En matemáticas , las condiciones de Dirichlet son condiciones suficientes para un verdadero -valued, función periódica f sea igual a la suma de su serie de Fourier en cada punto donde f es continua . Además, también se determina el comportamiento de la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad (es el punto medio de los valores de la discontinuidad). Estas condiciones llevan el nombre de Peter Gustav Lejeune Dirichlet .
Las condiciones son: [1]
- f debe ser absolutamente integrable durante un período.
- f debe ser de variación acotada en cualquier intervalo acotado dado.
- f debe tener un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo acotado dado, y las discontinuidades no pueden ser infinitas.
Teorema de Dirichlet para series de Fourier unidimensionales
Declaramos el teorema de Dirichlet asumiendo que f es una función periódica del período 2π con expansión de la serie de Fourier donde
La afirmación análoga es válida independientemente de cuál sea el período de f , o qué versión de la expansión de Fourier se elija (ver la serie de Fourier ).
- Teorema de Dirichlet: si f satisface las condiciones de Dirichlet, entonces para todo x , tenemos que la serie obtenida al insertar x en la serie de Fourier es convergente y está dada por
- donde la notación
- denota los límites derecho / izquierdo de f .
Una función que satisfaga las condiciones de Dirichlet debe tener límites derecho e izquierdo en cada punto de discontinuidad, o de lo contrario la función necesitaría oscilar en ese punto, violando la condición de máximos / mínimos. Tenga en cuenta que en cualquier punto donde f es continua,
Así, el teorema de Dirichlet dice en particular que bajo las condiciones de Dirichlet la serie de Fourier para f converge y es igual af donde f es continua.
Referencias
- ^ Alan V. Oppenheim; Alan S. Willsky; Syed Hamish Nawab (1997). Señales y Sistemas . Prentice Hall. pag. 198. ISBN 9780136511755.