Dado el sistema:
Asumiendo que no hay raíces de acostarse sobre el eje imaginario, y dejar
- = El número de raíces de con partes reales negativas, y
- = El número de raíces de con partes reales positivas
entonces nosotros tenemos
Expresando en forma polar, tenemos
dónde
y
de (2) tenga en cuenta que
dónde
Ahora bien, si la i- ésima raíz detiene una parte real positiva, entonces ( usando la notación y = (RE [y], IM [y]) )
y
y
Del mismo modo, si la i- ésima raíz de tiene una parte real negativa,
y
y
De (9) a (11) encontramos que cuando la i- ésima raíz de tiene una parte real positiva, y de (12) a (14) encontramos que cuando la i- ésima raíz detiene una parte real negativa. Por lo tanto,
Entonces, si definimos
entonces tenemos la relación
y la combinación de (3) y (17) nos da
- y
Por lo tanto, dada una ecuación de de grado solo necesitamos evaluar esta función para determinar , el número de raíces con partes reales negativas y , el número de raíces con partes reales positivas.
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Figura 1 |
versus |
De acuerdo con (6) y la Figura 1, el gráfico de vs , variar en un intervalo (a, b) donde y son múltiplos enteros de , esta variación que causa la función haber aumentado en , indica que en el transcurso del viaje del punto a al punto b, ha "saltado" de a una vez más de lo que ha saltado a . Del mismo modo, si variamos durante un intervalo (a, b) esta variación que causa haber disminuido en , donde de nuevo es un múltiplo de en ambos y , implica que ha saltado de a una vez más de lo que ha saltado a como fue variado durante dicho intervalo.
Por lo tanto, es veces la diferencia entre el número de puntos en los que salta desde a y el número de puntos en los que salta desde a como rangos sobre el intervalo siempre que en , se define.
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Figura 2 |
versus |
En el caso de que el punto de partida sea una incongruencia (p. Ej. , i = 0, 1, 2, ...) el punto final también estará en una incongruencia, según la ecuación (17) (ya que es un número entero y es un entero, será un número entero). En este caso, podemos lograr este mismo índice (diferencia en saltos positivos y negativos) desplazando los ejes de la función tangente por, agregando a . Por lo tanto, nuestro índice ahora está completamente definido para cualquier combinación de coeficientes en evaluando sobre el intervalo (a, b) = cuando nuestro punto inicial (y por tanto final) no es una incongruencia, y al evaluar
sobre dicho intervalo cuando nuestro punto de partida es incongruente.
Esta diferencia , de las incongruencias de salto positivas y negativas encontradas al atravesar de a se llama índice de Cauchy de la tangente del ángulo de fase, siendo el ángulo de fase o , dependiendo como es un múltiplo entero de o no.
Para derivar el criterio de Routh, primero usaremos una notación diferente para diferenciar entre los términos pares e impares de :
Ahora tenemos:
Por tanto, si incluso,
y si es impar:
Ahora observe que si es un número entero impar, luego por (3) es impar. Si es un número entero impar, entonces también es extraño. De manera similar, este mismo argumento muestra que cuando incluso, será parejo. La ecuación (15) muestra que si incluso, es un múltiplo entero de . Por lo tanto, está definido para par, y por lo tanto es el índice adecuado para usar cuando n es par, y de manera similar está definido para extraño, lo que lo convierte en el índice adecuado en este último caso.
Así, de (6) y (23), para incluso:
y de (19) y (24), para impar:
He aquí que estamos evaluando el mismo índice de Cauchy para ambos:
Sturm nos da un método para evaluar. Su teorema establece lo siguiente:
Dada una secuencia de polinomios dónde:
1) Si luego , , y
2) por
y definimos como el número de cambios de signo en la secuencia por un valor fijo de , luego:
Se obtiene una secuencia que satisface estos requisitos utilizando el algoritmo euclidiano , que es el siguiente:
Empezando con y , y denota el resto de por y de manera similar denota el resto de por , y así sucesivamente, obtenemos las relaciones:
o en general
donde el último resto distinto de cero, será, por tanto, el factor común más alto de . Puede observarse que la secuencia así construida satisfará las condiciones del teorema de Sturm y, por tanto, se ha desarrollado un algoritmo para determinar el índice establecido.
Al aplicar el teorema de Sturm (28) a (29), mediante el uso del algoritmo euclidiano anterior, se forma la matriz de Routh.
Obtenemos
e identificando los coeficientes de este resto por , , , , etc., hace que nuestro resto formado
dónde
Continuar con el algoritmo euclidiano sobre estos nuevos coeficientes nos da
donde nuevamente denotamos los coeficientes del resto por , , , ,
haciendo nuestro resto formado
y dándonos
Las filas de la matriz de Routh están determinadas exactamente por este algoritmo cuando se aplica a los coeficientes de (20). Una observación digna de mención es que en el caso regular los polinomios y tener como factor común más alto y así habrá polinomios en la cadena .
Note ahora que al determinar los signos de los miembros de la secuencia de polinomios que en el poder dominante de será el primer término de cada uno de estos polinomios y, por tanto, sólo estos coeficientes correspondientes a las mayores potencias de en , y , que son , , , , ... determinar los signos de , , ..., a .
Entonces obtenemos es decir, es el número de cambios de signo en la secuencia , , , ... que es el número de cambios de signo en la secuencia , , , , ... y ; es decir es el número de cambios de signo en la secuencia , , , ... que es el número de cambios de signo en la secuencia , , , ...
Desde nuestra cadena , , , , ... tendrá miembros está claro que ya que dentro si va de a no se ha producido un cambio de signo, dentro de ir desde a uno tiene, y lo mismo para todos transiciones (no habrá términos iguales a cero) dándonos cambios totales de signo.
Como y , y de (18) , tenemos eso y han derivado el teorema de Routh -
El número de raíces de un polinomio real. que se encuentran en el semiplano derecho es igual al número de cambios de signo en la primera columna del esquema de Routh.
Y para el caso estable donde luego según el cual tenemos el famoso criterio de Routh:
Para todas las raíces del polinomio para tener partes reales negativas, es necesario y suficiente que todos los elementos de la primera columna del esquema de Routh sean diferentes de cero y del mismo signo.