En matemáticas , la función Clausen , introducida por Thomas Clausen ( 1832 ), es una función especial trascendental de una sola variable. Puede expresarse de diversas formas en forma de integral definida , serie trigonométrica y varias otras funciones especiales. Está íntimamente relacionado con el polilogaritmo , la integral tangente inversa , la función poligamma , la función zeta de Riemann , la función eta de Dirichlet y la función beta de Dirichlet .
Gráfico de la función de Clausen Cl
2 (
θ )
La función Clausen de orden 2 - refiere a menudo como la función de Clausen, pero a pesar de ser uno de una clase de muchos - está dada por la integral:
Cl 2 ( φ ) = - ∫ 0 φ Iniciar sesión | 2 pecado X 2 | D X : {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ varphi) = - \ int _ {0} ^ {\ varphi} \ log \ left | 2 \ sin {\ frac {x} {2}} \ right | \, dx:} En el rango 0 < φ < 2 π {\ Displaystyle 0 <\ varphi <2 \ pi \,} la función seno dentro del signo de valor absoluto permanece estrictamente positiva, por lo que los signos de valor absoluto pueden omitirse. La función Clausen también tiene la representación de la serie de Fourier :
Cl 2 ( φ ) = ∑ k = 1 ∞ pecado k φ k 2 = pecado φ + pecado 2 φ 2 2 + pecado 3 φ 3 2 + pecado 4 φ 4 2 + ⋯ {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ varphi) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ varphi} {k ^ {2}}} = \ sin \ varphi + {\ frac {\ sin 2 \ varphi} {2 ^ {2}}} + {\ frac {\ sin 3 \ varphi} {3 ^ {2}}} + {\ frac {\ sin 4 \ varphi} {4 ^ {2}}} + \ cdots} Las funciones de Clausen, como una clase de funciones, aparecen ampliamente en muchas áreas de la investigación matemática moderna, particularmente en relación con la evaluación de muchas clases de integrales logarítmicas y polilogarítmicas, tanto definidas como indefinidas. También tienen numerosas aplicaciones con respecto a la suma de series hipergeométricas , sumas que involucran el inverso del coeficiente binomial central , sumas de la función poligamma y la serie L de Dirichlet .
Propiedades básicas La función de Clausen (de orden 2) tiene ceros simples en todos los múltiplos (enteros) de π , {\ Displaystyle \ pi, \,} ya que si k ∈ Z {\ Displaystyle k \ in \ mathbb {Z} \,} es un número entero, entonces pecado k π = 0 {\ Displaystyle \ sin k \ pi = 0}
Cl 2 ( metro π ) = 0 , metro = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ⋯ {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (m \ pi) = 0, \ quad m = 0, \, \ pm 1, \, \ pm 2, \, \ pm 3, \, \ cdots} Tiene máximos en θ = π 3 + 2 metro π [ metro ∈ Z ] {\ Displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {3}} + 2m \ pi \ quad [m \ in \ mathbb {Z}]}
Cl 2 ( π 3 + 2 metro π ) = 1.01494160 ... {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {3}} + 2m \ pi \ right) = 1.01494160 \ ldots} y mínimos en θ = - π 3 + 2 metro π [ metro ∈ Z ] {\ Displaystyle \ theta = - {\ frac {\ pi} {3}} + 2m \ pi \ quad [m \ in \ mathbb {Z}]}
Cl 2 ( - π 3 + 2 metro π ) = - 1.01494160 ... {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} \ left (- {\ frac {\ pi} {3}} + 2m \ pi \ right) = - 1.01494160 \ ldots} Las siguientes propiedades son consecuencias inmediatas de la definición de la serie:
Cl 2 ( θ + 2 metro π ) = Cl 2 ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta + 2m \ pi) = \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta)} Cl 2 ( - θ ) = - Cl 2 ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (- \ theta) = - \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta)} ( Ref : Ver Lu y Perez, 1992, más abajo para estos resultados, aunque no se dan pruebas).
Definición general Funciones Glaisher-Clausen
De manera más general, se definen las dos funciones de Clausen generalizadas:
S z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ pecado k θ k z {\ Displaystyle \ operatorname {S} _ {z} (\ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ theta} {k ^ {z}}}} C z ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ porque k θ k z {\ Displaystyle \ operatorname {C} _ {z} (\ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos k \ theta} {k ^ {z}}}} que son válidas para el complejo z con Re z > 1. La definición puede extenderse a todo el plano complejo mediante la continuación analítica .
Cuando z se reemplaza con un número entero no negativo, las funciones estándar de Clausen se definen mediante la siguiente serie de Fourier :
Cl 2 metro + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ pecado k θ k 2 metro + 2 {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m + 2} (\ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ theta} {k ^ {2m + 2} }}} Cl 2 metro + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ porque k θ k 2 metro + 1 {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m + 1} (\ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos k \ theta} {k ^ {2m + 1} }}} Sl 2 metro + 2 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ porque k θ k 2 metro + 2 {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {2m + 2} (\ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos k \ theta} {k ^ {2m + 2} }}} Sl 2 metro + 1 ( θ ) = ∑ k = 1 ∞ pecado k θ k 2 metro + 1 {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {2m + 1} (\ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ theta} {k ^ {2m + 1} }}} NB Las funciones de Clausen de tipo SL tienen la notación alternativa Gl metro ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Gl} _ {m} (\ theta) \,} ya veces se las denomina funciones Glaisher-Clausen (después de James Whitbread Lee Glaisher , de ahí la notación GL).
