert, y si el campo también es completo, la geometría satisfará las de Hilbert. axioma de integridad. ${\ Displaystyle F ^ {n}}$ ${\ Displaystyle F}$