En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la imagen de un morfismo es una generalización de la imagen de una función .
Dada una categoría y un morfismo en , la imagen [1] dees un monomorfismo satisfaciendo la siguiente propiedad universal :
- Existe un morfismo tal que .
- Para cualquier objeto con un morfismo y un monomorfismo tal que , existe un morfismo único tal que .
Observaciones:
- tal factorización no existe necesariamente.
- es único por definición de monic .
- por monic.
- es monic.
- ya implica que es único.
La imagen de a menudo se denota por o .
Proposición: Si tiene todos los ecualizadores, entonces el en la factorización de (1) es un epimorfismo . [2]
Prueba -
Dejar ser tal que , hay que demostrar que . Dado que el ecualizador de existe factoriza como con monic. Pero entonces es una factorización de con monomorfismo. Por tanto, por la propiedad universal de la imagen existe una flecha única tal que y desde es monic . Además, uno tiene y por la propiedad de monomorfismo de Se obtiene .
Esto significa que y así que ecualiza , de donde .
En una categoria con todos los límites y colimits finitos , la imagen se define como el ecualizador del llamado par de cokernel . [3]
Observaciones:
- La bicomplejidad finita de la categoría asegura que existan expulsiones y ecualizadores.
- se puede llamar imagen regular comoes un monomorfismo regular , es decir, el ecualizador de un par de morfismos. (Recuerde también que un ecualizador es automáticamente un monomorfismo).
- En una categoría abeliana, la propiedad del par de cokernel se puede escribir y la condición del ecualizador . Además, todos los monomorfismos son regulares.
Teorema - Si siempre factoriza a través de monomorfismos regulares, entonces las dos definiciones coinciden.
Prueba -
La primera definición implica la segunda: suponga que (1) se cumple con monomorfismo regular.
- Ecualización: hay que demostrar que. Como el par de cokernel de y por proposición anterior, ya que tiene todos los ecualizadores, la flecha en la factorización es un epimorfismo , por lo tanto.
- Universalidad: en una categoría con todos los colimits (o al menos todos los pushouts) sí mismo admite un par de cokernel
- Además, como monomorfismo regular, es el ecualizador de un par de morfismos pero afirmamos aquí que también es el ecualizador de .
- De hecho, por construcción por lo tanto, el diagrama de "pares de cokernel" para produce un morfismo único tal que . Ahora, un mapa que iguala también satisface , por lo tanto, por el diagrama del ecualizador para , existe un mapa único tal que .
- Finalmente, use el diagrama de pares de cokernel (de ) con : existe un único tal que . Por tanto, cualquier mapa que iguala también iguala y, por lo tanto, se factoriza de forma única como . Esto significa exactamente que es el ecualizador de .
La segunda definición implica la primera:
- Factorización: tomando en el diagrama del ecualizador ( corresponde a ), se obtiene la factorización .
- Universalidad: dejar ser una factorización con monomorfismo regular, es decir, el ecualizador de algún par .
- Luego de modo que por el diagrama de "pares de cokernel" (de ), con , existe un único tal que .
- Ahora, de ( m del ecualizador del diagrama ( i 1 , i 2 )), se obtiene , por lo tanto, por la universalidad en el diagrama (ecualizador de ( d 1 , d 2 ), con f reemplazada por m ), existe un único tal que .
En la categoría de conjuntos la imagen de un morfismoes la inclusión de la imagen ordinaria a . En muchas categorías concretas , como grupos , grupos abelianos y módulos (de izquierda o derecha) , la imagen de un morfismo es la imagen del morfismo correspondiente en la categoría de conjuntos.
En cualquier categoría normal con un objeto cero y granos y cokernels para cada morfismo, la imagen de un morfismo se puede expresar de la siguiente manera:
- soy f = ker coker f
En una categoría abeliana (que es en particular binormal), si f es un monomorfismo, entonces f = ker coker f , y entonces f = im f .