función de clausura

En matemáticas , la función de Clausen , introducida por Thomas Clausen  ( 1832 ), es una función especial trascendental de una sola variable. Se puede expresar de diversas formas en la forma de una integral definida , una serie trigonométrica y varias otras funciones especiales. Está íntimamente relacionado con el polilogaritmo , la integral inversa tangente , la función poligamma , la función zeta de Riemann , la función eta de Dirichlet y la función beta de Dirichlet .

La función de Clausen de orden 2 , a menudo denominada función de Clausen, a pesar de ser solo una de muchas clases, está dada por la integral:

En el rango, la función seno dentro del signo de valor absoluto sigue siendo estrictamente positiva, por lo que se pueden omitir los signos de valor absoluto. La función de Clausen también tiene la representación en serie de Fourier :${\ estilo de visualización 0 <\ varphi <2 \ pi \,}$

Las funciones de Clausen, como clase de funciones, aparecen ampliamente en muchas áreas de la investigación matemática moderna, particularmente en relación con la evaluación de muchas clases de integrales logarítmicas y polilogarítmicas, tanto definidas como indefinidas. También tienen numerosas aplicaciones con respecto a la suma de series hipergeométricas , sumas que involucran el inverso del coeficiente binomial central , sumas de la función poligamma y series L de Dirichlet .

La función de Clausen (de orden 2) tiene ceros simples en todos los múltiplos (entero) de ya que si es un número entero, entonces${\ estilo de visualización \ pi, \,}$${\displaystyle k\en \mathbb {Z} \,}$${\ estilo de visualización \ sen k \ pi = 0}$

Tiene máximos en${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

Gráfica de la función de Clausen Cl ₂ ( θ )

Funciones de Glaisher-Clausen