Compuesto de cinco tetraedros | |
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Tipo | Compuesto regular |
Símbolo de coxeter | {5,3} [5 {3,3}] {3,5} [1] |
Índice | UC 5 , W 24 |
Elementos (como compuesto) | 5 tetraedros : F = 20, E = 30, V = 20 |
Compuesto dual | Auto-dual |
Grupo de simetría | icosaédrico quiral ( I ) |
Subgrupo restringido a un componente | tetraédrico quiral ( T ) |
El compuesto de cinco tetraedros es uno de los cinco compuestos poliédricos regulares. Este poliedro compuesto es también una estelación del icosaedro regular . Fue descrito por primera vez por Edmund Hess en 1876.
Puede verse como un tallado de un dodecaedro regular .
Como un compuesto
Puede construirse colocando cinco tetraedros en simetría icosaédrica rotacional ( I ), como se muestra en el modelo superior derecho. Es uno de los cinco compuestos regulares que se pueden construir a partir de sólidos platónicos idénticos .
Comparte la misma disposición de vértices que un dodecaedro regular .
Hay dos formas enantiomorfas (la misma figura pero con quiralidad opuesta) de este poliedro compuesto. Ambas formas juntas crean el compuesto simétrico de reflexión de diez tetraedros .
Tiene una densidad superior a 1.
Como baldosas esféricas | Modelos transparentes (animación) | Cinco tetraedros entrelazados |
Como una estelación
También se puede obtener estelar el icosaedro , y se da como índice 24 del modelo de Wenninger .
Diagrama de estelación | Núcleo de estelación | Casco convexo |
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Icosaedro | Dodecaedro |
Como una faceta
Es un tallado de un dodecaedro, como se muestra a la izquierda.
Teoría de grupos
El compuesto de cinco tetraedros es una ilustración geométrica de la noción de órbitas y estabilizadores , como sigue.
El grupo de simetría del compuesto es el grupo icosaédrico (rotacional) I de orden 60, mientras que el estabilizador de un único tetraedro elegido es el grupo tetraédrico (rotacional) T de orden 12, y el espacio orbital I / T (de orden 60 / 12 = 5) se identifica naturalmente con los 5 tetraedros: la clase lateral gT corresponde a la que el tetraedro g envía el tetraedro elegido.
Una propiedad dual inusual
Este compuesto es inusual, ya que la figura dual es el enantiomorfo del original. Si las caras están torcidas hacia la derecha, entonces los vértices están torcidos hacia la izquierda. Cuando dualizamos , las caras se dualizan en vértices torcidos a la derecha y los vértices se dualizan en caras torcidas a la izquierda, dando el gemelo quiral. Las figuras con esta propiedad son extremadamente raras.
Ver también
- Compuesto de diez tetraedros
- Compuesto de cinco cubos
Referencias
- ↑ Politopos regulares, p. 98
- Wenninger, Magnus (1974). Modelos de poliedro . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-09859-9.
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 , 3.6 Los cinco compuestos regulares , pp.47-50, 6.2 Stellating the Platonic sólidos , pp.96-104
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Du Val, P .; Flather, HT; Petrie, JF (1999). Los cincuenta y nueve icosaedros (3ª ed.). Tarquin. ISBN 978-1-899618-32-3. Señor 0676126 . (Primera Universidad Edn de Toronto (1938))
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Tetrahedron 5-Compound" . MathWorld .
- Escultura en metal del compuesto de cinco tetraedros
- Modelo VRML : [1]
- Compuestos de 5 y 10 tetraedros por Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project .
- Klitzing, Richard. "Compuesto 3D" .
Estelaciones notables del icosaedro | |||||||||
Regular | Duales uniformes | Compuestos regulares | Estrella regular | Otros | |||||
Icosaedro (convexo) | Pequeño icosaedro triámbico | Iicosaedro triámbico medial | Gran icosaedro triámbico | Compuesto de cinco octaedros | Compuesto de cinco tetraedros | Compuesto de diez tetraedros | Gran icosaedro | Dodecaedro excavado | Estelación final |
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El proceso de estelación en el icosaedro crea una serie de poliedros y compuestos relacionados con simetría icosaédrica . |