En matemáticas , se puede definir un polígono fundamental para cada superficie compacta de Riemann de género mayor que 0. Codifica no solo la topología de la superficie a través de su grupo fundamental, sino que también determina la superficie de Riemann hasta la equivalencia conforme. Según el teorema de la uniformización , cada superficie compacta de Riemann simplemente tiene una superficie de cobertura universal conectada dada exactamente por uno de los siguientes:
- la esfera de Riemann ,
- el plano complejo ,
- el disco unidad D equivalentemente el semiplano superior H .
En el primer caso del género cero, la superficie es conforme a la esfera de Riemann.
En el segundo caso de un género, la superficie es conformemente equivalente a un toro C / Λ para algunos Λ celosía en C . El polígono fundamental de Λ, si se asume convexo, puede tomarse como un paralelogramo de período o un hexágono simétrico centralmente, un resultado probado por primera vez por Fedorov en 1891.
En el último caso del género g > 1, la superficie de Riemann es conforme de manera equivalente a H / Γ donde Γ es un grupo fucsiano de transformaciones de Möbius . Un dominio fundamental para Γ está dada por un polígono convexo para la métrica hiperbólica en H . Estos pueden definirse mediante polígonos de Dirichlet y tienen un número par de lados. La estructura del grupo fundamental Γ se puede leer a partir de dicho polígono. Usando la teoría de mapeos cuasiconformales y la ecuación de Beltrami , se puede demostrar que hay un polígono de Dirichlet convexo canónico con 4 g lados, primero definido por Fricke , que corresponde a la presentación estándar de Γ como el grupo con 2 g generadores a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ..., a g , b g y la relación simple [ a 1 , b 1 ] [ a 2 , b 2 ] ⋅⋅⋅ [ a g , b g ] = 1, donde [ a , b ] = a b a −1 b −1 .
Cualquier métrica de Riemann en una M de 2 colectores cerrada orientada define una estructura compleja en M , lo que hace que M sea una superficie de Riemann compacta. Mediante el uso de polígonos fundamentales, se deduce que dos variedades 2 cerradas orientadas se clasifican por su género, es decir, la mitad del rango del grupo abeliano Γ / [Γ, Γ], donde Γ = π 1 ( M ). Además, también se deduce de la teoría de los mapeos cuasiconformales que dos superficies compactas de Riemann son difeomórficas si y solo si son homeomórficas. En consecuencia, dos variedades 2 orientadas cerradas son homeomorfas si y solo si son difeomórficas. Este resultado también se puede probar utilizando los métodos de topología diferencial . [1] [2]
Polígonos fundamentales en el género uno
Paralelogramos y hexágonos centralmente simétricos
En el caso de género uno, un polígono convexo fundamental es buscado para la acción por la traducción de Λ = Z un ⊕ Z b en R 2 = C , donde un y b son linealmente independientes sobre R . (Después de realizar una transformación lineal real en R 2 , se puede suponer si es necesario que Λ = Z 2 = Z + Z i ; para una superficie de Riemann del género uno se puede tomar que tiene la forma Λ = Z 2 = Z + Z ω, con Im ω> 0.) Un dominio fundamental viene dado por el paralelogramo s x + t y para 0 < s , t <1 donde x y y son generadores de Λ.
Si C es el interior de un polígono convexo fundamental, entonces el traduce C + x cubre R 2 cuando x pasa sobre Λ. De ello se deduce que los puntos límite de C están formados por intersecciones C ∩ ( C + x ). Estos son conjuntos convexos compactos en ∂ C y por lo tanto ya sea vértices de C o lados de C . De ello se deduce que cada lado cerrado de C se puede escribir de esta manera. Traduciendo por - x se deduce que C ∩ ( C - x ) es también un lado de C . Por tanto, los lados de C aparecen en pares paralelos de igual longitud. Los puntos finales de dos de estos segmentos paralelos de igual longitud se pueden unir de modo que se crucen y la intersección se produzca en los puntos medios de los segmentos de línea que unen los puntos finales. De ello se deduce que las intersecciones de todos esos segmentos ocurren en el mismo punto. Trasladando ese punto al origen, se deduce que el polígono es centralmente simétrico; es decir, si un punto z está en el polígono, también lo está - z .
