En las ramas del álgebra abstracta conocida como teoría de anillos y teoría de módulos , cada uno derecho (resp. A la izquierda) R módulo M tiene un submódulo singular que consiste en elementos cuya aniquiladores son esenciales derecha (resp. A la izquierda) ideales en R . En notación de conjuntos se suele denotar como. Para anillos generales,es una buena generalización de los submódulos de torsión ( M ) que se define con mayor frecuencia para dominios . En el caso de que R sea un dominio conmutativo,.
Si R es cualquier anillo,se define considerando R como módulo derecho, y en este casoes un ideales a dos caras de R denomina ideales singular derecho de R . Del mismo modo, el análogo para zurdosse define. Es posible que.
Definiciones
Aquí hay varias definiciones que se utilizan al estudiar submódulo singular e ideales singulares. A continuación, M es un módulo R :
- M se llama módulo singular si.
- M se llama módulo no singular si.
- R se llama derecha no singular si. Un anillo no singular izquierdo se define de manera similar, utilizando el ideal singular izquierdo, y es completamente posible que un anillo sea no singular derecho pero no izquierdo.
En anillos con unidad siempre es el caso que , por lo que "anillo singular derecho" no se suele definir de la misma manera que los módulos singulares. Algunos autores han usado "anillo singular" para significar "tiene un ideal singular distinto de cero", sin embargo, este uso no es consistente con el uso de los adjetivos para módulos.
Propiedades
Algunas propiedades generales del submódulo singular incluyen:
- dónde denota el zócalo de M .
- Si f es un homomorfismo de módulos R de M a N , entonces.
- Si N es un submódulo de M , entonces.
- Las propiedades "singular" y "no singular" son propiedades invariantes de Morita .
- Los ideales singulares de un anillo contienen elementos centrales nilpotentes del anillo. En consecuencia, el ideal singular de un anillo conmutativo contiene el nilradical del anillo.
- Una propiedad general del submódulo de torsión es que , pero esto no es necesariamente válido para el submódulo singular. Sin embargo, si R es un anillo no singular derecho, entonces.
- Si N es un submódulo esencial de M (ambos módulos de la derecha), entonces M / N es singular. Si M es un módulo libre , o si R es derecha no singular, entonces lo contrario es cierto.
- Un módulo semisimple no es singular si y solo si es un módulo proyectivo .
- Si R es un anillo autoinyectivo derecho , entonces, Donde J ( R ) es el radical Jacobson de R .
Ejemplos de
Los anillos no singulares derechos son una clase muy amplia, que incluye anillos reducidos , anillos (semi) hereditarios derechos , anillos regulares de von Neumann , dominios , anillos semisimple , anillos de Baer y anillos de Rickart derechos .
Para los anillos conmutativos, ser no singular equivale a ser un anillo reducido.
Teoremas importantes
El teorema de Johnson (debido a RE Johnson ( Lam 1999 , p. 376)) contiene varias equivalencias importantes. Para cualquier anillo R , los siguientes son equivalentes:
- R es derecha no singular.
- El casco inyectivo E ( R R ) es un módulo R derecho no singular .
- El anillo de endomorfismo es un anillo semiprimitivo (es decir,).
- El anillo máximo derecho de cocientes es von Neumann regular.
La no singularidad derecha también tiene una fuerte interacción con los anillos de autoinyección derechos.
Teorema: Si R es un anillo autoinyectivo derecho, entonces las siguientes condiciones en R son equivalentes: derecho no singular, regular de von Neumann, derecho semihereditario, derecho Rickart, Baer, semiprimitivo. ( Lam 1999 , pág.262)
El papel ( Zelmanowitz 1983 ) utilizaron módulos no singulares para caracterizar la clase de anillos cuyo anillo derecho máximo de cocientes tiene una cierta estructura.
Teorema: si R es un anillo, entonceses un derecho anillo lineal completo si y sólo si R tiene un no singular, fiel , módulo uniforme . Es más,es un producto directo finito de anillos lineales completos si y solo si R tiene un módulo fiel no singular con una dimensión uniforme finita .
Libros de texto
- Goodearl, KR (1976), Teoría de anillos: anillos y módulos no singulares , Matemáticas puras y aplicadas, No. 33, Nueva York: Marcel Dekker Inc., págs. Viii + 206, MR 0429962
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294