En matemáticas, particularmente en análisis funcional y topología , el teorema del gráfico cerrado es un resultado fundamental que indica que un operador lineal con un gráfico cerrado será, bajo ciertas condiciones, continuo . El resultado original se ha generalizado muchas veces, por lo que ahora hay muchos teoremas denominados "teoremas de grafos cerrados".
Definiciones
Gráficos y gráficos cerrados
La gráfica de una función f : X → Y es el conjunto
- Gr f ≝ {( x , f ( x )): x ∈ X } = {( x , y ) ∈ X × Y : y = f ( x ) }.
- Supuesto : Si X y Y son espacios topológicos entonces X × Y siempre será dotado de la topología del producto .
Si X e Y son espacios topológicos , D ⊆ X , yf : D → Y es una función, entonces f tiene una gráfica cerrada (o gráfica secuencialmente cerrada ) en X × Y si la gráfica de f , Gr f , es una cerrado (resp. cerrado secuencialmente ) subconjunto de X × Y . Si D = X o si X está claro por el contexto, entonces "en X × Y " puede omitirse de la escritura.
Operadores lineales
Un mapa parcial , [1] se denota por f : X ↣ Y , si un mapa de un subconjunto de X , denotado por dom f , en Y . Si f : D ⊆ X → Y se escribe entonces se entiende que f : X ↣ Y es un mapa parcial y dom f = D .
Un mapa f : D ⊆ X → Y está cerrado (resp. Secuencialmente cerrado ) o tiene un gráfico cerrado (resp. Tiene un gráfico secuencialmente cerrado ) si el gráfico de f está cerrado (resp. Secuencialmente cerrado) en X × Y (en lugar de que en D × Y ).
Un mapa f : D ⊆ X → Y es un operador lineal o lineal si X e Y son espacios vectoriales , D ⊆ X es un subespacio vectorial de X , f : D → Y es un mapa lineal .
Operadores lineales cerrados
- Supuesto : Este artículo asumirá de ahora en adelante que X e Y son espacios vectoriales topológicos (TVS).
Un operador lineal f : D ⊆ X → Y se llama cerrado o un operador lineal cerrado si su gráfica está cerrado en X × Y .
- Mapas y cierres que se pueden cerrar
Un operador lineal f : D ⊆ X → Y se puede cerrar en X × Y si existe un subespacio vectorial E ⊆ X que contiene D y una función (resp. Multifunción) F : E → Y cuya gráfica es igual al cierre del conjunto gr f en X × Y . Tal F se llama cierre de f en X × Y , se denota por f , y necesariamente se extiende f .
Si f : D ⊆ X → Y es un operador lineal que se puede cerrar, entonces un núcleo o dominio esencial de f es un subconjunto C ⊆ D tal que el cierre en X × Y de la gráfica de la restricción f | C : C → Y de f a C es igual al cierre de la gráfica de f en X × Y (es decir, el cierre de Gr f en X × Y es igual al cierre de Gr f | C en X × Y ).
- Mapas cerrados frente a operadores lineales cerrados
Al leer literatura sobre análisis funcional , si f : X → Y es un mapa lineal entre espacios vectoriales topológicos (TVS), entonces " f está cerrado" casi siempre significará que su gráfico está cerrado. Sin embargo, " f es cerrado" puede, especialmente en la literatura sobre topología de conjuntos de puntos , significar lo siguiente:
Un mapa f : X → Y entre espacios topológicos se llama un mapa cerrado si la imagen de un subconjunto cerrado de X es un subconjunto cerrado de Y .
Estas dos definiciones de "mapa cerrado" no son equivalentes. Si no está claro, se recomienda que un lector compruebe cómo la literatura que está leyendo define "mapa cerrado".
Caracterizaciones de grafos cerrados (topología general)
Deje que X e Y sean espacios topológicos.
- Función con un gráfico cerrado
Si f : X → Y es una función, las siguientes son equivalentes:
- f tiene un gráfico cerrado (en X × Y );
- (definición) la gráfica de f , Gr f , es un subconjunto cerrado de X × Y ;
- para cada x ∈ X y neto x • = ( x i ) i ∈ I en X tal que x • → x en X , si y ∈ Y es tal que el neto f ( x • ): = ( f ( x i ) ) i ∈ I → y en Y entonces y = f ( x ) ; [2]
- Compare esto con la definición de continuidad en términos de redes, cuya memoria es la siguiente: para cada x ∈ X y neto x • = ( x i ) i ∈ I en X tal que x • → x en X , f ( x • ) → f ( x ) en Y .
