En teoría de números , el teorema de Green-Tao , probado por Ben Green y Terence Tao en 2004, establece que la secuencia de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas . En otras palabras, para cada número natural k , existen progresiones aritméticas de primos con k términos. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi . El problema se remonta a las investigaciones de Lagrange y Waring desde alrededor de 1770. [1]
Declaración
Dejar denotar el número de primos menores o iguales a . Si es un subconjunto de los números primos tal que
- ,
luego para todos los enteros positivos , el conjunto contiene infinitas progresiones aritméticas de longitud . En particular, todo el conjunto de números primos contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas.
En su trabajo posterior sobre la conjetura generalizada de Hardy-Littlewood , Green y Tao establecieron y probaron condicionalmente la fórmula asintótica
para el número de k tuplas de primosen progresión aritmética. [2] Aquí, es la constante
- .
El resultado fue hecho incondicional por Green-Tao [3] y Green-Tao-Ziegler. [4]
Resumen de la prueba
La prueba de Green y Tao tiene tres componentes principales:
- El teorema de Szemerédi , que afirma que los subconjuntos de números enteros con densidad superior positiva tienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. No se aplica a priori a los primos porque los primos tienen densidad cero en los enteros.
- Un principio de transferencia que extiende el teorema de Szemerédi a subconjuntos de enteros que son pseudoaleatorios en un sentido adecuado. Este resultado se denomina ahora teorema relativo de Szemerédi.
- Un subconjunto pseudoaleatorio de enteros que contiene los primos como un subconjunto denso. Para construir este conjunto, Green y Tao utilizaron ideas del trabajo de Goldston, Pintz y Yıldırım sobre brechas primarias . [5] Una vez establecida la pseudoaleatoriedad del conjunto, se puede aplicar el principio de transferencia, completando la demostración.
Se han encontrado numerosas simplificaciones al argumento del artículo original [1] . Conlon, Fox y Zhao (2014) ofrecen una exposición moderna de la prueba.
Trabajo numérico
La demostración del teorema de Green-Tao no muestra cómo encontrar las progresiones de los números primos; simplemente prueba que existen. Ha habido un trabajo computacional separado para encontrar grandes progresiones aritméticas en los números primos.
El documento de Green-Tao dice: “En el momento de escribir este artículo, la progresión aritmética más larga conocida de números primos es de 23 y fue encontrada en 2004 por Markus Frind, Paul Underwood y Paul Jobling: 56211383760397 + 44546738095860 · k; k = 0, 1,. . ., 22. '.
El 18 de enero de 2007, Jarosław Wróblewski encontró el primer caso conocido de 24 números primos en progresión aritmética : [6]
- 468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n , para n = 0 a 23.
La constante 223092870 aquí es el producto de los números primos hasta 23 (ver primo ).
El 17 de mayo de 2008, Wróblewski y Raanan Chermoni encontraron el primer caso conocido de 25 números primos:
- 6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 223,092,870 · n , para n = 0 a 24.
El 12 de abril de 2010, Benoãt Perichon con software de Wróblewski y Geoff Reynolds en un proyecto distribuido PrimeGrid encontró el primer caso conocido de 26 números primos (secuencia A204189 en la OEIS ):
- 43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 223,092,870 · n , para n = 0 a 25.
Extensiones y generalizaciones
Muchas de las extensiones del teorema de Szemerédi también son válidas para los números primos.
Independientemente, Tao y Ziegler [7] y Cook, Magyar y Titichetrakun [8] [9] derivaron una generalización multidimensional del teorema de Green-Tao. La prueba Tao-Ziegler también fue simplificada por Fox y Zhao. [10]
En 2006, Tao y Ziegler ampliaron el teorema de Green-Tao para cubrir progresiones polinómicas. [11] [12] Más precisamente, dado cualquier polinomio con valores enteros P 1 , ..., P k en un m desconocido todos con término constante 0, hay infinitos números enteros x , m tales que x + P 1 ( m ), ..., x + P k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de longitud k de primos.
Tao demostró ser un análogo del teorema de Green-Tao para los números primos de Gauss . [13]
Ver también
Referencias
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- ^ Green, Ben; Tao, Terence (2010). "Ecuaciones lineales en números primos". Annals of Mathematics . 171 (3): 1753–1850. arXiv : matemáticas / 0606088 . doi : 10.4007 / annals.2010.171.1753 . Señor 2680398 . S2CID 119596965 .
- ^ Green, Ben; Tao, Terence (2012). "La función de Möbius es fuertemente ortogonal a nilsecuencias". Annals of Mathematics . 175 (2): 541–566. arXiv : 0807.1736 . doi : 10.4007 / annals.2012.175.2.3 . Señor 2877066 .
- ^ Green, Ben; Tao, Terence; Ziegler, Tamar (2012). "Un teorema inverso para el Gowers Us + 1 [N] -norm". Annals of Mathematics . 172 (2): 1231-1372. arXiv : 1009.3998 . doi : 10.4007 / annals.2012.176.2.11 . Señor 2950773 .
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Otras lecturas
- Conlon, David ; Fox, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). "El teorema de Green-Tao: una exposición". Encuestas EMS en Ciencias Matemáticas . 1 (2): 249–282. arXiv : 1403.2957 . doi : 10.4171 / EMSS / 6 . Señor 3285854 . S2CID 119301206 .
- Gowers, Timothy (2010). "Descomposiciones, estructura aproximada, transferencia y el teorema de Hahn-Banach". Boletín de la London Mathematical Society . 42 (4): 573–606. arXiv : 0811.3103 . doi : 10.1112 / blms / bdq018 . Señor 2669681 . S2CID 17216784 .
- Green, Ben (2007). "Progresiones aritméticas largas de números primos". En Duke, William; Tschinkel, Yuri (eds.). Teoría analítica de números . Procedimiento de matemáticas de arcilla. 7 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 149-167. ISBN 978-0-8218-4307-9. Señor 2362199 .
- Anfitrión, Bernard (2006). "Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)" [Progresiones aritméticas en los números primos (después de B. Green y T. Tao)] (PDF) . Astérisque (en francés) (307): 229–246. Señor 2296420 .
- Kra, Bryna (2006). "El teorema de Green-Tao sobre progresiones aritméticas en los números primos: un punto de vista ergódico" . Boletín de la American Mathematical Society . 43 (1): 3–23. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01086-4 . Señor 2188173 .
- Tao, Terence (2006). "Progresiones aritméticas y los números primos" . Collectanea Mathematica . Vol. Extra: 37–88. Señor 2264205 . Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015 . Consultado el 5 de junio de 2015 .
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Tao, Terence (2006). "Obstrucciones a la uniformidad y patrones aritméticos en los números primos". Matemáticas puras y aplicadas trimestralmente . 2 (2): 395–433. arXiv : matemáticas / 0505402 . doi : 10.4310 / PAMQ.2006.v2.n2.a2 . Señor 2251475 . S2CID 6939076 .
- Tao, Terence (7 de enero de 2008). "Conferencia AMS: Estructura y aleatoriedad en los números primos" .