Es fácil ver las traducciones de un hexágono convexo simétrico centralmente en mosaico del plano. Si A es un punto del hexágono, a continuación, la red es generada por los vectores de desplazamiento AB y AC donde B y C son los dos vértices que no son vecinos de A y no opuesto A . De hecho, la segunda imagen muestra cómo el hexágono es equivalente al paralelogramo obtenido al desplazar los dos triángulos cortados por los segmentos AB y AC . Igualmente bien, la primera imagen muestra otra forma de hacer coincidir un mosaico por paralelogramos con el mosaico hexagonal. Si el centro del hexágono es 0 y los vértices en orden son a , b , c , - a , - b y - c , entonces Λ es el grupo abeliano con generadores a + b y b + c .
Ejemplos de polígonos fundamentales generados por paralelogramos
Hay exactamente cuatro topologías que se pueden crear identificando los lados de un paralelogramo de diferentes maneras (a continuación se muestran como cuadrados):
Esfera [3] | Plano proyectivo real | Botella de klein | Toro |
- Esfera : o
- Plano proyectivo real : o
- Botella de Klein : o
- Toro : o
Teorema de Fedorov
El teorema de Fedorov , establecido por el cristalógrafo ruso Evgraf Fedorov en 1891, afirma que los paralelogramos y los hexágonos centralmente simétricos son los únicos polígonos convexos que son dominios fundamentales. [4] Hay varias pruebas de esto, algunas de las más recientes relacionadas con los resultados de la teoría de la convexidad , la geometría de los números y el empaquetamiento de círculos , como la desigualdad de Brunn-Minkowski . [5] Aquí se presentarán dos pruebas elementales debidas a HSM Coxeter y Voronoi . [6] [7]
La prueba de Coxeter procede asumiendo que hay un polígono convexo C centralmente simétrico con 2 m de lados. Luego, un gran paralelogramo cerrado formado a partir de N 2 paralelogramos fundamentales se coloca en mosaico por traslaciones de C que van más allá de los bordes del gran paralelogramo. Esto induce un mosaico en el toro C / N Λ. Deje v , e y f es el número de vértices, aristas y caras en este suelo de baldosas (teniendo en cuenta las identificaciones en el espacio cociente). Entonces, debido a que la característica de Euler-Poincaré de un toro es cero,
Por otro lado, dado que cada vértice está en al menos 3 aristas diferentes y cada arista está entre dos vértices,
Además, dado que cada borde está exactamente en dos caras,
Por eso
así que eso
según sea necesario.
La demostración de Voronoi comienza con la observación de que cada borde de C corresponde a un elemento x de Λ. De hecho, el borde es la bisectriz ortogonal del radio de 0 a x . Por tanto, el pie de la perpendicular de 0 a cada borde se encuentra en el interior de cada borde. Si y es cualquier punto reticular, entonces 1/2 y no puede estar en C ; porque si es así, –1/2 y también estaría en C , lo que contradice que C es un dominio fundamental para Λ. Vamos ± x 1 , ..., ± x m ser los 2 m puntos distintos de Λ que corresponde a lados de C . Fix generadores de una y b de Λ. Por lo tanto, x i = α i a + β i b , donde α i y β i son números enteros. No es posible que tanto α i como β i sean pares, ya que de lo contrario ± 1/2 x i sería un punto de Λ en un lado, lo que contradice que C sea un dominio fundamental. Entonces, hay tres posibilidades para el par de números enteros (α i , β i ) módulo 2: (0,1), (1,0) y (1,1). En consecuencia, si m > 3, habría x i y x j con i ≠ j con ambas coordenadas de x i - x j pares, es decir, 1/2 ( x i + x j ) se encuentra en Λ. Pero este es el punto medio del segmento de línea que une dos puntos interiores de los bordes y, por lo tanto, se encuentra en C , el interior del polígono. Esto nuevamente contradice el hecho de que C es un dominio fundamental. Entonces reductio ad absurdum m ≤ 3, como se afirma.
