Un problema inverso en ciencia es el proceso de calcular a partir de un conjunto de observaciones los factores causales que las produjeron: por ejemplo, calcular una imagen en tomografía computarizada de rayos X , reconstrucción de fuentes en acústica, o calcular la densidad de la Tierra a partir de mediciones de su campo de gravedad . Se llama problema inverso porque comienza con los efectos y luego calcula las causas. Es el inverso de un problema directo, que comienza con las causas y luego calcula los efectos.
Los problemas inversos son algunos de los problemas matemáticos más importantes en ciencias y matemáticas porque nos informan sobre parámetros que no podemos observar directamente. Tienen una amplia aplicación en identificación de sistemas , óptica , radar , acústica , teoría de la comunicación , procesamiento de señales , imágenes médicas , visión artificial , [1] [2] geofísica , oceanografía , astronomía , teledetección , procesamiento de lenguaje natural ,aprendizaje automático , [3] pruebas no destructivas , análisis de estabilidad de taludes [4] y muchos otros campos. [ cita requerida ]
Comenzar con los efectos para descubrir las causas ha preocupado a los físicos durante siglos. Un ejemplo histórico son los cálculos de Adams y Le Verrier que llevaron al descubrimiento de Neptuno a partir de la trayectoria perturbada de Urano . Sin embargo, no se inició un estudio formal de los problemas inversos hasta el siglo XX.
Uno de los primeros ejemplos de una solución a un problema inverso fue descubierto por Hermann Weyl y publicado en 1911, describiendo el comportamiento asintótico de los valores propios del operador de Laplace-Beltrami . [5] Hoy conocida como la ley de Weyl , quizás se entienda más fácilmente como una respuesta a la pregunta de si es posible escuchar la forma de un tambor . Weyl conjeturó que las frecuencias propias de un tambor estarían relacionadas con el área y el perímetro del tambor mediante una ecuación particular, un resultado mejorado por matemáticos posteriores.
El campo de los problemas inversos fue abordado más tarde por el físico armenio - soviético Viktor Ambartsumian . [6] [7]
Cuando aún era estudiante, Ambartsumian estudió a fondo la teoría de la estructura atómica, la formación de los niveles de energía y la ecuación de Schrödinger y sus propiedades, y cuando dominó la teoría de los valores propios de las ecuaciones diferenciales , señaló la aparente analogía entre los niveles de energía discretos. y los valores propios de las ecuaciones diferenciales. Luego preguntó: dada una familia de valores propios, ¿es posible encontrar la forma de las ecuaciones cuyos valores propios son? Esencialmente, Ambartsumian estaba examinando el problema inverso de Sturm-Liouville , que se ocupaba de determinar las ecuaciones de una cuerda vibrante. Este artículo fue publicado en 1929 en la revista de física alemana Zeitschrift für Physik.y permaneció en la oscuridad durante bastante tiempo. Al describir esta situación después de muchas décadas, Ambartsumian dijo: "Si un astrónomo publica un artículo con contenido matemático en una revista de física, entonces lo más probable es que lo olvide".