Relación con los polinomios de Bernoulli La función de Clausen de tipo SL son polinomios en θ {\ Displaystyle \, \ theta \,} , y están estrechamente relacionados con los polinomios de Bernoulli . Esta conexión es evidente a partir de las representaciones en serie de Fourier de los polinomios de Bernoulli:
B 2 norte - 1 ( X ) = 2 ( - 1 ) norte ( 2 norte - 1 ) ! ( 2 π ) 2 norte - 1 ∑ k = 1 ∞ pecado 2 π k X k 2 norte - 1 . {\ Displaystyle B_ {2n-1} (x) = {\ frac {2 (-1) ^ {n} (2n-1)!} {(2 \ pi) ^ {2n-1}}} \, \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin 2 \ pi kx} {k ^ {2n-1}}}.} B 2 norte ( X ) = 2 ( - 1 ) norte - 1 ( 2 norte ) ! ( 2 π ) 2 norte ∑ k = 1 ∞ porque 2 π k X k 2 norte . {\ Displaystyle B_ {2n} (x) = {\ frac {2 (-1) ^ {n-1} (2n)!} {(2 \ pi) ^ {2n}}} \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos 2 \ pi kx} {k ^ {2n}}}.} Configuración X = θ / 2 π {\ Displaystyle \, x = \ theta / 2 \ pi \,} en lo anterior, y luego reorganizar los términos da las siguientes expresiones de forma cerrada (polinomio):
Sl 2 metro ( θ ) = ( - 1 ) metro - 1 ( 2 π ) 2 metro 2 ( 2 metro ) ! B 2 metro ( θ 2 π ) , {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {2m} (\ theta) = {\ frac {(-1) ^ {m-1} (2 \ pi) ^ {2m}} {2 (2m)!}} B_ {2m} \ left ({\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ right),} Sl 2 metro - 1 ( θ ) = ( - 1 ) metro ( 2 π ) 2 metro - 1 2 ( 2 metro - 1 ) ! B 2 metro - 1 ( θ 2 π ) , {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {2m-1} (\ theta) = {\ frac {(-1) ^ {m} (2 \ pi) ^ {2m-1}} {2 (2m-1) !}} B_ {2m-1} \ left ({\ frac {\ theta} {2 \ pi}} \ right),} donde los polinomios de Bernoulli B norte ( X ) {\ Displaystyle \, B_ {n} (x) \,} se definen en términos de los números de Bernoulli B norte ≡ B norte ( 0 ) {\ Displaystyle \, B_ {n} \ equiv B_ {n} (0) \,} por la relación:
B norte ( X ) = ∑ j = 0 norte ( norte j ) B j X norte - j . {\ Displaystyle B_ {n} (x) = \ sum _ {j = 0} ^ {n} {\ binom {n} {j}} B_ {j} x ^ {nj}.} Las evaluaciones explícitas derivadas de lo anterior incluyen:
Sl 1 ( θ ) = π 2 - θ 2 , {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {1} (\ theta) = {\ frac {\ pi} {2}} - {\ frac {\ theta} {2}},} Sl 2 ( θ ) = π 2 6 - π θ 2 + θ 2 4 , {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {2} (\ theta) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}} - {\ frac {\ pi \ theta} {2}} + {\ frac {\ theta ^ {2}} {4}},} Sl 3 ( θ ) = π 2 θ 6 - π θ 2 4 + θ 3 12 , {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {3} (\ theta) = {\ frac {\ pi ^ {2} \ theta} {6}} - {\ frac {\ pi \ theta ^ {2}} {4 }} + {\ frac {\ theta ^ {3}} {12}},} Sl 4 ( θ ) = π 4 90 - π 2 θ 2 12 + π θ 3 12 - θ 4 48 . {\ Displaystyle \ operatorname {Sl} _ {4} (\ theta) = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}} - {\ frac {\ pi ^ {2} \ theta ^ {2}} {12}} + {\ frac {\ pi \ theta ^ {3}} {12}} - {\ frac {\ theta ^ {4}} {48}}.}
Fórmula de duplicación Para 0 < θ < π {\ Displaystyle 0 <\ theta <\ pi} , la fórmula de duplicación se puede probar directamente a partir de la definición integral (ver también Lu y Pérez, 1992, a continuación, para el resultado, aunque no se proporciona ninguna prueba):
Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) - 2 Cl 2 ( π - θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) = 2 \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) -2 \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi - \ theta) } Denotando la constante del catalán por K = Cl 2 ( π 2 ) {\ Displaystyle K = \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right)} , las consecuencias inmediatas de la fórmula de duplicación incluyen las relaciones:
Cl 2 ( π 4 ) - Cl 2 ( 3 π 4 ) = K 2 {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) - \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {3 \ pi} {4}} \ right) = {\ frac {K} {2}}} 2 Cl 2 ( π 3 ) = 3 Cl 2 ( 2 π 3 ) {\ Displaystyle 2 \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {3}} \ right) = 3 \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {2 \ pi} {3}} \ right)} Para funciones de Clausen de orden superior, se pueden obtener fórmulas de duplicación a partir de la anterior; simplemente reemplace θ {\ Displaystyle \, \ theta \,} con la variable ficticia X {\ Displaystyle x} e integrar en el intervalo [ 0 , θ ] . {\ Displaystyle \, [0, \ theta]. \,} Aplicar el mismo proceso repetidamente produce:
Cl 3 ( 2 θ ) = 4 Cl 3 ( θ ) + 4 Cl 3 ( π - θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {3} (2 \ theta) = 4 \ operatorname {Cl} _ {3} (\ theta) +4 \ operatorname {Cl} _ {3} (\ pi - \ theta) } Cl 4 ( 2 θ ) = 8 Cl 4 ( θ ) - 8 Cl 4 ( π - θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {4} (2 \ theta) = 8 \ operatorname {Cl} _ {4} (\ theta) -8 \ operatorname {Cl} _ {4} (\ pi - \ theta) } Cl 5 ( 2 θ ) = dieciséis Cl 5 ( θ ) + dieciséis Cl 5 ( π - θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {5} (2 \ theta) = 16 \ operatorname {Cl} _ {5} (\ theta) +16 \ operatorname {Cl} _ {5} (\ pi - \ theta) } Cl 6 ( 2 θ ) = 32 Cl 6 ( θ ) - 32 Cl 6 ( π - θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {6} (2 \ theta) = 32 \ operatorname {Cl} _ {6} (\ theta) -32 \ operatorname {Cl} _ {6} (\ pi - \ theta) } Y de forma más general, tras la inducción en metro , metro ≥ 1 {\ Displaystyle \, m, \, \, m \ geq 1}