- Por lo tanto, para mostrar que la función f tiene una gráfica cerrada, se puede suponer que f ( x • ) converge en Y a algún y ∈ Y (y luego mostrar que y = f ( x ) ) mientras que para mostrar que f es continua, puede no suponer que f ( x • ) converge en y para algunos y ∈ y y en su lugar, debe demostrarse que esto es cierto (y por otra parte, se debe más específicamente ser probado que f ( x • ) converge a f ( x ) en Y ).
y si Y es un espacio compacto de Hausdorff , podemos agregar a esta lista:
- f es continuo; [3]
y si tanto X como Y son los primeros espacios contables , podemos agregar a esta lista:
- f tiene una gráfica cerrada secuencialmente en X × Y ;
- Función con un gráfico cerrado secuencialmente
Si f : X → Y es una función, las siguientes son equivalentes:
- f tiene una gráfica cerrada secuencialmente en X × Y ;
- Definición: la gráfica de f es un subconjunto cerrado secuencialmente de X × Y ;
- Para cada x ∈ X y secuencia x • = ( x i )∞
yo = 1en X tal que x • → x en X , si y ∈ Y es tal que la red f ( x • ) ≝ ( f ( x i ))∞
yo = 1→ y en Y entonces y = f ( x ) . [2]
Propiedades básicas de mapas con gráficos cerrados
Suponga que f : D ( f ) ⊆ X → Y es un operador lineal entre espacios de Banach.
- Si A está cerrado, entonces A - λ Id D ( f ) está cerrado donde λ es un escalar e Id D ( f ) es la función de identidad .
- Si f está cerrada, entonces su kernel (o espacio nulo) es un subespacio vectorial cerrado de X .
- Si f es cerrada e inyectiva, entonces su inversa f −1 también es cerrada.
- Un operador lineal f admite un cierre si y solo si para cada x ∈ X y cada par de sucesiones x • = ( x i )∞
yo = 1y y • = ( y i )∞
yo = 1en D ( f ) ambos convergen ax en X , de modo que ambos f ( x • ) = ( f ( x i ))∞
yo = 1y f ( y • ) = ( f ( y i ))∞
yo = 1convergen en Y , uno tiene fx i = fy yo .
Ejemplos y contraejemplos
Mapas continuos pero no cerrados
- Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual y Y denote ℝ con la topología indiscreta (donde Y no es Hausdorff y que toda función valorada en Y es continua). Sea f : X → Y definida por f (0) = 1 y f ( x ) = 0 para todo x ≠ 0 . Entonces f : X → Y es continua pero su gráfica es no cerrado en X × Y . [2]
- Si X es cualquier espacio, entonces el mapa de identidad Id: X → X es continuo pero su gráfico, que es la diagonal Gr Id ≝ {( x , x ): x ∈ X }, se cierra en X × X si y solo si X es Hausdorff. [4] En particular, si X no es Hausdorff, entonces Id: X → X es continuo pero no cerrado.
- Si f : X → Y es un mapa continuo cuya gráfica no es cerrada, entonces Y no es un espacio de Hausdorff.
Mapas cerrados pero no continuos
- Si ( X , 𝜏) es un TVS de Hausdorff y 𝜐 es una topología vectorial en X que es estrictamente más fina que 𝜏 , entonces el mapa de identidad Id: ( X , 𝜏) → ( X , 𝜐) es un operador lineal discontinuo cerrado. [5]
- Considere el operador derivado A =D/dxdonde X = Y = C ([ a , b ]) es el espacio de Banach de todas las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] . Si se toma su dominio D ( f ) como C 1 ([ a , b ]) , entonces f es un operador cerrado, que no está acotado. [6] Por otro lado, si D ( f ) = C ∞ ([ a , b ]) , entonces f ya no se cerrará, pero se podrá cerrar, siendo el cierre su extensión definida en C 1 ([ a , b ]) .
