En el campo matemático de la teoría de nudos , el volumen hiperbólico de un enlace hiperbólico es el volumen del complemento del enlace con respecto a su métrica hiperbólica completa. El volumen es necesariamente un número real finito y es una invariante topológica del enlace. [1] Como un vínculo invariante, fue estudiado por primera vez por William Thurston en relación con su conjetura de geometrización . [2]
Nudo y enlace invariante
Un enlace hiperbólico es un enlace en la 3-esfera a cuyo complemento (el espacio formado al eliminar el enlace de la 3-esfera) se le puede dar una métrica completa de Riemann de curvatura negativa constante , lo que le da la estructura de una triple variedad hiperbólica , un cociente de espacio hiperbólico por un grupo que actúa libre y discontinuamente sobre él. Los componentes del enlace se convertirán en cúspides del colector de 3, y el colector en sí tendrá un volumen finito. Según la rigidez de Mostow , cuando un complemento de enlace tiene una estructura hiperbólica, esta estructura está determinada de forma única, y cualquier invariante geométrico de la estructura también es invariante topológico del enlace. En particular, el volumen hiperbólico del complemento es un nudo invariante . Para que esté bien definido para todos los nudos o eslabones, el volumen hiperbólico de un nudo o eslabón no hiperbólico a menudo se define como cero.
Solo hay un número finito de nudos hiperbólicos para cualquier volumen dado. [2] Una mutación de un nudo hiperbólico tendrá el mismo volumen, [3] por lo que es posible inventar ejemplos con volúmenes iguales; de hecho, existen conjuntos finitos arbitrariamente grandes de nudos distintos con volúmenes iguales. [2] En la práctica, el volumen hiperbólico ha demostrado ser muy eficaz para distinguir nudos, utilizado en algunos de los extensos esfuerzos de tabulación de nudos . El programa informático de Jeffrey Weeks , SnapPea, es la herramienta ubicua que se utiliza para calcular el volumen hiperbólico de un enlace. [1]
Nudo / enlace | Volumen | Referencia |
---|---|---|
Nudo en forma de ocho | [4] | |
Nudo de tres vueltas | 2.82812 | [ cita requerida ] |
Nudo de estibador | 3.16396 | [ cita requerida ] |
6₂ nudo | 4.40083 | [ cita requerida ] |
Nudo sin fin | 5.13794 | [ cita requerida ] |
Par de Perko | 5.63877 | [ cita requerida ] |
6₃ nudo | 5.69302 | [ cita requerida ] |
Anillos borromeos | [4] |
Variedades arbitrarias
De manera más general, el volumen hiperbólico puede definirse para cualquier 3-múltiple hiperbólico . El colector Weeks tiene el volumen más pequeño posible de cualquier colector cerrado (un colector que, a diferencia de los complementos de enlace, no tiene cúspides); su volumen es de aproximadamente 0,9427. [5]
Thurston y Jørgensen demostraron que el conjunto de números reales que son volúmenes hiperbólicos de 3 variedades está bien ordenado , con el tipo de orden ω ω . [6] El punto límite más pequeño en este conjunto de volúmenes viene dado por el complemento del nudo del nudo en forma de ocho , [7] y el punto límite más pequeño de los puntos límite está dado por el complemento del enlace Whitehead . [8]
Referencias
- ^ a b Adams, Colin ; Hildebrand, Martin; Weeks, Jeffrey (1991), "Invariantes hiperbólicos de nudos y enlaces", Transactions of the American Mathematical Society , 326 (1): 1-56, doi : 10.2307 / 2001854 , MR 0994161.
- ^ a b c Wielenberg, Norbert J. (1981), "Tres variedades hiperbólicas que comparten un poliedro fundamental", superficies de Riemann y temas relacionados: Actas de la Conferencia de Stony Brook de 1978 (Universidad Estatal de Nueva York, Stony Brook, NY, 1978) , Ann . de Matemáticas. Stud., 97 , Princeton, Nueva Jersey: Princeton Univ. Prensa, págs. 505–513, MR 0624835.
- ^ Ruberman, Daniel (1987), "Mutación y volúmenes de nudos en S 3 ", Inventiones Mathematicae , 90 (1): 189–215, Bibcode : 1987InMat..90..189R , doi : 10.1007 / BF01389038 , MR 0906585.
- ^ a b William Thurston (marzo de 2002), "7. Cálculo del volumen" (PDF) , La geometría y topología de los tres colectores , p. 165
- ^ Gabai, David ; Meyerhoff, Robert; Milley, Peter (2009), "Volumen mínimo cúspide hiperbólico de tres variedades", Journal of the American Mathematical Society , 22 (4): 1157-1215, arXiv : 0705.4325 , Bibcode : 2009JAMS ... 22.1157G , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00639-0 , MR 2525782.
- ^ Neumann, Walter D .; Zagier, Don (1985), "Volumes of hyperbolic three-manifolds", Topology , 24 (3): 307–332, doi : 10.1016 / 0040-9383 (85) 90004-7 , MR 0815482.
- ^ Cao, Chun; Meyerhoff, G. Robert (2001), "Las tres variedades hiperbólicas cúspides orientables de volumen mínimo", Inventiones Mathematicae , 146 (3): 451–478, doi : 10.1007 / s002220100167 , MR 1869847
- ^ Agol, Ian (2010), "El volumen mínimo orientable hiperbólico de 2 cúspides de 3 variedades", Proceedings of the American Mathematical Society , 138 (10): 3723–3732, doi : 10.1090 / S0002-9939-10-10364-5 , MR 2661571
enlaces externos
- " Volumen hiperbólico ", The Knot Atlas .