Cl metro + 1 ( 2 θ ) = 2 metro [ Cl metro + 1 ( θ ) + ( - 1 ) metro Cl metro + 1 ( π - θ ) ] {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {m + 1} (2 \ theta) = 2 ^ {m} {\ Bigg [} \ operatorname {Cl} _ {m + 1} (\ theta) + (- 1) ^ {m} \ operatorname {Cl} _ {m + 1} (\ pi - \ theta) {\ Bigg]}} El uso de la fórmula de duplicación generalizada permite una extensión del resultado para la función de Clausen de orden 2, que involucra la constante del catalán . Para metro ∈ Z ≥ 1 {\ Displaystyle \, m \ in \ mathbb {Z} \ geq 1 \,}
Cl 2 metro ( π 2 ) = 2 2 metro - 1 [ Cl 2 metro ( π 4 ) - Cl 2 metro ( 3 π 4 ) ] = β ( 2 metro ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 2 ^ {2m-1} \ left [\ operatorname {Cl} _ {2m} \ izquierda ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) - \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {3 \ pi} {4}} \ right) \ right] = \ beta (2 m)} Dónde β ( X ) {\ Displaystyle \, \ beta (x) \,} es la función beta de Dirichlet .
Prueba de la fórmula de duplicación De la definición integral,
Cl 2 ( 2 θ ) = - ∫ 0 2 θ Iniciar sesión | 2 pecado X 2 | D X {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) = - \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {x} {2} } {\ Bigg |} \, dx} Aplicar la fórmula de duplicación para la función seno , pecado X = 2 pecado X 2 porque X 2 {\ Displaystyle \ sin x = 2 \ sin {\ frac {x} {2}} \ cos {\ frac {x} {2}}} para obtener
- ∫ 0 2 θ Iniciar sesión | ( 2 pecado X 4 ) ( 2 porque X 4 ) | D X = - ∫ 0 2 θ Iniciar sesión | 2 pecado X 4 | D X - ∫ 0 2 θ Iniciar sesión | 2 porque X 4 | D X {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & - \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log {\ Bigg |} \ left (2 \ sin {\ frac {x} {4}} \ right) \ izquierda (2 \ cos {\ frac {x} {4}} \ right) {\ Bigg |} \, dx \\ = {} & - \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {x} {4}} {\ Bigg |} \, dx- \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ cos {\ frac { x} {4}} {\ Bigg |} \, dx \ end {alineado}}} Aplicar la sustitución X = 2 y , D X = 2 D y {\ Displaystyle x = 2y, dx = 2 \, dy} en ambas integrales:
- 2 ∫ 0 θ Iniciar sesión | 2 pecado X 2 | D X - 2 ∫ 0 θ Iniciar sesión | 2 porque X 2 | D X = 2 Cl 2 ( θ ) - 2 ∫ 0 θ Iniciar sesión | 2 porque X 2 | D X {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & - 2 \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {x} {2}} {\ Bigg |} \, dx-2 \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ cos {\ frac {x} {2}} {\ Bigg |} \, dx \\ = {} & 2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) -2 \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ cos {\ frac {x} {2}} {\ Bigg | } \, dx \ end {alineado}}} En esa última integral, establezca y = π - X , X = π - y , D X = - D y {\ Displaystyle y = \ pi -x, \, x = \ pi -y, \, dx = -dy} y usa la identidad trigonométrica porque ( X - y ) = porque X porque y - pecado X pecado y {\ Displaystyle \ cos (xy) = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y} para mostrar que:
porque ( π - y 2 ) = pecado y 2 ⟹ Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) - 2 ∫ 0 θ Iniciar sesión | 2 porque X 2 | D X = 2 Cl 2 ( θ ) + 2 ∫ π π - θ Iniciar sesión | 2 pecado y 2 | D y = 2 Cl 2 ( θ ) - 2 Cl 2 ( π - θ ) + 2 Cl 2 ( π ) {\ displaystyle {\ begin {alineado} & \ cos \ left ({\ frac {\ pi -y} {2}} \ right) = \ sin {\ frac {y} {2}} \\\ Longrightarrow \ qquad & \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) = 2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) -2 \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ cos {\ frac {x} {2}} {\ Bigg |} \, dx \\ = {} & 2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) +2 \ int _ { \ pi} ^ {\ pi - \ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {y} {2}} {\ Bigg |} \, dy \\ = {} & 2 \, \ operatorname { Cl} _ {2} (\ theta) -2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi - \ theta) +2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi) \ end { alineado}}} Cl 2 ( π ) = 0 {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi) = 0 \,} Por lo tanto,
Cl 2 ( 2 θ ) = 2 Cl 2 ( θ ) - 2 Cl 2 ( π - θ ) . ◻ {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) = 2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) -2 \, \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi - \ theta) \,. \, \ Box}
Derivadas de funciones de Clausen de orden general
Relación con la integral tangente inversa La integral de la tangente inversa se define en el intervalo 0 < z < 1 {\ Displaystyle 0 por
Ti 2 ( z ) = ∫ 0 z broncearse - 1 X X D X = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k z 2 k + 1 ( 2 k + 1 ) 2 {\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ tan ^ {- 1} x} {x}} \, dx = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1) ^ {2}}}} Tiene la siguiente forma cerrada en términos de la función Clausen:
Ti 2 ( broncearse θ ) = θ Iniciar sesión ( broncearse θ ) + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 Cl 2 ( π - 2 θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (\ tan \ theta) = \ theta \ log (\ tan \ theta) + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} ( 2 \ theta) + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi -2 \ theta)}
