Forma de Dirichlet

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En la rama de las matemáticas conocida como teoría del potencial (y en el análisis funcional ), una forma de Dirichlet es una generalización del laplaciano que se puede definir en cada espacio de medida , sin necesidad de mencionar derivadas parciales . Esto permite a los matemáticos estudiar la ecuación de Laplace y la ecuación de calor en espacios que no son múltiples : por ejemplo, fractales . El beneficio de estos espacios es que se puede hacer esto sin necesidad de un operador de gradiente., y en particular, uno puede incluso definir débilmente un "Laplaciano" de esta manera si comienza con la forma de Dirichlet.

Definición

Al trabajar , la forma de Dirichlet "clásica" viene dada por:${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx}$

donde a menudo se discute lo que a menudo se conoce como la "energía" de la función .${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}}$${\displaystyle u(x)}$

De manera más general, una forma de Dirichlet es una forma simétrica cerrada de Markov en un espacio L ² . ^[1] En particular, una forma de Dirichlet en un espacio de medida es una función bilineal ${\displaystyle (X,\mu )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}:D\times D\to \mathbb {R} }$

tal que

1) es un subconjunto denso de${\displaystyle D}$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$

2) es simétrico, es decir, para todos .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)}$${\displaystyle u,v\in D}$

3) por cada .${\displaystyle {\mathcal {E}}(u,u)\geq 0}$${\displaystyle u\in D}$

4) El conjunto equipado con el producto interior definido por es un espacio real de Hilbert.${\displaystyle D}$${\displaystyle (u,v)_{\mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(X,\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)}$

5) Por cada que tenemos eso y${\displaystyle u\in D}$${\displaystyle u_{*}=\min(\max(u,0),1)\in D}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E}}(u,u)}$

En otras palabras, una forma de Dirichlet no es más que una forma bilineal simétrica no negativa definida en un subconjunto denso de tal que 4) y 5) se mantienen.${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$

Alternativamente, la forma cuadrática en sí misma se conoce como la forma de Dirichlet y todavía se denota por , entonces .${\displaystyle u\to {\mathcal {E}}(u,u)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)}$

Funciones armónicas

Las funciones que minimizan la energía dadas ciertas condiciones de contorno se denominan armónicas, y el laplaciano asociado (débil o no) será cero en el interior, como se esperaba.

Por ejemplo, sea la forma estándar de Dirichlet definida como${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|^{2}\;dx}$

Entonces una función armónica en el sentido estándar, es decir, tal que , tendrá como se puede ver con integración por partes.${\displaystyle \Delta u=0}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=0}$

Como ejemplo alternativo, la forma estándar de Dirichlet del gráfico viene dada por:

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{G}(u,v)=\sum _{x\sim y}((u(x)-u(y))(v(x)-v(y))}$

donde significa que están conectados por un borde. Deje que se elija un subconjunto del conjunto de vértices y llámelo límite de la gráfica. Asigne una condición de límite de Dirichlet (elija números reales para cada vértice de límite). Se puede encontrar una función que minimice la energía del gráfico y será armónica. En particular, satisfará la propiedad de promediado, que está incorporada en el gráfico Laplaciano, es decir, si es un gráfico armónico, entonces, que es equivalente a la propiedad de promediado .${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle u_{G}(x)}$${\displaystyle \Delta _{G}u_{G}(x)=\sum _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0}$${\displaystyle u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)}$

Técnicamente, estos objetos se estudian en la teoría del potencial abstracto , basada en el principio clásico de Dirichlet . La teoría de las formas de Dirichlet se originó en el trabajo de Beurling y Deny ( 1958 , 1959 ) sobre los espacios de Dirichlet.

Núcleos integrales

Otro ejemplo de una forma de Dirichlet viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\iint _{\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}(u(y)-u(x))^{2}k(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

donde está algún núcleo integral simétrico no negativo .${\displaystyle k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

Si el núcleo satisface el límite , entonces la forma cuadrática está acotada . Si además, entonces la forma es comparable a la norma en cuadrado y en ese caso el conjunto definido anteriormente viene dado por . Así, las formas de Dirichlet son generalizaciones naturales de las integrales de Dirichlet.${\displaystyle k}$${\displaystyle k(x,y)\leq \Lambda |x-y|^{-n-s}}$${\displaystyle {\dot {H}}^{s/2}}$${\displaystyle \lambda |x-y|^{-n-s}\leq k(x,y)}$${\displaystyle {\dot {H}}^{s/2}}$${\displaystyle D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(u)=\int (A\nabla u,\nabla u)\;\mathrm {d} x,}$

donde es una matriz simétrica positiva. La ecuación de Euler-Lagrange de una forma de Dirichlet es un análogo no local de una ecuación elíptica en forma de divergencia. Las ecuaciones de este tipo se estudian utilizando métodos variacionales y se espera que satisfagan propiedades similares. ^{[2] [3] [4]}${\displaystyle A(x)}$

Referencias

1. Fukushima, M, Oshima, Y. y Takeda, M. (1994). Formas de Dirichlet y procesos simétricos de Markov. Walter de Gruyter y compañía, ISBN  3-11-011626-X
2. Barlow, Martin T .; Bass, Richard F .; Chen, Zhen-Qing; Kassmann, Moritz (2009), "Formas de Dirichlet no locales y procesos de salto simétrico", Transactions of the American Mathematical Society , 361 (4): 1963-1999, arXiv : math / 0609842 , doi : 10.1090 / S0002-9947-08 -04544-3 , ISSN 0002-9947 
3. Kassmann, Moritz (2009), "Estimaciones a priori para operadores integro-diferenciales con núcleos medibles", Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales , 34 (1): 1–21, doi : 10.1007 / s00526-008-0173-6 , ISSN 0944-2669 
4. Caffarelli, Luis; Chan, Chi Hin; Vasseur, Alexis (2011), "Teoría de la regularidad para operadores integrales parabólicos no lineales", Journal of the American Mathematical Society , 24 (24): 849–869, doi : 10.1090 / S0894-0347-2011-00698-X , ISSN 0894- 0347 

• Beurling, Arne; Deny, J. (1958), "Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire", Acta Mathematica , 99 (1): 203–224, doi : 10.1007 / BF02392426 , ISSN  0001-5962 , MR  0098924
• Beurling, Arne; Deny, J. (1959), "Espacios de Dirichlet", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 45 (2): 208-215, Código Bibliográfico : 1959PNAS ... 45..208B , doi : 10.1073 /pnas.45.2.208 , ISSN  0027-8424 , JSTOR  90170 , MR  0106365 , PMC  222537 , PMID  16590372
• Fukushima, Masatoshi (1980), formas de Dirichlet y procesos de Markov , North-Holland Mathematical Library, 23 , Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85421-6, MR  0569058
• Jost, Jürgen; Kendall, Wilfrid; Mosco, Umberto; Röckner, Michael; Sturm, Karl-Theodor (1998), Nuevas direcciones en formas de Dirichlet , AMS / IP Studies in Advanced Mathematics, 8 , Providence, RI: American Mathematical Society, p. xiv + 277, ISBN 978-0-8218-1061-3, MR  1652277.
• "Teoría del potencial abstracto" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]