Dominios de Dirichlet – Voronoi
Para una Λ celosía en C = R 2 , un dominio fundamental se puede definir canónicamente utilizando la estructura de conformación de C . Tenga en cuenta que el grupo de transformaciones conformes de C viene dado por transformaciones afines complejas g ( z ) = az + b con a ≠ 0 . Estas transformaciones conservan la métrica euclidiana d ( z , w ) = | z - w | hasta cierto punto, además de preservar la orientación. Es el subgrupo del grupo de Möbius que fija el punto en ∞. La estructura métrica se puede utilizar para definir un dominio fundamental canónico por C = { z : d ( z , 0) < d ( z , λ ) para todo λ ≠ 0 en Λ}. (Es obvio a partir de la definición que es un dominio fundamental.) Este es un ejemplo de un dominio de Dirichlet o diagrama de Voronoi : dado que las traducciones complejas forman un grupo abeliano, por lo que se conmutan con la acción de Λ, estos conceptos coinciden. El dominio fundamental canónico para Λ = Z + Z ω con Im ω > 0 es un paralelogramo convexo simétrico o un hexágono con centro 0. Por equivalencia conforme, el período ω puede restringirse aún más para satisfacer | Re ω | ≤ 1/2 y | ω | ≥ 1 . Como mostró Dirichlet ("Teorema del hexágono de Dirichlet", 1850), para casi todos ω el dominio fundamental es un hexágono. Para Re ω > 0 , los puntos medios de los lados están dados por ± 1/2, ± ω / 2 y ± ( ω - 1) / 2 ; los lados bisecan los radios correspondientes desde 0 ortogonalmente, lo que determina los vértices por completo. De hecho el primer vértice debe tener la forma (1 + ix ) / 2 y ω (1 + iy ) / 2 con x y y real; por lo que si ω = un + ib , a continuación, una - por = 1 y x = b + ay . Por lo tanto Y = ( a - 1) / b y x = ( un 2 + b 2 - una ) / b . Por tanto, los seis vértices son ± ω (1 - iy ) / 2 y ± (1 ± ix ) / 2 . [8]
Polígonos fundamentales en un género superior
Descripción general
Cada superficie X compacta de Riemann tiene una superficie de recubrimiento universal que es una superficie X de Riemann simplemente conectada . El grupo fundamental de X actúa como transformaciones de cubierta de X y puede ser identificado con un Γ subgrupo del grupo de biholomorphisms de X . Así pues, el Γ grupo actúa libremente en X con espacio cociente compacto X / Γ, que puede ser identificado con X . Así, la clasificación de superficies compactas de Riemann se puede reducir al estudio de posibles grupos Γ. Según el teorema de uniformización, X es la esfera de Riemann, el plano complejo o el disco unitario / semiplano superior. El primer invariante importante de una superficie de Riemann compacta es su género , un invariante topológico dado por la mitad del rango del grupo abeliano Γ / [Γ, Γ] (que puede identificarse con el grupo de homología H 1 ( X , Z ) ). El género es cero si el espacio de cobertura es la esfera de Riemann; uno si es el plano complejo; y mayor que uno si es el disco unitario o el semiplano superior. [9]
Los bihomolomorfismos de la esfera de Riemann son solo transformaciones complejas de Möbius y cada transformación sin identidad tiene al menos un punto fijo, ya que la matriz compleja correspondiente siempre tiene al menos un vector propio distinto de cero. Por lo tanto, si X es la esfera de Riemann, entonces X debe estar simplemente conectado y ser biholomórfico a la esfera de Riemann, la superficie de Riemann del género cero . Cuando X es el plano complejo, el grupo de biholomorfismos es el grupo afín, las transformaciones complejas de Möbius fijan ∞, por lo que las transformaciones g ( z ) = az + b con a ≠ 0 . Las transformaciones no identidad sin puntos fijos son sólo aquellos con un = 1 y b ≠ 0 , es decir, las traducciones no cero. Por tanto, el grupo Γ puede identificarse con una red Λ en C y X con un cociente C / Λ, como se describe en la sección sobre polígonos fundamentales en el género uno. En el tercer caso, cuando X es el disco unitario o el semiplano superior, el grupo de biholomorfismos consiste en las transformaciones complejas de Möbius que fijan el círculo unitario o el eje real. En el primer caso, las transformaciones corresponden a elementos del grupo SU (1, 1) / {± I }; en el último caso corresponden a transformaciones reales de Möbius, por lo que elementos de SL (2, R ) / {± I }. [9]
El estudio y clasificación de los posibles grupos Γ que actúan libremente sobre el disco unitario o semiplano superior con cociente compacto —los grupos fucsianos del primer tipo— se pueden realizar estudiando sus polígonos fundamentales, como se describe a continuación. Como observó Poincaré , cada polígono tiene propiedades especiales, a saber, es convexo y tiene un apareamiento natural entre sus lados. Estos no solo permiten la recuperación del grupo, sino que brindan una presentación explícita del grupo por generadores y relaciones. A la inversa, Poincaré demostró que cualquier polígono de este tipo da lugar a una superficie compacta de Riemann; de hecho, el teorema del polígono de Poincaré se aplicaba a polígonos más generales, donde se permitía que el polígono