- Dejemos que X e Y denoten los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual . Sea f : X → Y definido por f (0) = 0 y f ( x ) = 1/Xpara todo x ≠ 0 . Entonces f : X → Y tiene un gráfico cerrado (y un gráfico secuencial cerrado) en X × Y = ℝ 2 pero es no continuo (ya que tiene una discontinuidad en x = 0 ). [2]
- Sea X los números reales ℝ con la topología euclidiana habitual , Y denote ℝ con la topología discreta , y sea Id: X → Y el mapa de identidad (es decir, Id ( x ): = x para cada x ∈ X ). Entonces Id: X → Y es un mapa lineal cuyo gráfico está cerrado en X × Y pero claramente no es continuo (ya que los conjuntos singleton están abiertos en Y pero no en X ). [2]
Teoremas de grafos cerrados
El teorema del grafo cerrado se puede generalizar desde espacios de Banach a espacios vectoriales topológicos más abstractos de las siguientes maneras:
Teorema : un operador lineal desde un espacio de barril X a un espacio de Fréchet Y es continuo si y solo si su gráfica es cerrada.
y hay versiones que no requieren que Y sea localmente convexa:
Teorema : un mapa lineal entre dos espacios F es continuo si y solo si su gráfico es cerrado. [7] [8]
Reformulamos este teorema y lo ampliamos con algunas condiciones que pueden usarse para determinar si una gráfica es cerrada:
Teorema : si T : X → Y es un mapa lineal entre dos espacios F , entonces los siguientes son equivalentes:
- T es continuo;
- T tiene un gráfico cerrado;
- Si ( x i )∞
yo = 1→ x en X y si ( T ( x i ))∞
yo = 1converge en Y a algún y ∈ Y , entonces y = T ( x ) ; [9] - Si ( x i )∞
yo = 1→ 0 en X y si ( T ( x i ))∞
yo = 1converge en Y a algún y ∈ Y , entonces y = 0
Teorema [10] - Suponga que T : X → Y es un mapa lineal cuya gráfica está cerrada. Si X es un límite inductivo de Baire TVS e Y es un espacio reticulado, entonces T es continuo.
Teorema de gráfico cerrado [11] - Un mapa lineal sobreyectivo cerrado de un TVS pseudometrizable completo a un espacio ultrabarrelled localmente convexo es continuo.
Además, un mapa lineal cerrado desde un espacio ultrabarrellado localmente convexo hasta un TVS pseudometrizable completo es continuo.
Teorema de gráfico cerrado : un mapa lineal cerrado y acotado desde un espacio infrabarrellado localmente convexo hasta un espacio localmente convexo pseudometrizable completo es continuo. [11]
Una versión aún más general del teorema del gráfico cerrado es
Teorema [12] - Suponga que X e Y son dos espacios vectoriales topológicos (no necesitan ser de Hausdorff o localmente convexos) con la siguiente propiedad:
- Si G es cualquier subespacio cerrado de X × Y y U es cualquier mapa continua de G en X , entonces u es una aplicación abierta.
Bajo esta condición, si T : X → Y es un mapa lineal cuyo gráfico está cerrado, entonces T es continuo.
Entre espacios de Banach
En el análisis funcional , el teorema del gráfico cerrado establece lo siguiente: Si X e Y son espacios de Banach , y T : X → Y es un operador lineal , entonces T es continuo si y solo si su gráfico está cerrado en X × Y (con el topología del producto ).
El teorema del gráfico cerrado se puede reformular y se puede reescribir en una forma que sea más fácil de usar:
Teorema de gráfico cerrado para espacios de Banach : si T : X → Y es un operador lineal entre espacios de Banach , entonces los siguientes son equivalentes:
- T es continuo.
- T es un operador cerrado (es decir, la gráfica de T es cerrada).
- Si ( x i )∞
yo = 1→ x en X entonces ( T ( x i ))∞
yo = 1→ T ( x ) en Y . - Si ( x i )∞
yo = 1→ 0 en X entonces ( T ( x i ))∞
yo = 1→ 0 en Y . - Si ( x i )∞
yo = 1→ x en X y si ( T ( x i ))∞
yo = 1converge en Y a algún y ∈ Y , entonces y = T ( x ) . - Si en X y si ( T ( x i ))∞
yo = 1converge en Y a algún y ∈ Y , entonces y = 0 .
Se requiere que el operador para ser todas partes definido , es decir, el dominio D ( T ) de T es X . Esta condición es necesaria, ya que existen operadores lineales cerrados que son ilimitados (no continuos); un ejemplo prototípico lo proporciona el operador derivado en C ([0,1]) , cuyo dominio es un subconjunto estricto de C ([0,1]) .
