Poliedro doble

Poliedro asociado con otro intercambiando vértices por caras

El dual de un cubo es un octaedro . Los vértices de uno corresponden a las caras del otro y los bordes se corresponden entre sí.

En geometría , cualquier poliedro está asociado con una segunda figura dual , donde los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y los bordes entre pares de vértices de uno corresponden a los bordes entre pares de caras del otro. ^[1] Estas figuras duales siguen siendo poliedros combinatorios o abstractos , pero no todos son también poliedros geométricos. ^[2] Comenzando con cualquier poliedro dado, el dual de su dual es el poliedro original.

La dualidad conserva las simetrías de un poliedro. Por lo tanto, para muchas clases de poliedros definidos por sus simetrías, los duales pertenecen a una clase de simetría correspondiente. Por ejemplo, los poliedros regulares - los sólidos platónicos (convexos) y los poliedros (estrella) de Kepler-Poinsot  - forman pares duales, donde el tetraedro regular es auto-dual . El dual de un poliedro isogonal (uno en el que dos vértices son equivalentes bajo las simetrías del poliedro) es un poliedro isoédrico (uno en el que dos caras son equivalentes [...]) y viceversa. El dual de un isotoxal poliedro (uno en el que dos aristas son equivalentes [...]) también es isotoxal.

La dualidad está estrechamente relacionada con la reciprocidad o polaridad , una transformación geométrica que, cuando se aplica a un poliedro convexo, realiza el poliedro dual como otro poliedro convexo.

Tipos de dualidad

El dual de un sólido platónico se puede construir conectando los centros faciales. En general, esto crea solo un dual topológico .
Imágenes de Kepler 's Armonía del Mundo (1619)

Hay muchos tipos de dualidad. Los tipos más relevantes para los poliedros elementales son la reciprocidad polar y la dualidad topológica o abstracta.

Reciprocidad polar

Ver también: reciprocidad polar

En el espacio euclidiano , el dual de un poliedro a menudo se define en términos de reciprocidad polar alrededor de una esfera. Aquí, cada vértice (polo) está asociado con un plano de la cara (plano polar o simplemente polar) de modo que el rayo del centro al vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias del centro a cada uno es igual a el cuadrado del radio. ^[3]${\displaystyle P}$

Cuando la esfera tiene radio y está centrada en el origen (de modo que está definida por la ecuación ), entonces el dual polar de un poliedro convexo se define como${\displaystyle r}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P^{\circ }=\{q\mid q\cdot p\leq r^{2}}$para todos en${\displaystyle p}$${\displaystyle P\},}$

donde denota el producto escalar estándar de y .${\displaystyle q\cdot p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

Normalmente, cuando no se especifica ninguna esfera en la construcción del dual, se utiliza la esfera unitaria, es decir, en las definiciones anteriores. ^[4]${\displaystyle r=1}$

Para cada plano de la cara de descrito por la ecuación lineal${\displaystyle P}$

$${\displaystyle x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=r^{2},}$$

el poliedro dual tendrá un vértice con coordenadas . De manera similar, cada vértice de corresponde a un plano de cara de , y cada borde de corresponde a un borde de . La correspondencia entre los vértices, los bordes y las caras de la inclusión y la revierte. Por ejemplo, si una arista de contiene un vértice, la arista correspondiente de estará contenida en la cara correspondiente.${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{\circ }}$

Para poliedros simétricos que tienen un centroide obvio, es común hacer que el poliedro y la esfera sean concéntricos, como en la construcción de Dorman Luke que se describe a continuación. Para poliedros acotados que tienen múltiples ejes de simetría, estos necesariamente se intersecarán en un solo punto, y esto generalmente se toma como el centroide. En su defecto, se suele utilizar una esfera circunscrita, una esfera inscrita o una esfera media (una con todos los bordes como tangentes).

Sin embargo, es posible intercambiar un poliedro alrededor de cualquier esfera, y la forma resultante del dual dependerá del tamaño y la posición de la esfera; como la esfera es variada, también lo es la forma dual. La elección del centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la similitud.

