En teoría de números , los números primos en progresión aritmética son cualquier secuencia de al menos tres números primos que son términos consecutivos en una progresión aritmética . Un ejemplo es la secuencia de primos (3, 7, 11), que viene dada por por .
Según el teorema de Green-Tao , existen secuencias de primos arbitrariamente largas en progresión aritmética. A veces, la frase también se puede usar sobre números primos que pertenecen a una progresión aritmética que también contiene números compuestos. Por ejemplo, se puede usar sobre números primos en una progresión aritmética de la forma, Donde un y b son primos entre sí que de acuerdo con Teorema de Dirichlet contiene infinitos primos, junto con un número infinito de materiales compuestos.
Para un entero k ≥ 3, un AP- k (también llamado PAP- k ) es cualquier secuencia de k primos en progresión aritmética. Un AP- k se puede escribir como k primos de la forma a · n + b , para enteros fijos a (llamados diferencia común) yb , y k valores enteros consecutivos de n . Un AP- k generalmente se expresa con n = 0 a k - 1. Esto siempre se puede lograr definiendo b como el primer primo en la progresión aritmética.
Propiedades
Cualquier progresión aritmética de números primos tiene una longitud finita. En 2004, Ben J. Green y Terence Tao establecieron una vieja conjetura al demostrar el teorema de Green-Tao : los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas . [1] Se deduce inmediatamente que hay infinitos AP- k para cualquier k .
Si un AP- k no comienza con el primo k , entonces la diferencia común es un múltiplo del primorial k # = 2 · 3 · 5 · ... · j , donde j es el primo más grande ≤ k .
- Prueba : Deje que la AP- k sea una · n + b para k valores consecutivos de n . Si un primo p no divide a , entonces la aritmética modular dice que p dividirá cada p ' ésimo término de la progresión aritmética. (Tomado de HJ Weber, Cor.10 en "Exceptional Prime Number Twins, Triplets and Multiplets", arXiv: 1102.3075 [math.NT]. Véase también Theor.2.3 en "Regularidades de números primos gemelos, tripletes y múltiplos", arXiv : 1103.0447 [math.NT], Global JPAMath 8 (2012), en prensa.) Si el AP es primo para k valores consecutivos, entonces a debe ser divisible por todos los primos p ≤ k .
Esto también muestra que un AP con diferencia común a no puede contener más términos primos consecutivos que el valor del primo más pequeño que no divide a .
Si k es primo, entonces un AP- k puede comenzar con k y tener una diferencia común que es solo un múltiplo de ( k −1) # en lugar de k #. (De HJ Weber, `` Multiplets de números primos repetidos y excepcionales menos regulares, "arXiv: 1105.4092 [math.NT], Sect.3.) Por ejemplo, el AP-3 con primos {3, 5, 7} y diferencia común 2 # = 2, o el AP-5 con primos {5, 11, 17, 23, 29} y diferencia común 4 # = 6. Se conjetura que tales ejemplos existen para todos los primos k . A partir de 2018[actualizar], el número primo más grande para el que se confirma esto es k = 19, para este AP-19 encontrado por Wojciech Iżykowski en 2013:
- 19 + 4244193265542951705 · 17 # · n, para n = 0 a 18. [2]
De las conjeturas ampliamente creídas, como la de Dickson y algunas variantes de la conjetura de la tupla k del primo , si p > 2 es el primo más pequeño que no divide a , entonces hay infinitos AP- ( p −1) con diferencia común a . Por ejemplo, 5 es el número primo más pequeño que no divide a 6, por lo que se espera que haya un número infinito de AP-4 con una diferencia común de 6, lo que se denomina cuatrillizo primo sexy . Cuando a = 2, p = 3, es la conjetura del primo gemelo , con un "AP-2" de 2 primos ( b , b + 2).