La demostración habitual del teorema de grafo cerrado emplea el teorema de mapeo abierto . De hecho, el teorema del grafo cerrado, el teorema del mapeo abierto y el teorema del inverso acotado son todos equivalentes . Esta equivalencia también sirve para demostrar la importancia de que X e Y sean Banach; uno puede construir mapas lineales que tienen inversas ilimitadas en este escenario, por ejemplo, usando funciones continuas con soporte compacto o usando secuencias con un número finito de términos distintos de cero junto con la norma suprema.
Teorema del gráfico de Borel
El teorema del gráfico de Borel, probado por L. Schwartz, muestra que el teorema del gráfico cerrado es válido para mapas lineales definidos y valorados en la mayoría de los espacios encontrados en el análisis. [13] Recuerde que un espacio topológico se llama espacio polaco si es un espacio metrizable completo separable y que un espacio Souslin es la imagen continua de un espacio polaco. El dual débil de un espacio Fréchet separable y el dual fuerte de un espacio Fréchet-Montel separable son espacios Souslin. Además, el espacio de distribuciones y todos los espacios Lp sobre subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, así como muchos otros espacios que ocurren en el análisis, son espacios Souslin. El teorema del gráfico de Borel establece:
Borel Gráfico Teorema - Let U : X → Y sea un mapa lineal entre dos localmente convexa Hausdorff espacios X e Y . Si X es el límite inductivo de una familia arbitraria de espacios de Banach, si Y es un espacio de Souslin y si la gráfica de u es un conjunto de Borel en X × Y , entonces u es continuo. [13]
Una mejora de este teorema, demostrado por A. Martineau, utiliza espacios K-analíticos.
Un espacio topológico X se llama K σδ si es la intersección contable de uniones contables de conjuntos compactos.
Un espacio topológico Y de Hausdorff se llama K-analítico si es la imagen continua de un espacio K σδ (es decir, si hay un espacio K σδ X y un mapa continuo de X sobre Y ).
Cada conjunto compacto es K-analítico, por lo que hay espacios K-analíticos no separables. Además, cada espacio de Frechet polaco, souslin y reflexivo es K-analítico, al igual que el dual débil de un espacio de Frechet. El teorema del grafo de Borel generalizado establece:
Borel generalizada Gráfico Teorema [14] - Let U : X → Y sea un mapa lineal entre dos espacios localmente convexos Hausdorff X e Y . Si X es el límite inductivo de una familia arbitraria de espacios de Banach, si Y es un espacio K-analítico, y si la gráfica de u está cerrada en X × Y , entonces u es continuo.
Resultados relacionados
Si F : X → Y es un operador lineal cerrado de un TVS X localmente convexo de Hausdorff a un TVS Y de dimensión finita de Hausdorff, entonces F es continuo. [15]
Ver también
- Mapa lineal casi abierto
- Espacio de Banach: espacio vectorial normalizado que está completo
- Espacio en barril : un espacio vectorial topológico con requisitos casi mínimos para que se mantenga el teorema de Banach-Steinhaus.
- Gráfico cerrado : gráfico de una función que también es un subconjunto cerrado del espacio del producto.
- Operador lineal cerrado
- Mapa lineal continuo
- Mapa lineal discontinuo
- Teorema de punto fijo de Kakutani : activado cuando una función f: S → Pow (S) en un subconjunto convexo compacto no vacío S⊂ℝⁿ tiene un punto fijo
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Teorema de mapeo abierto (análisis funcional) : teorema que da las condiciones para que un mapa lineal continuo sea un mapa abierto
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Teorema de Ursescu : teorema que generaliza simultáneamente el gráfico cerrado, el mapeo abierto y los teoremas de Banach-Steinhaus.
- Espacio palmeado : espacios vectoriales topológicos para los que se cumplen los teoremas de mapeo abierto y gráficos cerrados.
Referencias
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- ↑ a b c d e Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 459-483.
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- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 479-483.
- ↑ a b Narici y Beckenstein , 2011 , págs. 474-476.
- ^ Trèves , 2006 , p. 169.
- ↑ a b Trèves , 2006 , p. 549.
- ^ Trèves , 2006 , págs. 557-558.
- ^ Narici y Beckenstein 2011 , p. 476.
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