Prueba de la relación integral tangente inversa De la definición integral de la integral tangente inversa , tenemos
Ti 2 ( broncearse θ ) = ∫ 0 broncearse θ broncearse - 1 X X D X {\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (\ tan \ theta) = \ int _ {0} ^ {\ tan \ theta} {\ frac {\ tan ^ {- 1} x} {x}} \ , dx} Realización de una integración por partes
∫ 0 broncearse θ broncearse - 1 X X D X = broncearse - 1 X Iniciar sesión X | 0 broncearse θ - ∫ 0 broncearse θ Iniciar sesión X 1 + X 2 D X = {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ tan \ theta} {\ frac {\ tan ^ {- 1} x} {x}} \, dx = \ tan ^ {- 1} x \ log x \, {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ tan \ theta} - \ int _ {0} ^ {\ tan \ theta} {\ frac {\ log x} {1 + x ^ {2}}} \, dx =} θ Iniciar sesión broncearse θ - ∫ 0 broncearse θ Iniciar sesión X 1 + X 2 D X {\ Displaystyle \ theta \ log \ tan \ theta - \ int _ {0} ^ {\ tan \ theta} {\ frac {\ log x} {1 + x ^ {2}}} \, dx} Aplicar la sustitución X = broncearse y , y = broncearse - 1 X , D y = D X 1 + X 2 {\ Displaystyle x = \ tan y, \, y = \ tan ^ {- 1} x, \, dy = {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \,} para obtener
θ Iniciar sesión broncearse θ - ∫ 0 θ Iniciar sesión ( broncearse y ) D y {\ Displaystyle \ theta \ log \ tan \ theta - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (\ tan y) \, dy} Para esa última integral, aplique la transformación: y = X / 2 , D y = D X / 2 {\ Displaystyle y = x / 2, \, dy = dx / 2 \,} Llegar
θ Iniciar sesión broncearse θ - 1 2 ∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( broncearse X 2 ) D X = θ Iniciar sesión broncearse θ - 1 2 ∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( pecado ( X / 2 ) porque ( X / 2 ) ) D X = θ Iniciar sesión broncearse θ - 1 2 ∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( 2 pecado ( X / 2 ) 2 porque ( X / 2 ) ) D X = θ Iniciar sesión broncearse θ - 1 2 ∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( 2 pecado X 2 ) D X + 1 2 ∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( 2 porque X 2 ) D X = θ Iniciar sesión broncearse θ + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 ∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( 2 porque X 2 ) D X . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ theta \ log \ tan \ theta - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log \ left (\ tan {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx \\ [6pt] = {} & \ theta \ log \ tan \ theta - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ { 2 \ theta} \ log \ left ({\ frac {\ sin (x / 2)} {\ cos (x / 2)}} \ right) \, dx \\ [6pt] = {} & \ theta \ log \ tan \ theta - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log \ left ({\ frac {2 \ sin (x / 2)} {2 \ cos ( x / 2)}} \ right) \, dx \\ [6pt] = {} & \ theta \ log \ tan \ theta - {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log \ left (2 \ sin {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log \ left (2 \ cos {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx \\ [6pt] = {} & \ theta \ log \ tan \ theta + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) + {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log \ left (2 \ cos {\ frac {x } {2}} \ right) \, dx. \ End {alineado}}} Finalmente, al igual que con la prueba de la fórmula de Duplicación, la sustitución X = ( π - y ) {\ Displaystyle x = (\ pi -y) \,} reduce esa última integral a
∫ 0 2 θ Iniciar sesión ( 2 porque X 2 ) D X = Cl 2 ( π - 2 θ ) - Cl 2 ( π ) = Cl 2 ( π - 2 θ ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ theta} \ log \ left (2 \ cos {\ frac {x} {2}} \ right) \, dx = \ operatorname {Cl} _ {2} ( \ pi -2 \ theta) - \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi) = \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi -2 \ theta)} Por lo tanto
Ti 2 ( broncearse θ ) = θ Iniciar sesión broncearse θ + 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) + 1 2 Cl 2 ( π - 2 θ ) . ◻ {\ Displaystyle \ operatorname {Ti} _ {2} (\ tan \ theta) = \ theta \ log \ tan \ theta + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) + {\ frac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi -2 \ theta) \,. \, \ Box}
Relación con la función G de Barnes Verdadero 0 < z < 1 {\ Displaystyle 0 , la función de Clausen de segundo orden se puede expresar en términos de la función G de Barnes y la función Gamma (de Euler) :
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π Iniciar sesión ( GRAMO ( 1 - z ) GRAMO ( 1 + z ) ) + 2 π z Iniciar sesión ( π pecado π z ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ pi z) = 2 \ pi \ log \ left ({\ frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} \ right) +2 \ pi z \ log \ left ({\ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}} \ right)} O equivalente
Cl 2 ( 2 π z ) = 2 π Iniciar sesión ( GRAMO ( 1 - z ) GRAMO ( z ) ) - 2 π Iniciar sesión Γ ( z ) + 2 π z Iniciar sesión ( π pecado π z ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ pi z) = 2 \ pi \ log \ left ({\ frac {G (1-z)} {G (z)}} \ right) -2 \ pi \ log \ Gamma (z) +2 \ pi z \ log \ left ({\ frac {\ pi} {\ sin \ pi z}} \ right)} Ref: Ver Adamchik , "Contribuciones a la teoría de la función de Barnes", más abajo.