Primos mínimos en AP
Minimizamos el último término. [3]
k | Primas para n = 0 a k −1 |
---|---|
3 | 3 + 2 n |
4 | 5 + 6 n |
5 | 5 + 6 n |
6 | 7 + 30 n |
7 | 7 + 150 n |
8 | 199 + 210 n |
9 | 199 + 210 n |
10 | 199 + 210 n |
11 | 110437 + 13860 n |
12 | 110437 + 13860 n |
13 | 4943 + 60060 n |
14 | 31385539 + 420420 n |
15 | 115453391 + 4144140 n |
dieciséis | 53297929 + 9699690 n |
17 | 3430751869 + 87297210 n |
18 | 4808316343 + 717777060 n |
19 | 8297644387 + 4180566390 n |
20 | 214861583621 + 18846497670 n |
21 | 5749146449311 + 26004868890 n |
Los primos más grandes conocidos en AP
Para q primo , q # denota el primorial 2 · 3 · 5 · 7 · ... · q .
A septiembre de 2019[actualizar], el AP- k más largo conocido es un AP-27. Se conocen varios ejemplos para AP-26. El primero en ser descubierto fue encontrado el 12 de abril de 2010 por Benoãt Perichon en una PlayStation 3 con software de Jarosław Wróblewski y Geoff Reynolds, portado a PlayStation 3 por Bryan Little, en un proyecto distribuido de PrimeGrid : [2]
- 43142746595714191 + 23681770 · 23 # · n , para n = 0 a 25. (23 # = 223092870) (secuencia A204189 en la OEIS )
Cuando se encontró el primer AP-26, PrimeGrid [4] dividió la búsqueda en 131.436.182 segmentos y la procesaron CPU de 32/64 bits, GPU Nvidia CUDA y microprocesadores Cell de todo el mundo.
Antes de eso, el registro era un AP-25 encontrado por Raanan Chermoni y Jarosław Wróblewski el 17 de mayo de 2008: [2]
- 6171054912832631 + 366384 · 23 # · n , para n = 0 a 24. (23 # = 223092870)
La búsqueda de AP-25 se dividió en segmentos que demoraron aproximadamente 3 minutos en Athlon 64 y Wróblewski informó "Creo que Raanan pasó por menos de 10,000,000 de tales segmentos" [5] (esto habría tomado alrededor de 57 cpu años en Athlon 64).
El récord anterior fue un AP-24 encontrado solo por Jarosław Wróblewski el 18 de enero de 2007:
- 468395662504823 + 205619 · 23 # · n , para n = 0 a 23.
Para esto, Wróblewski informó que usó un total de 75 computadoras: 15 Athlons de 64 bits , 15 Pentium D 805 de 64 bits de doble núcleo , 30 Athlons 2500 de 32 bits y 15 Durons 900. [6]
La siguiente tabla muestra el AP- k más grande conocido con el año del descubrimiento y el número de dígitos decimales en el primo final. Tenga en cuenta que el AP- k más grande conocido puede ser el final de un AP- ( k +1). Algunos establecedores de registros eligen calcular primero un gran conjunto de números primos de la forma c · p # + 1 con p fijo , y luego buscar AP entre los valores de c que produjeron un primo. Esto se refleja en la expresión de algunos registros. La expresión se puede reescribir fácilmente como a · n + b .