tuviera vértices ideales, pero su demostración era completa solo en el caso compacto, sin tales vértices. Sin supuestos sobre la convexidad del polígono, Maskit y de Rham han dado pruebas completas , basadas en una idea de Siegel , y pueden encontrarse en Beardon (1983) , Iversen (1992) y Stillwell (1992) . Carathéodory dio un tratamiento elemental de la existencia de teselaciones por triángulos de Schwarz , es decir teselaciones por triángulos geodésicos con ángulos π / a , π / b , π / c con suma menor que π donde a , b , c son números enteros. Cuando todos los ángulos son iguales a π / 2 g , esto establece el mosaico por polígonos hiperbólicos de lados regulares de 4g y, por lo tanto, la existencia de una superficie de Riemann compacta particular del género g como un espacio de cociente. Este ejemplo especial, que tiene un grupo cíclico Z 2 g de simetrías bihomolomorfas, se utiliza en el desarrollo siguiente. [9]
La clasificación hasta homeomorfismo y difeomorfismo de superficies compactas de Riemann implica la clasificación de variedades 2 cerradas orientables hasta homeomorfismo y difeomorfismo: dos variedades 2 cualesquiera con el mismo género son difeomórficas. De hecho, al usar una partición de unidad, cada colector 2 orientable cerrado admite una métrica de Riemann . Para una superficie de Riemann compacta, también se puede introducir una métrica conforme que sea conforme, de modo que en coordenadas holomórficas la métrica adopte la forma ρ ( z ) | dz | 2 . Una vez que se ha elegido esta métrica, los mapeos biholomórficos locales son precisamente difeomorfismos que conservan la orientación que son conformes, es decir, escalan la métrica mediante una función suave. La existencia de coordenadas isotérmicas, que pueden probarse utilizando teoremas de existencia local para la ecuación laplaciana o de Beltrami, muestra que a cada variedad 2 de Riemann de orientación cerrada se le puede dar una estructura compleja compatible con su métrica y, por lo tanto, tiene la estructura de una superficie compacta de Riemann. Esta construcción muestra que la clasificación de 2-variedades cerradas orientables hasta difeomorfismo u homeomorfismo puede reducirse al caso de superficies compactas de Riemann. [10]
La clasificación hasta homeomorfismo y difeomorfismo de superficies compactas de Riemann se puede lograr utilizando el polígono fundamental. De hecho, como Poincaré observó, los polígonos fundamentales convexos para superficies compactas de Riemann H / Γ se pueden construir adaptando el método Dirichlet del espacio euclidiano al espacio hiperbólico. Luego, siguiendo a Nevanlinna y Jost, el dominio fundamental se puede modificar en pasos para producir un polígono no convexo con vértices que se encuentran en una sola órbita de Γ y lados geodésicos por partes. La relación de emparejamiento en los lados también se modifica en cada uno de estos pasos. Cada paso implica cortar el polígono por un segmento geodésico diagonal en el interior del polígono y reensamblar el polígono usando una de las transformaciones de Möbius involucradas en el emparejamiento. No hay dos lados emparejados que puedan tener un vértice común en la relación de emparejamiento final, que satisfaga propiedades similares a la relación original. Este polígono a su vez puede ser modificado sucesivamente reensamblando el polígono después de cortarlo por un segmento geodésico diagonal a trozos en su interior. El polígono final tiene 4 g de vértices equivalentes, con lados que son geodésicos por partes. Los lados están etiquetados por los elementos del grupo que dan la transformación de Möbius al lado emparejado. Para que el etiquetado sea
de modo que Γ es generado por a i y b i sujeto a la relación única
Superficie del género cero (esfera)
Género una superficie (toro)
Superficie del género dos
Superficie del género tres
Usando la teoría de los números de intersección , se deduce que la forma obtenida al unir vértices por geodésicas también es un polígono propio, no necesariamente convexo, y también es un dominio fundamental con los mismos elementos de grupo que dan el emparejamiento. Esto produce un polígono fundamental con bordes dados por segmentos geodésicos y con el etiquetado estándar. La abelianización de Γ, el grupo cociente Γ / [Γ, Γ] , es un grupo abeliano libre con 2 g generadores. Por tanto, el género g es un invariante topológico. Es fácil ver que dos superficies de Riemann con el mismo género son homeomorfas ya que como espacio topológico ya que se obtienen identificando lados de un polígono de 4 g de lados —un polígono euclidiano en el modelo de Klein— por difeomorfismos entre lados pareados. [11] La aplicación de esta construcción al polígono regular de 4 g de lados permite que la superficie de Riemann se vea topológicamente como una dona con agujeros g , la descripción estándar de superficies orientadas en los textos introductorios sobre topología. [12] [13]
Hay varios resultados adicionales:
- Dos superficies de Riemann homeomorfas son difeomorfas.
