La conjetura de Bunyakovsky (o conjetura de Bouniakowsky ) da un criterio para un polinomio en una variable con coeficientes enteros para dar infinitos valores primos en la secuenciaFue declarado en 1857 por el matemático ruso Viktor Bunyakovsky . Las siguientes tres condiciones son necesarias para tener la propiedad de producción de prima deseada:
- El coeficiente principal es positivo ,
- El polinomio es irreducible sobre los números enteros.
- Los valores no tienen ningún factor común . (En particular, los coeficientes de debe ser relativamente primo.)
Campo | Teoría analítica de números |
---|---|
Conjeturado por | Viktor Bunyakovsky |
Conjeturado en | 1857 |
Casos conocidos | Polinomios de grado 1 |
Generalizaciones | Conjetura de Bateman-Horn Conjetura de Dickson generalizada Hipótesis H de Schinzel |
Consecuencias | Conjetura del primo gemelo |
La conjetura de Bunyakovsky es que estas condiciones son suficientes: si satisface (1) - (3), entonces es primo para infinitos números enteros positivos .
Un enunciado que es equivalente a la conjetura de Bunyakovsky es que para cada polinomio entero que satisface (1) - (3), es primo para al menos un entero positivo . Esto se puede ver considerando la secuencia de polinomios.etc. La conjetura de Bunyakovsky es un caso especial de la hipótesis H de Schinzel , uno de los problemas abiertos más famosos de la teoría de números.
Discusión de tres condiciones
Necesitamos la primera condición porque si el coeficiente principal es negativo, entonces para todos los grandes , y por lo tanto no es un número primo (positivo) para números enteros positivos grandes . (Esto simplemente satisface la convención de signos de que los números primos son positivos).
Necesitamos la segunda condición porque si donde los polinomios y tienen coeficientes enteros, entonces tenemos para todos los enteros ; pero y tomar los valores 0 y solo un número finito de veces, así que es compuesto para todos los grandes .
La tercera condición, que los números have mcd 1, es obviamente necesario, pero es algo sutil y se comprende mejor con un contraejemplo. Considerar, que tiene un coeficiente principal positivo y es irreducible, y los coeficientes son relativamente primos; sin embargoes par para todos los enteros, por lo que es primo solo un número finito de veces (es decir, cuando , de hecho solo en ).
En la práctica, la forma más sencilla de verificar la tercera condición es encontrar un par de números enteros positivos y tal que y son relativamente de primera . En general, para cualquier polinomio con valores enteros nosotros podemos usar para cualquier entero , por lo que el mcd viene dado por valores de en cualquier consecutivo enteros. [1] En el ejemplo anterior, tenemos y entonces el gcd es , lo que implica que tiene valores pares en los enteros.
Alternativamente, se puede escribir sobre la base de polinomios de coeficientes binomiales:
donde cada es un número entero, y
Para el ejemplo anterior, tenemos:
y los coeficientes de la segunda fórmula tienen mcd 2.
Usando esta fórmula del mcd, se puede probar si y solo si hay enteros positivos y tal que y son relativamente de primera.
Ejemplos de
Un ejemplo de la conjetura de Bunyakovsky es el polinomio f ( x ) = x 2 + 1, para el cual se enumeran a continuación algunos valores primos. (Los valores de x forman la secuencia OEIS A005574 ; los de x 2 + 1 forman A002496 )
X | 1 | 2 | 4 | 6 | 10 | 14 | dieciséis | 20 | 24 | 26 | 36 | 40 | 54 | 56 | 66 | 74 | 84 | 90 | 94 | 110 | 116 | 120 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
x 2 + 1 | 2 | 5 | 17 | 37 | 101 | 197 | 257 | 401 | 577 | 677 | 1297 | 1601 | 2917 | 3137 | 4357 | 5477 | 7057 | 8101 | 8837 | 12101 | 13457 | 14401 |
Que debería ser primo infinitamente a menudo es un problema planteado por primera vez por Euler, y también es la quinta conjetura de Hardy-Littlewood y el cuarto de los problemas de Landau . A pesar de la extensa evidencia numérica, no se sabe que esta secuencia se extienda indefinidamente.
Polinomios ciclotómicos
Los polinomios ciclotómicos por satisfacen las tres condiciones de la conjetura de Bunyakovsky, por lo que para todo k , debería haber infinitos números naturales n tales quees primordial. Se puede mostrar [ cita requerida ] que si para todo k , existe un número entero n > 1 conprimo, entonces para todo k , hay infinitos números naturales n con principal.
