forma diferencial compleja
En matemáticas , una forma diferencial compleja es una forma diferencial en una variedad (generalmente una variedad compleja ) a la que se le permite tener coeficientes complejos .
Las formas complejas tienen amplias aplicaciones en geometría diferencial . En variedades complejas, son fundamentales y sirven como base para gran parte de la geometría algebraica, la geometría de Kähler y la teoría de Hodge . Sobre variedades no complejas, también juegan un papel en el estudio de estructuras casi complejas , la teoría de espinores y estructuras CR .
Por lo general, las formas complejas se consideran debido a alguna descomposición deseable que admiten las formas. En una variedad compleja, por ejemplo, cualquier forma k compleja se puede descomponer únicamente en una suma de las llamadas formas ( p , q ) : aproximadamente, cuñas de p diferenciales de las coordenadas holomorfas con q diferenciales de sus complejos conjugados. El conjunto de ( p , q )-formas se convierte en el objeto de estudio primitivo y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las k -formas. Incluso existen estructuras más finas, por ejemplo, en los casos en que se aplica la teoría de Hodge .
Supongamos que M es una variedad compleja de dimensión compleja n . Entonces hay un sistema de coordenadas local que consta de n funciones de valores complejos z 1 ,...,z n tales que las transiciones de coordenadas de un parche a otro son funciones holomorfas de estas variables. El espacio de formas complejas tiene una estructura rica, dependiendo fundamentalmente del hecho de que estas funciones de transición son holomorfas, en lugar de simplemente suaves .
Comenzamos con el caso de las monoformas. Primero descomponga las coordenadas complejas en sus partes real e imaginaria: z j = x j + iy j para cada j . Alquiler
Sea Ω 1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo 's y Ω 0,1 el espacio de formas que contienen solo 's. Se puede mostrar, mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que los espacios Ω 1,0 y Ω 0,1 son estables bajo cambios de coordenadas holomorfas. En otras palabras, si uno hace una elección diferente w i del sistema de coordenadas holomorfas, entonces los elementos de Ω 1,0 se transforman tensorialmente , al igual que los elementos de Ω 0,1 . Así, los espacios Ω 0,1 y Ω 1,0 determinan fibrados vectoriales complejos en la variedad compleja.