Relación con el polilogaritmo Las funciones de Clausen representan las partes real e imaginaria del polilogaritmo, en el círculo unitario :
Cl 2 metro ( θ ) = ℑ ( Li 2 metro ( mi I θ ) ) , metro ∈ Z ≥ 1 {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m} (\ theta) = \ Im (\ operatorname {Li} _ {2m} (e ^ {i \ theta})), \ quad m \ in \ mathbb {Z} \ geq 1} Cl 2 metro + 1 ( θ ) = ℜ ( Li 2 metro + 1 ( mi I θ ) ) , metro ∈ Z ≥ 0 {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m + 1} (\ theta) = \ Re (\ operatorname {Li} _ {2m + 1} (e ^ {i \ theta})), \ quad m \ in \ mathbb {Z} \ geq 0} Esto se ve fácilmente apelando a la definición en serie del polilogaritmo .
Li norte ( z ) = ∑ k = 1 ∞ z k k norte ⟹ Li norte ( mi I θ ) = ∑ k = 1 ∞ ( mi I θ ) k k norte = ∑ k = 1 ∞ mi I k θ k norte {\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {n} (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}} \ quad \ Longrightarrow \ operatorname {Li} _ {n} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (e ^ {i \ theta } \ right) ^ {k}} {k ^ {n}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {ik \ theta}} {k ^ {n}} }} Por el teorema de Euler,
mi I θ = porque θ + I pecado θ {\ Displaystyle e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta} y por el Teorema de De Moivre (fórmula de De Moivre )
( porque θ + I pecado θ ) k = porque k θ + I pecado k θ ⇒ Li norte ( mi I θ ) = ∑ k = 1 ∞ porque k θ k norte + I ∑ k = 1 ∞ pecado k θ k norte {\ Displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {k} = \ cos k \ theta + i \ sin k \ theta \ quad \ Rightarrow \ operatorname {Li} _ {n} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos k \ theta} {k ^ {n}}} + i \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ theta} {k ^ {n}}}} Por eso
Li 2 metro ( mi I θ ) = ∑ k = 1 ∞ porque k θ k 2 metro + I ∑ k = 1 ∞ pecado k θ k 2 metro = Sl 2 metro ( θ ) + I Cl 2 metro ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {2m} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos k \ theta} { k ^ {2m}}} + i \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ theta} {k ^ {2m}}} = \ operatorname {Sl} _ { 2m} (\ theta) + i \ operatorname {Cl} _ {2m} (\ theta)} Li 2 metro + 1 ( mi I θ ) = ∑ k = 1 ∞ porque k θ k 2 metro + 1 + I ∑ k = 1 ∞ pecado k θ k 2 metro + 1 = Cl 2 metro + 1 ( θ ) + I Sl 2 metro + 1 ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {2m + 1} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ cos k \ theta } {k ^ {2m + 1}}} + i \, \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin k \ theta} {k ^ {2m + 1}}} = \ nombre de operador {Cl} _ {2m + 1} (\ theta) + i \ nombre de operador {Sl} _ {2m + 1} (\ theta)}
Relación con la función poligamma Las funciones de Clausen están íntimamente conectadas con la función de poligamma . De hecho, es posible expresar funciones de Clausen como combinaciones lineales de funciones de seno y funciones de poligamma. Una de esas relaciones se muestra aquí y se demuestra a continuación:
Cl 2 metro ( q π pag ) = 1 ( 2 pag ) 2 metro ( 2 metro - 1 ) ! ∑ j = 1 pag pecado ( q j π pag ) [ ψ 2 metro - 1 ( j 2 pag ) + ( - 1 ) q ψ 2 metro - 1 ( j + pag 2 pag ) ] {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {q \ pi} {p}} \ right) = {\ frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} \, \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ sin \ left ({\ tfrac {qj \ pi} {p}} \ right) \, \ left [\ psi _ {2m-1} \ left ({\ tfrac {j} {2p}} \ right) + (- 1) ^ {q} \ psi _ {2m-1} \ left ({\ tfrac {j + p} {2p}} \ right )\derecho]} Dejar pag {\ Displaystyle \, p \,} y q {\ Displaystyle \, q \,} ser enteros positivos, de modo que q / pag {\ Displaystyle \, q / p \,} es un número racional 0 < q / pag < 1 {\ Displaystyle \, 0 , luego, por la definición de serie para la función de Clausen de orden superior (de índice par):
Cl 2 metro ( q π pag ) = ∑ k = 1 ∞ pecado ( k q π / pag ) k 2 metro {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {q \ pi} {p}} \ right) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (kq \ pi / p)} {k ^ {2m}}}} Dividimos esta suma en exactamente p partes, de modo que la primera serie contenga todos, y solo, los términos congruentes con k pag + 1 , {\ Displaystyle \, kp + 1, \,} la segunda serie contiene todos los términos congruentes a k pag + 2 , {\ Displaystyle \, kp + 2, \,} etc., hasta la p -ésima parte final , que contiene todos los términos congruentes con k pag + pag {\ Displaystyle \, kp + p \,}