Si un poliedro en el espacio euclidiano tiene un elemento que pasa por el centro de la esfera, el elemento correspondiente de su dual irá al infinito. Dado que el espacio euclidiano nunca alcanza el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, puede formarse agregando el 'plano en el infinito' requerido. Algunos teóricos prefieren ceñirse al espacio euclidiano y decir que no hay dual. Mientras tanto, Wenninger (1983) encontró una manera de representar estos duales infinitos, de una manera adecuada para hacer modelos (de alguna porción finita).

El concepto de dualidad aquí está estrechamente relacionado con la dualidad en la geometría proyectiva , donde las líneas y los bordes se intercambian. La polaridad proyectiva funciona lo suficientemente bien para poliedros convexos. Pero para figuras no convexas como los poliedros estelares, cuando buscamos definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, surgen varios problemas. ^[5] Debido a los problemas de definición de la dualidad geométrica de los poliedros no convexos, Grünbaum (2007) sostiene que cualquier definición adecuada de un poliedro no convexo debería incluir una noción de poliedro dual.

Duales canónicos

Compuesto dual canónico de cuboctaedro (claro) y dodecaedro rómbico (oscuro). Los pares de bordes se encuentran en su media esfera común .

Cualquier poliedro convexo se puede distorsionar en una forma canónica , en la que existe una unidad mediaesfera (o interesfera) tangente a cada borde, y tal que la posición promedio de los puntos de tangencia es el centro de la esfera. Esta forma es única hasta congruencias.

Si intercambiamos un poliedro canónico de este tipo alrededor de su esfera media, el poliedro dual compartirá los mismos puntos de tangencia de borde y, por lo tanto, también será canónico. Es el dual canónico, y los dos juntos forman un compuesto dual canónico. ^[6]

Dualidad topológica

Incluso cuando un par de poliedros no pueden obtenerse por reciprocidad entre sí, pueden llamarse duales entre sí siempre que los vértices de uno correspondan a las caras del otro y los bordes de uno correspondan a los bordes del otro. , de una manera que preserva la incidencia. Estos pares de poliedros siguen siendo topológica o abstractamente duales.

Los vértices y los bordes de un poliedro convexo forman un gráfico (el esqueleto en 1 del poliedro), incrustado en la superficie del poliedro (una esfera topológica). Este gráfico se puede proyectar para formar un diagrama de Schlegel en un plano. El gráfico formado por los vértices y los bordes del poliedro dual es el gráfico dual del gráfico original.

De manera más general, para cualquier poliedro cuyas caras forman una superficie cerrada, los vértices y los bordes del poliedro forman un gráfico incrustado en esta superficie, y los vértices y los bordes del poliedro dual (abstracto) forman el gráfico dual del gráfico original.

Un poliedro abstracto es un cierto tipo de conjunto (poset) de elementos parcialmente ordenado , de manera que las incidencias, o conexiones, entre elementos del conjunto corresponden a incidencias entre elementos (caras, aristas, vértices) de un poliedro. Cada poset tiene un poset dual, formado invirtiendo todas las relaciones de orden. Si el poset se visualiza como un diagrama de Hasse , el poset dual se puede visualizar simplemente volteando el diagrama de Hasse al revés.

Cada poliedro geométrico corresponde a un poliedro abstracto de esta manera, y tiene un poliedro dual abstracto. Sin embargo, para algunos tipos de poliedros geométricos no convexos, los poliedros duales pueden no ser realizables geométricamente.

Construcción de Dorman Luke

Para un poliedro uniforme , cada cara del poliedro dual puede derivarse de la figura del vértice correspondiente del poliedro original utilizando la construcción de Dorman Luke . ^[7]

Como ejemplo, la siguiente ilustración muestra la figura del vértice (rojo) del cuboctaedro que se utiliza para derivar la cara correspondiente (azul) del dodecaedro rómbico .

La construcción de Dorman Luke procede de la siguiente manera:

1. Marque los puntos A , B , C , D de cada borde conectado al vértice V (en este caso, los puntos medios) de manera que VA = VB = VC = VD .
2. Dibuja la figura del vértice ABCD .
3. Dibuja la circunferencia de ABCD .
4. Dibujar la línea tangente a la circunferencia circunscrita en cada esquina A , B , C , D .
5. Marque los puntos E , F , G , H donde se encuentran cada una de las dos líneas tangentes adyacentes.