- Cualquier polígono fundamental convexo del género g tiene N vértices donde 4 g ≤ N ≤ 12 g - 6.
- Un polígono de Dirichlet en el género g tiene exactamente 12 g - 6 vértices para un conjunto de centros abiertos y densos.
- Cada superficie del género g Riemann tiene un polígono fundamental de Fricke, es decir, un polígono convexo con emparejamiento canónico entre lados. (El polígono no tiene por qué ser necesariamente un polígono de Dirichlet).
- Después de una adecuada normalización y etiquetado de los generadores del grupo fundamental, el polígono de Fricke se determina de forma única y los 6 g - 6 parámetros reales que lo describen se pueden utilizar como parámetros analíticos reales globales para el espacio de Teichmüller en el género g .
Estos resultados están ligados a la interrelación entre los homeomorfismos y el grupo fundamental: esto refleja el hecho de que el grupo de clases de mapeo de una superficie de Riemann —el grupo de auto-homomorfismos cuasiconformales de una superficie de Riemann H / Γ módulo aquellos homotópicos a la identidad— se puede identificar con el grupo de automorfismo externo de Γ (el teorema de Dehn-Nielsen-Baer ). [14] Para ver esta conexión, observe que si f es un homeomorfismo cuasiconformal de X 1 = H / Γ 1 sobre X 2 = H / Γ 2 , entonces f se eleva a un homeomorfismo cuasiconformal f de H sobre sí mismo. Este lifting es único hasta la precomposición con elementos de Γ 1 y la postcomposición con elementos de Γ 2 . Si π i es la proyección de H sobre X i , entonces f ∘ π 1 = π 2 ∘ f y Γ i es solo el grupo de homeomorfismos g de H tales que π i ∘ g = π i . Si se deduce que f g = θ ( g ) f para g en Γ 1 donde θ es un isomorfismo de grupo de Γ 1 sobre Γ 2 . Una elección diferente de f cambia θ por composición con un automorfismo interno: se dice que tales isomorfismos son equivalentes . [15]
Dos isomorfismos θ y θ ′ son equivalentes si y solo si los correspondientes homeomorfismos f y f ' son homotópicos. De hecho, basta con mostrar que un auto-homeomorfismo cuasiconformal f de una superficie induce un automorfismo interno del grupo fundamental si y solo si es homotópico al mapa de identidad: en otras palabras, el homomorfismo del grupo de auto-homeomorfismo cuasiconformal de H / Γ into Out Γ pasa al grupo de clases de mapeo en el que se inyecta. De hecho, suponga primero que F ( t ) es un camino continuo de auto-homeomorfismos con F (0) = id y F (1) = f . Entonces hay una elevación continua F ( t ) con F (0) = id. Además, para cada g en Γ, F ( t ) ∘ g ∘ F ( t ) −1 es un elemento que varía continuamente de Γ igual ag para t = 0 ; por lo que la discreción de Γ obliga a este elemento a ser constante y, por lo tanto, igual ag de modo que F ( t ) conmuta con Γ, por lo que F (1) induce el automorfismo trivial. Si, por otro lado, F es una elevación cuasiconformal de f que induce un automorfismo interno de Γ, después de la composición con un elemento Γ, si es necesario, se puede suponer que F conmuta con Γ. Dado que F es cuasiconformal, se extiende a un homeomorfismo cuasimétrico del círculo que también conmuta con Γ. Cada g ≠ id en Γ es hiperbólico, por lo que tiene dos puntos fijos en el círculo a ± tal que para todos los demás puntos z , g ± n ( z ) tiende a a ± cuando n tiende a infinito. Por tanto, F debe fijar estos puntos; dado que estos puntos son densos en el círculo a medida que g varía, se deduce que F fija el círculo unitario. Sea μ = F z / F z , de modo que μ es un diferencial de Beltrami invariante Γ. Sea F ( t ) la solución de la ecuación de Beltrami tμ normalizada para fijar tres puntos en el círculo unitario. Entonces F ( t ) conmuta con Γ y así, como para F = F (1) , es la identidad en el círculo unitario. Por construcción F ( t ) es una isotopía entre la identidad y F . Esto prueba la inyectividad. [15]
