En álgebra abstracta , específicamente en la teoría de módulos , un submódulo denso de un módulo es un refinamiento de la noción de submódulo esencial . Si N es un submódulo denso de M , alternativamente se puede decir que " N ⊆ M es una extensión racional ". Los submódulos densos están conectados con anillos de cocientes en la teoría de anillos no conmutativos. La mayoría de los resultados que aparecen aquí se establecieron por primera vez en ( Johnson 1951 ), ( Utumi 1956 ) y ( Findlay & Lambek 1958 ) .
Cabe señalar que esta terminología es diferente de la noción de un subconjunto denso en la topología general . No se necesita una topología para definir un submódulo denso, y un submódulo denso puede o no ser topológicamente denso en un módulo con topología.
Definición
Este artículo modifica la exposición que aparece en ( Storrer 1972 ) y ( Lam 1999 , p. 272). Deje que R sea un anillo, y M es un derecho R módulo con submódulo N . Para un elemento y de M , defina
Tenga en cuenta que la expresión y -1 es meramente formal, ya que no tiene sentido hablar del módulo de elementos y siendo invertible , pero la notación ayuda a sugerir que Y ⋅ ( y -1 N ) ⊆ N . El conjunto y -1 N es siempre un derecho ideales de R .
Un submódulo N de M se dice que es un submódulo densa si para todo x y y en M con x ≠ 0, existe un r en R tal que xr ≠ {0} y yr es en N . En otras palabras, usando la notación introducida, el conjunto
En este caso, la relación se denota por
Otra definición equivalente es de naturaleza homológica : N es denso en M si y solo si
donde E ( M ) es el casco inyectiva de M .
Propiedades
- Se puede demostrar que N es un submódulo esencial de M si y solo si para todo y ≠ 0 en M , el conjunto y ⋅ ( y −1 N ) ≠ {0}. Entonces, claramente, cada submódulo denso es un submódulo esencial.
- Si M es un módulo no singular , entonces N es denso en M si y sólo si es esencial en M .
- Un anillo es un anillo de derecha no singular si y solo si sus ideales de derecha esenciales son todos ideales de derecha densos.
- Si N y N ' son submódulos densos de M , entonces también lo es N ∩ N' .
- Si N es denso y N ⊆ K ⊆ M , entonces K también es denso.
- Si B es un ideales densa justo en R , entonces también lo es y -1 B para cualquier y en R .
Ejemplos de
- Si x es un no-zerodivisor en el centro de R , entonces xR es una densa ideales derecha de R .
- Si I es un ideal bilateral de R , I es denso como ideal derecho si y solo si el aniquilador izquierdo de I es cero, es decir,. En particular en los anillos conmutativos, los ideales densos son precisamente los ideales que son módulos fieles .
Aplicaciones
Casco racional de un módulo
Cada módulo R derecho M tiene una extensión esencial máxima E ( M ) que es su casco inyectivo . La construcción análoga que utiliza una extensión densa máxima da como resultado el casco racional Ẽ ( M ) que es un submódulo de E ( M ). Cuando un módulo no tiene una extensión racional adecuada, de modo que Ẽ ( M ) = M , se dice que el módulo está racionalmente completo . Si R es derecha no singular, entonces, por supuesto, Ẽ ( M ) = E ( M ).
El casco racional se identifica fácilmente dentro del casco inyectable. Sea S = End R ( E ( M )) el anillo de endomorfismo del casco inyectivo. A continuación, un elemento x del casco es inyectiva en el casco racional si y sólo si x es enviada a cero todos los mapas en S que son cero en M . En símbolos,
En general, puede haber mapas en S que son cero en M y, sin embargo, son distintos de cero para alguna x que no está en M , y tal x no estaría en el casco racional.
Anillo máximo derecho de cocientes
El anillo maximal derecho de los cocientes se puede describir en dos formas en conexión con ideales densos adecuados de R .
- En un método, se muestra que Ẽ ( R ) es un módulo isomorfo para un cierto anillo de endomorfismo, y la estructura del anillo se toma a través de este isomorfismo para imbuir a Ẽ ( R ) con una estructura de anillo, la del anillo máximo derecho de cocientes. ( Lam 1999 , pág. 366)
- En un segundo método, el anillo maximal derecho de los cocientes se identifica con un conjunto de clases de equivalencia de homomorfismos de ideales correctos densas de R en R . La relación de equivalencia dice que dos funciones son equivalentes si están de acuerdo en una densa ideales derecha de R . ( Lam 1999 , pág.370)
Referencias
- Findlay, GD; Lambek, J. (1958), "Un anillo generalizado de cocientes. I, II", Canadian Mathematical Bulletin , 1 : 77–85, 155–167, doi : 10.4153 / CMB-1958-009-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0094370
- Johnson, RE (1951), "El centralizador extendido de un anillo sobre un módulo", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , 2 : 891–895, doi : 10.1090 / s0002-9939-1951-0045695-9 , ISSN 0002-9939 , MR 0045695
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Storrer, Hans H. (1972), "Sobre la descomposición primaria de Goldman", Conferencias sobre anillos y módulos (Tulane Univ. Ring and Operator Theory) , Berlín: Springer, I (1970-1971): 617-661. Lecture Notes in Math., Vol. 246, doi : 10.1007 / bfb0059571 , MR 0360717
- Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos de cociente", Osaka Math. J. , 8 : 1–18, MR 0078966