Cl 2 metro ( q π pag ) = ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + 1 ) q π pag ] ( k pag + 1 ) 2 metro + ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + 2 ) q π pag ] ( k pag + 2 ) 2 metro + ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + 3 ) q π pag ] ( k pag + 3 ) 2 metro + ⋯ ⋯ + ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + pag - 2 ) q π pag ] ( k pag + pag - 2 ) 2 metro + ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + pag - 1 ) q π pag ] ( k pag + pag - 1 ) 2 metro + ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + pag ) q π pag ] ( k pag + pag ) 2 metro {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {q \ pi} {p}} \ right) \\ = {} & \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + 1) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {(kp + 1) ^ {2m}}} + \ suma _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + 2) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {(kp + 2) ^ { 2m}}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + 3) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {( kp + 3) ^ {2m}}} + \ cdots \\ & \ cdots + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + p-2) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {(kp + p-2) ^ {2m}}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + p-1) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {(kp + p-1) ^ {2m}}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + p) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {(kp + p) ^ {2m}}} \ end {alineado}} } Podemos indexar estas sumas para formar una suma doble:
Cl 2 metro ( q π pag ) = ∑ j = 1 pag { ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + j ) q π pag ] ( k pag + j ) 2 metro } = ∑ j = 1 pag 1 pag 2 metro { ∑ k = 0 ∞ pecado [ ( k pag + j ) q π pag ] ( k + ( j / pag ) ) 2 metro } {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {q \ pi} {p}} \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {p} {\ Bigg \ {} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + j) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} { (kp + j) ^ {2m}}} {\ Bigg \}} \\ = {} & \ sum _ {j = 1} ^ {p} {\ frac {1} {p ^ {2m}}} { \ Bigg \ {} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin \ left [(kp + j) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right]} {( k + (j / p)) ^ {2m}}} {\ Bigg \}} \ end {alineado}}} Aplicando la fórmula de suma para la función seno , pecado ( X + y ) = pecado X porque y + porque X pecado y , {\ Displaystyle \, \ sin (x + y) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y, \,} el término seno en el numerador se convierte en:
pecado [ ( k pag + j ) q π pag ] = pecado ( k q π + q j π pag ) = pecado k q π porque q j π pag + porque k q π pecado q j π pag {\ Displaystyle \ sin \ left [(kp + j) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right] = \ sin \ left (kq \ pi + {\ frac {qj \ pi} {p}} \ right) = \ sin kq \ pi \ cos {\ frac {qj \ pi} {p}} + \ cos kq \ pi \ sin {\ frac {qj \ pi} {p}}} pecado metro π ≡ 0 , porque metro π ≡ ( - 1 ) metro ⟺ metro = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , ... {\ Displaystyle \ sin m \ pi \ equiv 0, \ quad \, \ cos m \ pi \ equiv (-1) ^ {m} \ quad \ Longleftrightarrow m = 0, \, \ pm 1, \, \ pm 2 , \, \ pm 3, \, \ ldots} pecado [ ( k pag + j ) q π pag ] = ( - 1 ) k q pecado q j π pag {\ Displaystyle \ sin \ left [(kp + j) {\ frac {q \ pi} {p}} \ right] = (- 1) ^ {kq} \ sin {\ frac {qj \ pi} {p} }} Como consecuencia,
Cl 2 metro ( q π pag ) = ∑ j = 1 pag 1 pag 2 metro pecado ( q j π pag ) { ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k q ( k + ( j / pag ) ) 2 metro } {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {q \ pi} {p}} \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {p} {\ frac {1} { p ^ {2m}}} \ sin \ left ({\ frac {qj \ pi} {p}} \ right) \, {\ Bigg \ {} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}}} {\ Bigg \}}} Para convertir la suma interna de la suma doble en una suma no alterna, divida en dos partes exactamente de la misma manera que la suma anterior se dividió en p partes:
∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) k q ( k + ( j / pag ) ) 2 metro = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) ( 2 k ) q ( ( 2 k ) + ( j / pag ) ) 2 metro + ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) ( 2 k + 1 ) q ( ( 2 k + 1 ) + ( j / pag ) ) 2 metro = ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + ( j / pag ) ) 2 metro + ( - 1 ) q ∑ k = 0 ∞ 1 ( 2 k + 1 + ( j / pag ) ) 2 metro = 1 2 pag [ ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + ( j / 2 pag ) ) 2 metro + ( - 1 ) q ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + ( j + pag 2 pag ) ) 2 metro ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}} } = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {(2k) q}} {((2k) + (j / p)) ^ {2m}}} + \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {(2k + 1) q}} {((2k + 1) + (j / p)) ^ {2m}} } \\ = {} & \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + (j / p)) ^ {2m}}} + (- 1) ^ {q} \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2k + 1 + (j / p)) ^ {2m}}} \\ = {} & {\ frac {1 } {2 ^ {p}}} \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(k + (j / 2p)) ^ {2m}}} + (- 1 ) ^ {q} \, \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(k + \ left ({\ frac {j + p} {2p}} \ right)) ^ { 2m}}} \ right] \ end {alineado}}} Para metro ∈ Z ≥ 1 {\ Displaystyle \, m \ in \ mathbb {Z} \ geq 1 \,} , la función poligamma tiene la representación en serie
ψ metro ( z ) = ( - 1 ) metro + 1 metro ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( k + z ) metro + 1 {\ Displaystyle \ psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(k + z) ^ {m + 1}}}} Entonces, en términos de la función poligamma, la suma interna anterior se convierte en:
