acción de grupo
En matemáticas , una acción de grupo sobre un espacio es un homomorfismo de grupo de un grupo dado en el grupo de transformaciones del espacio. De manera similar, una acción de grupo sobre una estructura matemática es un homomorfismo de grupo de un grupo en el grupo de automorfismo de la estructura. Se dice que el grupo actúa sobre el espacio o estructura. Si un grupo actúa sobre una estructura, normalmente también actuará sobre los objetos construidos a partir de esa estructura. Por ejemplo, el grupo de isometrías euclidianas actúa sobre el espacio euclidianoy también en las figuras dibujadas en él. En particular, actúa sobre el conjunto de todos los triángulos . De manera similar, el conjunto de simetrías de un poliedro actúa sobre los vértices , las aristas y las caras del poliedro.
Una acción de grupo en un espacio vectorial (de dimensión finita) se denomina representación del grupo. Permite identificar muchos grupos con subgrupos de GL( n , K ) , el grupo de las matrices invertibles de dimensión n sobre un campo K .
El grupo simétrico S n actúa sobre cualquier conjunto de n elementos permutando los elementos del conjunto. Aunque el conjunto de todas las permutaciones de un conjunto depende formalmente del conjunto, el concepto de acción de grupo permite considerar un solo grupo para estudiar las permutaciones de todos los conjuntos con la misma cardinalidad .
Si G es un grupo con elemento de identidad e , y X es un conjunto, entonces una acción de grupo ( izquierda ) α de G sobre X es una función
(con α ( g , x ) a menudo abreviada como gx o g ⋅ x cuando la acción que se está considerando es clara por el contexto):
Se dice que el grupo G actúa sobre X (desde la izquierda). Un conjunto X junto con una acción de G se denomina conjunto G ( izquierda ) .
