En matemáticas , la función de Spence , o dilogaritmo , denotado como Li 2 ( z ), es un caso particular del polilogaritmo . Dos funciones especiales relacionadas se denominan función de Spence, el dilogaritmo en sí:
y su reflejo. Para también se aplica una serie infinita (la definición integral constituye su extensión analítica al plano complejo):
Alternativamente, la función dilogaritmo a veces se define como
En geometría hiperbólica el dilogaritmoocurre como el volumen hiperbólico de un simplex ideal cuyos vértices ideales tienen relación cruzada . La función de Lobachevsky y la función de Clausen son funciones estrechamente relacionadas.
William Spence, de quien la función fue nombrada por los primeros escritores en el campo, fue un matemático escocés que trabajó a principios del siglo XIX. [1] Estaba en la escuela con John Galt , [2] quien más tarde escribió un ensayo biográfico sobre Spence.
Estructura analítica
Usando la primera definición anterior, la función de dilogaritmo es analítica en todas partes en el plano complejo excepto en , donde tiene un punto de ramificación logarítmico. La elección estándar de corte de rama es a lo largo del eje real positivo. Sin embargo, la función es continua en el punto de ramificación y toma el valor.
Identidades
Identidades de valores particulares
Valores especiales
- dónde es la función zeta de Riemann .
En física de partículas
La función de Spence se encuentra comúnmente en la física de partículas al calcular las correcciones radiativas. En este contexto, la función a menudo se define con un valor absoluto dentro del logaritmo:
Notas
Referencias
- Lewin, L. (1958). Dilogaritmos y funciones asociadas . Prólogo de JCP Miller. Londres: Macdonald. Señor 0105524 .
- Morris, Robert (1979). "La función dilogaritmo de un argumento real" . Matemáticas. Comp . 33 (146): 778–787. doi : 10.1090 / S0025-5718-1979-0521291-X . Señor 0521291 .
- Loxton, JH (1984). "Valores especiales del dilogaritmo" . Acta Arith . 18 (2): 155-166. doi : 10.4064 / aa-43-2-155-166 . Señor 0736728 .
- Kirillov, Anatol N. (1995). "Identidades de dilogaritmo". Progreso del Suplemento de Física Teórica . 118 : 61-142. arXiv : hep-th / 9408113 . Código bibliográfico : 1995PThPS.118 ... 61K . doi : 10.1143 / PTPS.118.61 .
- Osacar, Carlos; Palaciano, Jesús; Palacios, Manuel (1995). "Evaluación numérica del dilogaritmo del argumento complejo". Celest. Mech. Dyn. Astron . 62 (1): 93–98. Código bibliográfico : 1995CeMDA..62 ... 93O . doi : 10.1007 / BF00692071 .
- Zagier, Don (2007). "La función dilogaritmo". En Pierre Cartier; Pierre Moussa; Bernard Julia; Pierre Vanhove (eds.). Fronteras en teoría de números, física y geometría II (PDF) . págs. 3-65. doi : 10.1007 / 978-3-540-30308-4_1 . ISBN 978-3-540-30308-4.
Otras lecturas
- Bloch, Spencer J. (2000). Reguladores superiores, teoría K algebraica y funciones zeta de curvas elípticas . Serie de monografías CRM. 11 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-2114-8. Zbl 0958.19001 .
enlaces externos
- Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: Dilogaritmo
- Weisstein, Eric W. "Dilogaritmo" . MathWorld .