1 2 2 metro ( 2 metro - 1 ) ! [ ψ 2 metro - 1 ( j 2 pag ) + ( - 1 ) q ψ 2 metro - 1 ( j + pag 2 pag ) ] {\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {2m} (2m-1)!}} \ left [\ psi _ {2m-1} \ left ({\ tfrac {j} {2p}} \ right) + (- 1) ^ {q} \ psi _ {2m-1} \ left ({\ tfrac {j + p} {2p}} \ right) \ right]} Conectando esto de nuevo a la doble suma da el resultado deseado:
Cl 2 metro ( q π pag ) = 1 ( 2 pag ) 2 metro ( 2 metro - 1 ) ! ∑ j = 1 pag pecado ( q j π pag ) [ ψ 2 metro - 1 ( j 2 pag ) + ( - 1 ) q ψ 2 metro - 1 ( j + pag 2 pag ) ] {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2m} \ left ({\ frac {q \ pi} {p}} \ right) = {\ frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} \, \ sum _ {j = 1} ^ {p} \ sin \ left ({\ tfrac {qj \ pi} {p}} \ right) \, \ left [\ psi _ {2m-1} \ left ({\ tfrac {j} {2p}} \ right) + (- 1) ^ {q} \ psi _ {2m-1} \ left ({\ tfrac {j + p} {2p}} \ right )\derecho]}
Relación con la integral logarítmica generalizada La integral logarítmica generalizada se define por:
L s norte metro ( θ ) = - ∫ 0 θ X metro Iniciar sesión norte - metro - 1 | 2 pecado X 2 | D X {\ Displaystyle {\ mathcal {L}} s_ {n} ^ {m} (\ theta) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} x ^ {m} \ log ^ {nm-1} {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {x} {2}} {\ Bigg |} \, dx} En esta notación generalizada, la función de Clausen se puede expresar en la forma:
Cl 2 ( θ ) = L s 2 0 ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) = {\ mathcal {L}} s_ {2} ^ {0} (\ theta)}
Relación de Kummer Ernst Kummer y Rogers dan la relación
Li 2 ( mi I θ ) = ζ ( 2 ) - θ ( 2 π - θ ) / 4 + I Cl 2 ( θ ) {\ Displaystyle \ operatorname {Li} _ {2} (e ^ {i \ theta}) = \ zeta (2) - \ theta (2 \ pi - \ theta) / 4 + i \ operatorname {Cl} _ {2 } (\ theta)} valido para 0 ≤ θ ≤ 2 π {\ Displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi} .
Relación con la función de Lobachevsky La función de Lobachevsky Λ o Л es esencialmente la misma función con un cambio de variable:
Λ ( θ ) = - ∫ 0 θ Iniciar sesión | 2 pecado ( t ) | D t = Cl 2 ( 2 θ ) / 2 {\ Displaystyle \ Lambda (\ theta) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log | 2 \ sin (t) | \, dt = \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) / 2} aunque el nombre "función de Lobachevsky" no es históricamente exacto, ya que las fórmulas de Lobachevsky para el volumen hiperbólico usaban la función ligeramente diferente
∫ 0 θ Iniciar sesión | segundo ( t ) | D t = Λ ( θ + π / 2 ) + θ Iniciar sesión 2. {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log | \ sec (t) | \, dt = \ Lambda (\ theta + \ pi / 2) + \ theta \ log 2.}
Relación con las funciones L de Dirichlet
Aceleración en serie
Valores especiales
Valores especiales generalizados
Integrales de la función directa Las siguientes integrales se prueban fácilmente a partir de las representaciones en serie de la función de Clausen:
∫ 0 θ Cl 2 metro ( X ) D X = ζ ( 2 metro + 1 ) - Cl 2 metro + 1 ( θ ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ operatorname {Cl} _ {2m} (x) \, dx = \ zeta (2m + 1) - \ operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( \ theta)} ∫ 0 θ Cl 2 metro + 1 ( X ) D X = Cl 2 metro + 2 ( θ ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ operatorname {Cl} _ {2m + 1} (x) \, dx = \ operatorname {Cl} _ {2m + 2} (\ theta)} ∫ 0 θ Sl 2 metro ( X ) D X = Sl 2 metro + 1 ( θ ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ operatorname {Sl} _ {2m} (x) \, dx = \ operatorname {Sl} _ {2m + 1} (\ theta)} ∫ 0 θ Sl 2 metro + 1 ( X ) D X = ζ ( 2 metro + 2 ) - Cl 2 metro + 2 ( θ ) {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ operatorname {Sl} _ {2m + 1} (x) \, dx = \ zeta (2m + 2) - \ operatorname {Cl} _ {2m + 2 } (\ theta)} Los métodos analíticos de Fourier se pueden utilizar para encontrar los primeros momentos del cuadrado de la función. Cl 2 ( X ) {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (x)} en el intervalo [ 0 , π ] {\ Displaystyle [0, \ pi]} : [1]
∫ 0 π Cl 2 2 ( X ) D X = ζ ( 4 ) , {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} \ operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) \, dx = \ zeta (4),} ∫ 0 π t Cl 2 2 ( X ) D X = 221 90720 π 6 - 4 ζ ( 5 ¯ , 1 ) - 2 ζ ( 4 ¯ , 2 ) , {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} t \ operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) \, dx = {\ frac {221} {90720}} \ pi ^ {6 } -4 \ zeta ({\ overline {5}}, 1) -2 \ zeta ({\ overline {4}}, 2),} ∫ 0 π t 2 Cl 2 2 ( X ) D X = - 2 3 π [ 12 ζ ( 5 ¯ , 1 ) + 6 ζ ( 4 ¯ , 2 ) - 23 10080 π 6 ] . {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ pi} t ^ {2} \ operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) \, dx = - {\ frac {2} {3}} \ pi \ left [12 \ zeta ({\ overline {5}}, 1) +6 \ zeta ({\ overline {4}}, 2) - {\ frac {23} {10080}} \ pi ^ {6 }\derecho].} Aquí ζ {\ Displaystyle \ zeta} denota la función zeta múltiple .
