cohomología de dolbeault

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En matemáticas , en particular en geometría algebraica y geometría diferencial , la cohomología de Dolbeault (llamada así por Pierre Dolbeault ) es un análogo de la cohomología de Rham para variedades complejas . Sea M una variedad compleja. Entonces los grupos de cohomología de Dolbeault dependen de un par de enteros p y q y se realizan como un subcociente del espacio de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ).${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$

Sea Ω ^{p , q} el conjunto vectorial de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). En el artículo sobre formas complejas , el operador de Dolbeault se define como un operador diferencial en secciones suaves

este operador tiene alguna cohomología asociada . Específicamente, defina la cohomología como el espacio cociente

Si E es un haz vectorial holomorfo en una variedad compleja X , entonces se puede definir igualmente una resolución fina del haz de secciones holomorfas de E , utilizando el operador Dolbeault de E . Por lo tanto, esta es una resolución de la cohomología de la gavilla de .${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

Para establecer el isomorfismo de Dolbeault necesitamos demostrar el lema de Dolbeault-Grothendieck (o lema de -Poincaré). Primero demostramos una versión unidimensional del lema de -Poincaré; Usaremos la siguiente forma generalizada de la representación integral de Cauchy para funciones suaves :${\displaystyle {\bar {\parcial}}}$${\displaystyle {\bar {\parcial}}}$

Proposición : Deje que la bola abierta centrada en el radio se abra y , luego ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$${\ estilo de visualización 0}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$

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