k | Primas para n = 0 a k −1 | Dígitos | Año | Descubridor |
---|---|---|---|---|
3 | (2723880039837 · 2 1290000 −1) + (4125 · 2 1445205 - 2723880039837 · 2 1290000 ) · n | 435054 | 2016 | David Broadhurst, David Abrahmi, David Metcalfe, PrimeGrid |
4 | (1021747532 + 7399459 · n) · 60013 # + 1 | 25992 | 2019 | Ken Davis |
5 | (161291608 + 59874860 · n) · 24001 # + 1 | 10378 | 2018 | Ken Davis |
6 | (1445494494 + 141836149 · n) · 16301 # + 1 | 7036 | 2018 | Ken Davis |
7 | (234043271 + 481789017 · n ) · 7001 # + 1 | 3019 | 2012 | Ken Davis |
8 | (48098104751 + 3026809034 · n ) · 5303 # + 1 | 2271 | 2019 | Norman Luhn, Paul Underwood y Ken Davis |
9 | (65502205462 + 6317280828 · n ) · 2371 # + 1 | 1014 | 2012 | Ken Davis, Paul Underwood |
10 | (20794561384 + 1638155407 · n ) · 1050 # + 1 | 450 | 2019 | Norman Luhn |
11 | (16533786790 + 1114209832 · n ) · 666 # + 1 | 289 | 2019 | Norman Luhn |
12 | (15079159689 + 502608831 · n ) · 420 # + 1 | 180 | 2019 | Norman Luhn |
13 | (50448064213 + 4237116495 · n ) · 229 # + 1 | 103 | 2019 | Norman Luhn |
14 | (55507616633 + 670355577 · n ) · 229 # + 1 | 103 | 2019 | Norman Luhn |
15 | (14512034548 + 87496195 · n) · 149 # + 1 | 68 | 2019 | Norman Luhn |
dieciséis | (9700128038 + 75782144 · ( n +1)) · 83 # + 1 | 43 | 2019 | Norman Luhn |
17 | (9700128038 + 75782144 · n ) · 83 # + 1 | 43 | 2019 | Norman Luhn |
18 | (33277396902 + 139569962 · ( n +1)) · 53 # + 1 | 31 | 2019 | Norman Luhn |
19 | (33277396902 + 139569962 · n ) · 53 # + 1 | 31 | 2019 | Norman Luhn |
20 | 23 + 134181089232118748020 · 19 # · n | 29 | 2017 | Wojciech Izykowski |
21 | 5547796991585989797641 + 29 # · n | 22 | 2014 | Jarosław Wróblewski |
22 | 22231637631603420833 + 8 · 41 # · ( n + 1) | 20 | 2014 | Jarosław Wróblewski |
23 | 22231637631603420833 + 8 · 41 # · n | 20 | 2014 | Jarosław Wróblewski |
24 | 224584605939537911 + 81292139 · 23 # · ( n +3) | 18 | 2019 | Rob Gahan, PrimeGrid |
25 | 224584605939537911 + 81292139 · 23 # · ( n +2) | 18 | 2019 | Rob Gahan, PrimeGrid |
26 | 224584605939537911 + 81292139 · 23 # · ( n +1) | 18 | 2019 | Rob Gahan, PrimeGrid |
27 | 224584605939537911 + 81292139 · 23 # · n | 18 | 2019 | Rob Gahan, PrimeGrid |
Primos consecutivos en progresión aritmética
Los números primos consecutivos en progresión aritmética se refieren a al menos tres números primos consecutivos que son términos consecutivos en una progresión aritmética. Tenga en cuenta que, a diferencia de AP- k , todos los demás números entre los términos de la progresión deben ser compuestos. Por ejemplo, AP-3 {3, 7, 11} no califica, porque 5 también es primo.
Para un entero k ≥ 3, un CPAP- k son k primos consecutivos en progresión aritmética. Se conjetura que existen CPAP arbitrariamente largas. Esto implicaría una cantidad infinita de CPAP- k para todo k . La prima intermedia en un CPAP-3 se llama prima equilibrada . El más grande conocido a partir de 2018[actualizar] tiene 10546 dígitos.
El primer CPAP-10 conocido fue encontrado en 1998 por Manfred Toplic en el proyecto de computación distribuida CP10 que fue organizado por Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony y Paul Zimmermann. [7] Esta CPAP-10 tiene la diferencia común más pequeña posible, 7 # = 210. La única otra CPAP-10 conocida a partir de 2018 fue encontrada por las mismas personas en 2008.