La siguiente secuencia da el número natural más pequeño n > 1 tal que es primo, por :
- 3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 6, 2, 4, 3, 2, 10, 2, 22, 2, 2, 4, 6, 2, 2, 2, 2, 2, 14, 3, 61, 2, 10, 2, 14, 2, 15, 25, 11, 2, 5, 5, 2, 6, 30, 11, 24, 7, 7, 2, 5, 7, 19, 3, 2, 2, 3, 30, 2, 9, 46, 85, 2, 3, 3, 3, 11, 16, 59, 7, 2, 2, 22, 2, 21, 61, 41, 7, 2, 2, 8, 5, 2, 2, ... (secuencia A085398 en la OEIS ).
Se sabe que esta secuencia contiene algunos términos grandes: el término 545 es 2706, el 601 es 2061 y el 943 es 2042. Este caso de la conjetura de Bunyakovsky es ampliamente creído, pero nuevamente no se sabe que la secuencia se extiende indefinidamente.
Por lo general, hay un número entero 2≤n≤ φ (k) tal quees primo (tenga en cuenta que el grado de es φ (k)), pero hay excepciones, los números de excepción k son
- 1, 2, 25, 37, 44, 68, 75, 82, 99, 115, 119, 125, 128, 159, 162, 179, 183, 188, 203, 213, 216, 229, 233, 243, 277, 289, 292, ...
Resultados parciales: solo el teorema de Dirichlet
Hasta la fecha, el único caso de la conjetura de Bunyakovsky que se ha demostrado es el de polinomios de grado 1. Este es el teorema de Dirichlet , que establece que cuando y son enteros primos relativos hay infinitos números primos . Esta es la conjetura de Bunyakovsky para (o Si ). La tercera condición en la conjetura de Bunyakovsky para un polinomio lineal es equivalente a y siendo relativamente de primera.
No se prueba un solo caso de la conjetura de Bunyakovsky para un grado mayor que 1, aunque la evidencia numérica en un grado más alto es consistente con la conjetura.
Conjetura generalizada de Bunyakovsky
Dado polinomios con grados positivos y coeficientes enteros, cada uno satisfaciendo las tres condiciones, suponga que para cualquier primo hay un tal que ninguno de los valores del polinomios en son divisibles por . Dados estos supuestos, se conjetura que hay infinitos números enteros positivos tal que todos los valores de estos polinomios en son primos.
Tenga en cuenta que los polinomios no satisfacen el supuesto, ya que uno de sus valores debe ser divisible por 3 para cualquier número entero . Tampoco, ya que uno de los valores debe ser divisible por 3 para cualquier . Por otro lado, satisfacen el supuesto, y la conjetura implica que los polinomios tienen valores primos simultáneos para infinitos números enteros positivos .
Esta conjetura incluye como casos especiales la conjetura de los primos gemelos (cuando, y los dos polinomios son y ) así como la infinitud de cuatrillizos primos (cuando, y los cuatro polinomios son , y ), primos sexys (cuando, y los dos polinomios son y ), Sophie Germain primos (cuando, y los dos polinomios son y ), y la conjetura de Polignac (cuando, y los dos polinomios son y , con cualquier número par). Cuando todos los polinomios tienen grado 1, esta es la conjetura de Dickson .
De hecho, esta conjetura es equivalente a la conjetura generalizada de Dickson .
Excepto por el teorema de Dirichlet , no se ha probado ningún caso de la conjetura, incluidos los casos anteriores.
Ver también
- Polinomio con valores enteros
- Criterio de irreductibilidad de Cohn
- Hipótesis H de Schinzel
- Conjetura de Bateman-Horn
- Conjetura F de Hardy y Littlewood
Referencias
- ^ Hensel, Kurt (1896). "Ueber den grössten gemeinsamen Theiler aller Zahlen, welche durch eine ganze Function von n Veränderlichen darstellbar sind" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 1896 (116): 350–356. doi : 10.1515 / crll.1896.116.350 .
Bibliografía
- Ed Pegg, Jr. "Conjetura de Bouniakowsky" . MathWorld .
- Rupert, Wolfgang M. (5 de agosto de 1998). "Reducibilidad de polinomios f ( x , y ) módulo p ". arXiv : matemáticas / 9808021 .
- Bouniakowsky, V. (1857). "Sur les diviseurs numériques invariables des fonctions rationnelles entières". Mém. Acad. Carolina del Sur. San Pétersbourg . 6 : 305–329.