La prueba de sobrejetividad se basa en comparar la métrica hiperbólica en D con una métrica de longitud de palabra en Γ. [16] Suponiendo sin pérdida de generalidad que 0 se encuentra en el interior de un polígono fundamental convexo C y g es un elemento de Γ, el rayo de 0 a g (0) —la geodésica hiperbólica— pasa a través de una sucesión de traslados de C . Cada uno de estos se obtiene del anterior aplicando un generador de Γ o un producto fijo de generadores (si las sucesivas traslaciones se encuentran en un vértice). De ello se deduce que la distancia hiperbólica entre 0 y g (0) es menos de 4 g veces la longitud de palabra de g más dos veces el diámetro del polígono fundamental. Por lo tanto, la métrica en Γ d 1 ( g , h ) = L ( h −1 g ) definida por la longitud de la palabra L ( g ) satisface
para constantes positivas una y b . Por el contrario no son constantes positivas c y d de tal manera que
Polígonos de Dirichlet
Dado un punto en el semiplano superior H , y un subgrupo discreto Γ de PSL (2, R ) que actúa libremente de forma discontinua en el semiplano superior, entonces se puede definir el polígono de Dirichlet como el conjunto de puntos
Aquí, d es una métrica hiperbólica en el semiplano superior. El polígono métrico fundamental se suele llamar polígono de Dirichlet .
- Este polígono fundamental es un dominio fundamental .
- Este polígono fundamental es convexo porque la geodésica que une dos puntos cualesquiera del polígono está contenida completamente dentro del polígono.
- El diámetro de F es menor o igual que el diámetro de H / Γ. En particular, el cierre de F es compacto.
- Si Γ no tiene puntos fijos en H y H / Γ es compacto, entonces F tendrá un número finito de lados.
- Cada lado del polígono es un arco geodésico .
- Para cada lado s del polígono, hay precisamente otro lado s ′ tal que gs = s ′ para algún g en Γ. Por tanto, este polígono tendrá un número par de lados.
- El conjunto de elementos del grupo g que unen lados entre sí son generadores de Γ, y no hay un conjunto más pequeño que genere Γ.
- El semiplano superior está embaldosado por el cierre de F bajo la acción de Γ. Es decir, dónde es el cierre de F .
Polígono normalizado
En esta sección, partiendo de un polígono de Dirichlet arbitrario, se dará una descripción del método de Nevanlinna (1955)
, elaborado en Jost (2002) , para modificar el polígono a un polígono no convexo con vértices equivalentes a 4 gy un emparejamiento canónico en los lados. Este tratamiento es una contraparte analítica de la clasificación topológica clásica de poliedros bidimensionales orientables presentada en Seifert & Threlfall (1934) .Polígono canónico de fricción
Dada una superficie de Riemann de género g mayor que uno, Fricke describió otro polígono fundamental, el polígono canónico de Fricke , que es un ejemplo muy especial de un polígono de Dirichlet. El polígono está relacionado con la presentación estándar del grupo fundamental de la superficie. La construcción original de Fricke es complicada y se describe en Fricke y Klein (1897) . Utilizando la teoría de los mapeos cuasiconformales de Ahlfors y Bers , Keen (1965) dio una versión nueva, más corta y más precisa de la construcción de Fricke. El polígono canónico de Fricke tiene las siguientes propiedades:
- Los vértices del polígono de Fricke tienen 4 g vértices que se encuentran en una órbita de Γ. Por vértice se entiende el punto donde se encuentran dos lados.
- Los lados están emparejados en pares distintos, de modo que hay un elemento único de Γ que lleva un lado al lado emparejado, invirtiendo la orientación. Dado que la acción de Γ conserva la orientación, si un lado se llama, entonces el otro del par se puede marcar con la orientación opuesta .