Los segmentos de recta EF , FG , GH , HE ya están dibujados como partes de las rectas tangentes. El polígono EFGH es la cara del poliedro dual que corresponde al vértice V original .

En este ejemplo, el tamaño de la figura del vértice se eligió de modo que su circunferencia se encuentre en la interesfera del cuboctaedro, que también se convierte en la interesfera del dodecaedro rómbico dual. La construcción de Dorman Luke solo se puede usar cuando un poliedro tiene tal interesfera, de modo que la figura del vértice tiene un círculo circunferencial. Por ejemplo, se puede aplicar a los poliedros uniformes .

Poliedros auto-duales

Topológicamente, un poliedro auto-dual es aquel cuyo dual tiene exactamente la misma conectividad entre vértices, aristas y caras. De manera abstracta, tienen el mismo diagrama de Hasse .

Un poliedro geométricamente auto-dual no solo es topológicamente auto-dual, sino que su recíproco polar sobre un cierto punto, típicamente su centroide, es una figura similar. Por ejemplo, el dual de un tetraedro regular es otro tetraedro regular, reflejado a través del origen .

Cada polígono es topológicamente auto-dual (tiene el mismo número de vértices que los bordes, y estos se cambian por dualidad), pero en general no será geométricamente auto-dual (hasta un movimiento rígido, por ejemplo). Cada polígono tiene una forma regular que es geométricamente auto-dual en su interesfera: todos los ángulos son congruentes, al igual que todos los bordes, por lo que bajo la dualidad estas congruencias se intercambian.

De manera similar, cada poliedro convexo topológicamente auto-dual puede ser realizado por un poliedro geométricamente auto-dual equivalente, su poliedro canónico , recíproco alrededor del centro de la esfera media .

Hay infinitos poliedros geométricamente auto-duales. La familia infinita más simple son las pirámides canónicas de n lados. Otra familia infinita, las pirámides alargadas , consta de poliedros que pueden describirse aproximadamente como una pirámide colocada sobre un prisma (con el mismo número de lados). Agregar un tronco (pirámide con la parte superior cortada) debajo del prisma genera otra familia infinita, y así sucesivamente.

Hay muchos otros poliedros convexos y auto-duales. Por ejemplo, hay 6 diferentes con 7 vértices y 16 con 8 vértices. ^[8]

En 1900, Brückner identificó un icosaedro no convexo auto-dual ^{[ aclaración necesaria ]} con caras hexagonales. ^{[9] [10] [11]} Se han encontrado otros poliedros auto-duales no convexos, bajo ciertas definiciones de no convexo poliedros y sus duales. ^{[ aclaración necesaria ]}

Familia de pirámides

3

4

5

6

Familia de pirámides alargadas

3

4

5

Familia de trapezoedros disminuidos

3

4

5

6

7

Politopos duales y teselaciones

La dualidad se puede generalizar al espacio n -dimensional y politopos duales ; en dos dimensiones, estos se denominan polígonos duales .

Los vértices de un politopo corresponden a los elementos ( n - 1) -dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento ( j - 1) -dimensional corresponderán a j hiperplanos que se intersecan para dar un ( elemento n - j ) -dimensional. El dual de una teselación n- dimensional o un panal se puede definir de manera similar.

En general, las facetas del dual de un politopo serán los duales topológicos de las figuras del vértice del politopo. Para los recíprocos polares de los politopos regulares y uniformes , las facetas duales serán recíprocos polares de la figura del vértice del original. Por ejemplo, en cuatro dimensiones, la figura del vértice de las 600 celdas es el icosaedro ; el dual de 600 celdas es el de 120 celdas , cuyas facetas son dodecaedros , que son el dual del icosaedro.

Politopos y teselaciones auto-duales

El mosaico cuadrado , {4,4}, es auto-dual, como lo muestran estos mosaicos rojos y azules

El mosaico apeirogonal de orden infinito , {∞, ∞} en rojo, y su posición dual en azul

La clase principal de politopos auto-duales son los politopos regulares con símbolos palindrómicos de Schläfli . Todos los polígonos regulares, {a} son auto-duales, poliedros de la forma {a, a}, 4-politopos de la forma {a, b, a}, 5-politopos de la forma {a, b, b, a }, etc.