Si existe un CPAP-11, entonces debe tener una diferencia común que sea un múltiplo de 11 # = 2310. Por lo tanto, la diferencia entre el primero y el último de los 11 primos sería un múltiplo de 23100. El requisito de al menos 23090 números compuestos entre los 11 primos hace que parezca extremadamente difícil encontrar un CPAP-11. Dubner y Zimmermann estiman que sería al menos 10 12 veces más difícil que un CPAP-10. [8]
Primos consecutivos mínimos en AP
La primera aparición de un CPAP- k solo se conoce para k ≤ 6 (secuencia A006560 en la OEIS ).
k | Primas para n = 0 a k −1 |
---|---|
3 | 3 + 2 n |
4 | 251 + 6 n |
5 | 9843019 + 30 n |
6 | 121174811 + 30 n |
Los primos consecutivos más grandes conocidos en AP
La tabla muestra el caso más grande conocido de k primos consecutivos en progresión aritmética, para k = 3 a 10.
k | Primas para n = 0 a k −1 | Dígitos | Año | Descubridor |
---|---|---|---|---|
3 | 2683143625525 · 2 35176 + 1 + 6 n | 10602 | 2019 | Gerd Lamprecht, Norman Luhn |
4 | 55072065656 · 7013 # + 9843049 + 30 n | 3024 | 2018 | Gerd Lamprecht |
5 | 2746496109133 · 3001 # + 26891 + 30 n | 1290 | 2018 | Norman Luhn, Gerd Lamprecht |
6 | 386140564676 · 1000 # + 26861 + 30 n | 427 | 2018 | Gerd Lamprecht |
7 | 4785544287883 · 613 # + x 253 + 210 n | 266 | 2007 | Jens Kruse Andersen |
8 | 10097274767216 · 250 # + x 99 + 210 n | 112 | 2003 | Jens Kruse Andersen |
9 | 73577019188277 · 199 # · 227 · 229 + x 87 + 210 n | 101 | 2005 | Hans Rosenthal, Jens Kruse Andersen |
10 | 1180477472752474 · 193 # + x 77 + 210 n | 93 | 2008 | Manfred Toplic, proyecto CP10 |
x d es un número de d dígitos utilizado en uno de los registros anteriores para asegurar un factor pequeño en inusualmente muchos de los compuestos requeridos entre los primos. x 77 = 54538241683887582 668189703590110659057865934764 604873840781923513421103495579 x 87 = 279872509634587186332039135 414046330728180994209092523040 703520843811319320930380677867 x 99 = 158 794 709 618074229409987416174386945728 371523590452459863667791687440 944143462160821328735143564091 x 253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979 836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148 519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672 408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012 399313201211101277175684636727
Ver también
- Cadena Cunningham
- Teorema de Szemerédi
- PrimeGrid
- Problemas que involucran progresiones aritméticas
Notas
- ^ Verde, Ben ; Tao, Terence (2008), "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas", Annals of Mathematics , 167 (2): 481–547, arXiv : math.NT / 0404188 , doi : 10.4007 / annals.2008.167.481 , MR 2415379 , S2CID 1883951
- ^ a b c d Jens Kruse Andersen, Primes en registros de progresión aritmética . Consultado el 31 de agosto de 2020.
- ^ Secuencia OEIS A133277
- ^ John, Foro AP26 . Consultado el 20 de octubre de 2013.
- ^ Wróblewski, Jarosław (17 de mayo de 2008). "AP25" . primenumbers (lista de correo) . Consultado el 17 de mayo de 2008 .
- ^ Wróblewski, Jarosław (18 de enero de 2007). "AP24" . primeform (lista de correo) . Consultado el 17 de junio de 2007 .
- ^ H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony, H. Nelson, P. Zimmermann, Diez números primos consecutivos en progresión aritmética , Matemáticas de Computación 71 (2002), 1323-1328.
- ^ Manfred Toplic, El proyecto de nueve y diez números primos . Consultado el 17 de junio de 2007.
- ^ a b Jens Kruse Andersen, el CPAP más grande conocido . Consultado el 28 de enero de 2020.
Referencias
- Chris Caldwell, The Prime Glossary: aritmética secuencia , The Top Veinte: Progresiones aritméticas de Primes y The Top Twenty: Primes consecutivos en progresión aritmética , todos de las Prime Pages .
- Weisstein, Eric W. "Primera progresión aritmética" . MathWorld .
- Jarosław Wróblewski, ¿Cómo buscar 26 números primos en progresión aritmética?
- P. Erdős y P. Turán, Sobre algunas secuencias de números enteros, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261-264.