- Los bordes del polígono estándar se pueden organizar de modo que la lista de lados adyacentes adopte la forma . Es decir, se pueden disponer pares de lados para que se entrelacen de esta manera.
- Los lados son arcos geodésicos.
- Cada uno de los ángulos interiores del polígono de Fricke es estrictamente menor que π , por lo que el polígono es estrictamente convexo y la suma de estos ángulos interiores es 2 π .
La construcción anterior es suficiente para garantizar que cada lado del polígono sea un bucle cerrado (no trivial) en la superficie de Riemann H / Γ. Como tal, cada lado puede ser un elemento del grupo fundamental . En particular, el grupo fundamentaltiene 2 generadores g, con exactamente una restricción definitoria,
- .
El género de la superficie de Riemann H / Γ es g .
Área
El área del polígono fundamental estándar es donde g es el género de la superficie de Riemann (de manera equivalente, donde 4 g es el número de lados del polígono). Dado que el polígono estándar es un representante de H / Γ, el área total de la superficie de Riemann es igual al área del polígono estándar. La fórmula del área se deriva del teorema de Gauss-Bonnet y, en cierto sentido, se generaliza mediante la fórmula de Riemann-Hurwitz .
Forma explícita para polígonos estándar
Se pueden dar expresiones explícitas para el polígono estándar regular de 4 g de lados, con simetría rotacional. En este caso, el de un géneroSuperficie de Riemann con simetría rotacional g -fold, el grupo puede estar dado por generadores . Estos generadores vienen dados por las siguientes transformadas lineales fraccionarias que actúan sobre el semiplano superior :
por . Los parámetros vienen dados por
y
y
Se puede verificar que estos generadores obedecen a la restricción
que da la totalidad de la presentación del grupo .
Ver también
- Gráfico de Cayley
- Dominio euclidiano
- Diagrama de Voronoi
Notas
- ^ Ver:
- Fricke y Klein 1897
- Appell, Goursat y Fatou 1930
- Afilado 1965
- Beardon 1983
- Jost 2002
- ^ Ver:
- Hirsch 1994
- Shastri 2011
- ^ Ejemplo de construcción de esfera a partir de polígono fundamental .
- ^ E. Fedorov (1891) "Симметрія на плоскости" ( Simmetriya na ploskosti , Simetría en el plano), Записки Императорского С.-Петербургского минералогического общества ( Zapiski Imperatorskova Sankt-Petersburgskova Mineralogicheskova Obshchestva , Actas de la Imperial San Petersburgo Sociedad mineralógica) , Segunda serie, 28 : 345–390 (en ruso).
- ^ Ver:
- Eggleston 1958
- Cassels 1997
- Grünbaum y Shephard 1987
- Böröczky 2004
- Zong 2014
- ^ Prueba de Voronoi tiene la ventaja de generalizar para n dimensiones: Muestra que si traduce de un centralmente simétrica convexa poliedro tessallate R n , entonces el poliedro tiene a lo sumo 2 (2 n - 1) se enfrenta.
- ^ Ver:
- Bambah y Davenport (1952)
- Coxeter (1962)
- Lyusternik (1966)
- ^ Ver:
- Cassels 1994
- Kolmogorov y Yukshkevich 2001 , págs. 157-159
- ^ a b c Beardon 1984
- ^ Imayoshi y Tanaguchi 1992
- ^ Tenga en cuenta que un polígono simple en el plano con n ≥ 4 vértices es homeomorfo a uno, y por lo tanto cualquier n -gonconvexopor un homeomorfismo lineal a trozos, lineal en los bordes: esto sigue por inducción en n de la observación de Max Dehn que cualquier polígono simple posee una diagonal, es decir, una cuerda interior entre vértices, por lo que se puede dividir en polígonos más pequeños; véase Guggenheimer (1977) . Para uncuadriláteroregular de 4 g , el emparejamiento entre lados se puede hacer lineal, reparametrizando triángulos formados por el centro y un lado de cada par de lados.
- ^ Jost 2002 , págs. 47-57
- ^ Shastri 2010
- ^ Farb y Margalit 2012
- ↑ a b Ahlfors , 2006 , págs. 67–68
- ^ Farb y Margalit 2012 , págs. 230-236
Referencias
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