Los politopos regulares auto-duales son:

• Todos los polígonos regulares , {a}.
• Tetraedro regular : {3,3}
• En general, todos los n - simplex regulares , {3,3, ..., 3}
• El normal de 24 celdas en 4 dimensiones, {3,4,3}.
• La gran celda de 120 celdas {5,5 / 2,5} y la gran celda estrellada de 120 celdas {5 / 2,5,5 / 2}

Los panales euclidianos regulares auto-duales (infinitos) son:

• Apeirogon : {∞}
• Mosaico cuadrado : {4,4}
• Panal cúbico : {4,3,4}
• En general, todos los panales hipercúbicos euclidianos n- dimensionales regulares : {4,3, ..., 3,4}.

Los panales hiperbólicos regulares auto-duales (infinitos) son:

• Azulejos hiperbólicos compactos: {5,5} , {6,6} , ... {p, p}.
• Mosaico hiperbólico paracompacto: {∞, ∞}
• Panales hiperbólicos compactos: {3,5,3} , {5,3,5} y {5,3,3,5}
• Panales hiperbólicos paracompactos: {3,6,3} , {6,3,6} , {4,4,4} y {3,3,4,3,3}

Ver también

• Notación de poliedro de Conway
• Polígono dual
• Gráfico auto-dual
• Polígono auto-dual

Referencias

Notas

1. Wenninger (1983) , "Nociones básicas sobre estelación y dualidad", p. 1.
2. Grünbaum (2003)
3. Cundy y Rollett (1961) , 3.2 Duality, págs. 78-79; Wenninger (1983) , páginas 3-5. (Tenga en cuenta que la discusión de Wenninger incluye poliedros no convexos).
4. Barvinok (2002) , página 143.
5. Ver, por ejemplo, Grünbaum & Shephard (2013) y Gailiunas & Sharp (2005) . Wenninger (1983) también analiza algunas cuestiones sobre la forma de derivar sus duales infinitos.
6. Grünbaum (2007) , Teorema 3.1, p. 449.
7. Cundy y Rollett (1961) , p. 117; Wenninger (1983) , pág. 30.
8. Modelos3D de Java en Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra , basados ​​en un artículo de Gunnar Brinkmann, Brendan D. McKay, Generación rápida de gráficos planos PDF [1]
9. Anthony M. Cutler y Egon Schulte; "Poliedros regulares de índice dos", I; Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contribuciones al álgebra y la geometría, abril de 2011, volumen 52, número 1, págs. 133–161.
10. Puente de NJ; "Tallado del dodecaedro", Acta Crystallographica , vol. A 30, Parte 4 de julio de 1974, Fig. 3c y texto adjunto.
11. Brückner, M .; Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte , Teubner, Leipzig, 1900.

Bibliografía

• Cundy, H. Martyn ; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2a ed.), Oxford: Clarendon Press, MR  0124167.
• Gailiunas, P .; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología , 36 (6): 617–642, doi : 10.1080 / 00207390500064049 , S2CID  120818796.
• Grünbaum, Branko (2003), "¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros?", En Aronov, Boris ; Basu, Saugata; Pach, János ; Sharir, Micha (eds.), Geometría discreta y computacional: The Goodman-Pollack Festschrift , Algorithms and Combinatorics, 25 , Berlín: Springer, págs. 461–488, CiteSeerX  10.1.1.102.755 , doi : 10.1007 / 978-3- 642-55566-4_21 , ISBN 978-3-642-62442-1, MR  2038487.
• Grünbaum, Branko (2007), "Gráficos de poliedros; poliedros como gráficos", Matemáticas discretas , 307 (3–5): 445–463, doi : 10.1016 / j.disc.2005.09.037 , hdl : 1773/2276 , MR  2287486.
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (2013), "Duality of polyhedra", en Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imaginación , Nueva York: Springer, págs. 211-216, doi : 10.1007 / 978-0-387-92714-5_15 , ISBN 978-0-387-92713-8, MR  3077226.
• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54325-8, MR  0730208.
• Barvinok, Alexander (2002), Un curso de convexidad , Providence: American Mathematical Soc., ISBN 0821829688.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Poliedro dual" , MathWorld
• Weisstein, Eric W. , "teselación dual" , MathWorld
• Weisstein, Eric W. , "Poliedro auto-dual" , MathWorld