Evaluaciones integrales que involucran la función directa Se puede evaluar una gran cantidad de integrales trigonométricas y logaritmo-trigonométricas en términos de la función de Clausen y varias constantes matemáticas comunes como K {\ Displaystyle \, K \,} ( Constante del catalán ), Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \, \ log 2 \,} , y los casos especiales de la función zeta , ζ ( 2 ) {\ Displaystyle \, \ zeta (2) \,} y ζ ( 3 ) {\ Displaystyle \, \ zeta (3) \,} .
Los ejemplos enumerados a continuación se derivan directamente de la representación integral de la función de Clausen, y las demostraciones requieren poco más que trigonometría básica, integración por partes e integración ocasional término por término de las definiciones de la serie de Fourier de las funciones de Clausen.
∫ 0 θ Iniciar sesión ( pecado X ) D X = - 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) - θ Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (\ sin x) \, dx = - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) - \ theta \ log 2} ∫ 0 θ Iniciar sesión ( porque X ) D X = 1 2 Cl 2 ( π - 2 θ ) - θ Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (\ cos x) \, dx = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi -2 \ theta) - \ theta \ log 2} ∫ 0 θ Iniciar sesión ( broncearse X ) D X = - 1 2 Cl 2 ( 2 θ ) - 1 2 Cl 2 ( π - 2 θ ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (\ tan x) \, dx = - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ theta) - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi -2 \ theta)} ∫ 0 θ Iniciar sesión ( 1 + porque X ) D X = 2 Cl 2 ( π - θ ) - θ Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (1+ \ cos x) \, dx = 2 \ operatorname {Cl} _ {2} (\ pi - \ theta) - \ theta \ log 2 } ∫ 0 θ Iniciar sesión ( 1 - porque X ) D X = - 2 Cl 2 ( θ ) - θ Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (1- \ cos x) \, dx = -2 \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) - \ theta \ log 2} ∫ 0 θ Iniciar sesión ( 1 + pecado X ) D X = 2 K - 2 Cl 2 ( π 2 + θ ) - θ Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (1+ \ sin x) \, dx = 2K-2 \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} { 2}} + \ theta \ right) - \ theta \ log 2} ∫ 0 θ Iniciar sesión ( 1 - pecado X ) D X = - 2 K + 2 Cl 2 ( π 2 - θ ) - θ Iniciar sesión 2 {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log (1- \ sin x) \, dx = -2K + 2 \ operatorname {Cl} _ {2} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) - \ theta \ log 2}
Referencias ↑ István, Mező (2020). "Integrales log-sinusoidales y sumas de Euler alternas". Acta Mathematica Hungarica (160): 45–57. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27.8" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 1005. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 . Clausen, Thomas (1832). "Función Über die sin φ + (1/2 2 ) sin 2φ + (1/3 2 ) sin 3φ + etc" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 8 : 298–300. ISSN 0075-4102 . Madera, Van E. (1968). "Cálculo eficiente de la integral de Clausen" . Matemáticas. Comp . 22 (104): 883–884. doi : 10.1090 / S0025-5718-1968-0239733-9 . Señor 0239733 . Leonard Lewin , (Ed.). Propiedades estructurales de los polilogaritmos (1991) American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 0-8218-4532-2 Lu, Hung Jung; Pérez, Christopher A. (1992). "Integral escalar de tres puntos de un bucle sin masa y funciones Clausen, Glaisher y L asociadas" (PDF) . Kölbig, Kurt Siegfried (1995). "Coeficientes de Chebyshev para la función de Clausen Cl 2 (x)" . J. Comput. Apl. Matemáticas . 64 (3): 295-297. doi : 10.1016 / 0377-0427 (95) 00150-6 . Señor 1365432 . Borwein, Jonathan M .; Bradley, David M .; Crandall, Richard E. (2000). "Estrategias computacionales para la función Zeta de Riemann" (PDF) . J. Comp. App. Matemáticas . 121 (1–2): 247–296. Código Bibliográfico : 2000JCoAM.121..247B . doi : 10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8 . Señor 1780051 . Adamchik, Viktor. S. (2003). "Contribuciones a la teoría de la función de Barnes". arXiv : matemáticas / 0308086v1 . Kalmykov, Mikahil Yu .; Sheplyakov, A. (2005). "LSJK - una biblioteca de C ++ para la evaluación numérica de precisión arbitraria de la integral log-sinusoidal generalizada". Computación. Phys. Comun . 172 : 45–59. arXiv : hep-ph / 0411100 . Código bibliográfico : 2005CoPhC.172 ... 45K . doi : 10.1016 / j.cpc.2005.04.013 . Borwein, Jonathan M .; Straub, Armin (2013). "Relaciones para polilogaritmos de Nielsen". J. Aprox. Teoría . 193 . págs. 74–88. doi : 10.1016 / j.jat.2013.07.003 . Mathar, RJ (2013). "Una implementación C99 de las sumas Clausen". arXiv : 1309.7504 [ math.NA ].