En la teoría de números , una rama de las matemáticas, la conjetura de Dickson es la de Dickson ( 1904 ) que para un conjunto finito de formas lineales a 1 + b 1 n , a 2 + b 2 n , ..., a k + b k n con b i ≥ 1 , hay infinitos números enteros positivos n para los cuales todos son primos , a menos que exista una condición de congruencia que lo impida (Ribenboim 1996 , 6.I). El caso k = 1 es el teorema de Dirichlet .
Otros dos casos especiales son conjeturas bien conocidas: hay infinitos números primos gemelos ( n y 2 + n son primos), y hay infinitos números primos de Sophie Germain ( n y 1 + 2 n son primos).
La conjetura de Dickson se amplía aún más con la hipótesis H de Schinzel .
Conjetura generalizada de Dickson
Dados n polinomios con grados positivos y coeficientes enteros ( n puede ser cualquier número natural) que cada uno satisfaga las tres condiciones en la conjetura de Bunyakovsky , y para cualquier primo p hay un entero x tal que los valores de todos los n polinomios en x no son divisible por p , entonces hay infinitos números enteros positivos x tales que todos los valores de estos n polinomios en x son primos. Por ejemplo, si la conjetura es cierta, entonces hay infinitos números enteros positivos x tales que x 2 + 1, 3 x - 1 y x 2 + x + 41 son todos primos. Cuando todos los polinomios tienen grado 1, esta es la conjetura original de Dickson.
Esta conjetura más general es la misma que la conjetura generalizada de Bunyakovsky .
Ver también
Referencias
- Dickson, LE (1904), "Una nueva extensión del teorema de Dirichlet sobre números primos" , Messenger of Mathematics , 33 : 155-161
- Ribenboim, Paulo (1996), El nuevo libro de registros de números primos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94457-9, MR 1377060