En topología geométrica , una rama de las matemáticas , un giro de Dehn es un cierto tipo de auto-homeomorfismo de una superficie ( variedad bidimensional ).
Definición
Suponga que c es una curva cerrada simple en una superficie S cerrada orientable . Sea A una vecindad tubular de c . Entonces A es un anillo , homeomorfo al producto cartesiano de un círculo y un intervalo unitario I :
Dar las coordenadas A ( s , t ) donde s es un número complejo de la forma con y t ∈ [0, 1] .
Sea f el mapa de S a sí mismo que es la identidad fuera de A y dentro de A tenemos
Entonces f es un giro de Dehn sobre la curva c .
Giros Dehn también se pueden definir en una superficie no orientable S , siempre que se empieza con un 2 caras curva cerrada simple c en S .
Ejemplo
Considere el toro representado por un polígono fundamental con aristas a y b
Sea una curva cerrada la línea a lo largo del borde a llamado.
Dada la opción de pegar homeomorfismo en la figura, una vecindad tubular de la curva se verá como una banda unida alrededor de una rosquilla. Este vecindario es homeomorfo a un anillo , digamos
en el plano complejo.
Extendiendo al toro el mapa de torsión del anillo, a través de los homeomorfismos del anillo a un cilindro abierto a la vecindad de , produce un giro Dehn del toroide por a .
Este auto homeomorfismo actúa sobre la curva cerrada a lo largo de b . En la vecindad tubular toma la curva de b una vez a lo largo de la curva de a .
Un homeomorfismo entre espacios topológicos induce un isomorfismo natural entre sus grupos fundamentales . Por lo tanto, uno tiene un automorfismo.
donde [ x ] son las clases de homotopía de la curva cerrada x en el toro. darse cuenta y , dónde es el camino recorrido alrededor de b luego a .
Grupo de clases de mapeo
Es un teorema de Max Dehn que los mapas de esta forma generan el grupo de clases de mapeo de clases de isotopías de homeomorfismos que preservan la orientación de cualquier género cerrado y orientado .superficie. WBR Lickorish redescubrió más tarde este resultado con una prueba más simple y, además, mostró que Dehn se tuercelas curvas explícitas generan el grupo de clases de mapeo (esto se llama con el nombre de juego de palabras "teorema del giro de Lickorish"); Este número fue mejorado más tarde por Stephen P. Humphries para, por , que mostró fue el número mínimo.
Lickorish también obtuvo un resultado análogo para superficies no orientables, que requieren no solo giros de Dehn, sino también " homeomorfismos en Y ".
Ver también
Referencias
- Andrew J. Casson , Steven A. Bleiler, Automorfismos de superficies según Nielsen y Thurston , Cambridge University Press , 1988. ISBN 0-521-34985-0 .
- Stephen P. Humphries, "Generadores para el grupo de clases de mapeo", en: Topología de variedades de baja dimensión ( Proc. Second Sussex Conf. , Chelwood Gate, 1977), págs. 44-47, Lecture Notes in Math., 722, Springer , Berlín, 1979. MR0547453
- WBR Lickorish , "Una representación de 3 variedades combinatorias orientables". Ana. de Matemáticas. (2) 76 1962 531-540. SEÑOR0151948
- WBR Lickorish, "Un conjunto finito de generadores para el grupo de homotopía de un 2-manifold", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778. SEÑOR0171269