Morfismo diagonal

Para el caso particular de la noción en geometría algebraica, vea incrustación diagonal .

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , para cualquier objeto en cualquier categoría donde exista el producto , existe el morfismo diagonal.${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times a}$

${\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}$

satisfactorio

${\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=id_{a}}$ por ${\displaystyle k\in \{1,2\},}$

donde está el morfismo de proyección canónica al componente -ésimo. La existencia de este morfismo es consecuencia de la propiedad universal que caracteriza al producto ( hasta el isomorfismo ). La restricción a los productos binarios aquí es para facilitar la notación; Los morfismos diagonales existen de manera similar para productos arbitrarios. La imagen de un morfismo diagonal en la categoría de conjuntos , como un subconjunto del producto cartesiano , es una relación en el dominio , a saber, la igualdad .${\displaystyle \pi _{k}}$${\displaystyle k}$

Para categorías concretas , el morfismo diagonal se puede describir simplemente por su acción sobre elementos del objeto . Es decir, el par ordenado se formó a partir de . La razón del nombre es que la imagen de tal morfismo diagonal es diagonal (siempre que tenga sentido), por ejemplo, la imagen del morfismo diagonal en la línea real está dada por la línea que es la gráfica de la ecuación . El morfismo diagonal en el producto infinito puede proporcionar una inyección en el espacio de secuencias valoradas ; cada elemento se asigna a la constante${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle X^{\infty }}$${\displaystyle X}$secuencia en ese elemento. Sin embargo, la mayoría de las nociones de espacios de secuencia tienen restricciones de convergencia que la imagen del mapa diagonal no podrá satisfacer.

Ver también

• Funtor diagonal
• Incrustación diagonal

Referencias

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• mi