En geometría algebraica, el haz de dualización en un esquema adecuado X de dimensión n sobre un campo k es un haz coherente junto con un funcional lineal
que induce un isomorfismo natural de espacios vectoriales
para cada haz coherente F en X (el superíndice * se refiere a un espacio vectorial dual ). [1] El funcional linealse llama un morfismo de trazas .
Un par , si existe, es único hasta un isomorfismo natural. De hecho, en el lenguaje de la teoría de categorías ,es un objeto que representa el functor contravariantede la categoría de poleas coherentes en X a la categoría de k -espacios vectoriales.
Para una variedad proyectiva normal X , existe la gavilla dualizante y, de hecho, es la gavilla canónica : dónde es un divisor canónico . De manera más general, la gavilla dualizadora existe para cualquier esquema proyectivo.
Existe la siguiente variante del teorema de la dualidad de Serre : para un esquema proyectivo X de dimensión pura ny una gavilla F de Cohen-Macaulay en X tal quees de dimensión n pura , hay un isomorfismo natural [2]
- .
En particular, si X en sí mismo es un esquema Cohen-Macaulay , entonces la dualidad anterior es válida para cualquier gavilla localmente libre.
Gavilla de dualización relativa
Dado un morfismo de esquemas finitamente presentado adecuado , ( Kleiman 1980 ) define la gavilla de dualización relativa o como [3] la gavilla tal que para cada subconjunto abierto y una gavilla casi coherente en , hay un isomorfismo canónico
- ,
que es funcional en y viajes diarios con restricciones abiertas.
Ejemplo : [4] Sies un morfismo de intersección completo local entre esquemas de tipo finito sobre un campo, luego (por definición) cada punto de tiene un vecindario abierto y una factorización , una incorporación regular de codimensionseguido de un morfismo suave de dimensión relativa. Luego
dónde es el haz de diferenciales relativos de Kähler yes el paquete normal para.
Ejemplos de
Gavilla de dualización de una curva nodal
Para una curva C suave , su gavilla dualizadorapuede ser dado por la gavilla canónica .
Para una curva nodal C con un nodo p , podemos considerar la normalizacióncon dos puntos x , y identificados. Dejar ser el haz de formas 1 racionales en con posibles polos simples en X e Y , y dejarser el subsheaf que consiste en racionales 1-formas con la suma de los residuos en x y y igual a cero. Entonces la imagen directadefine una gavilla dualización para la curva nodal C . La construcción se puede generalizar fácilmente a curvas nodales con múltiples nodos.
Esto se utiliza en la construcción del haz de Hodge en el espacio de curvas de módulos compactados : nos permite extender la gavilla canónica relativa sobre el límite que parametriza las curvas nodales. El haz de Hodge se define entonces como la imagen directa de un haz de relativa dualización.
Gavilla dualizadora de esquemas proyectivos
Como se mencionó anteriormente, el haz de dualización existe para todos los esquemas proyectivos. Para X un subesquema cerrado de P n de codimensión r , su haz de dualización se puede dar como. En otras palabras, se utiliza la gavilla dualización en el ambiente P n para la construcción de la gavilla dualización en X . [5]
Ver también
Referencias
- ^ Hartshorne , cap. III, párrafo 7.
- ↑ Kollár – Mori , Teorema 5.71.
- ↑ Kleiman 1980 , Definición 6
- ^ Arbarello – Cornalba – Griffiths 2011 , cap. X., cerca del final del § 2.
- ^ Hartshorne , cap. III, párrafo 7.
- E. Arbarello, M. Cornalba y PA Griffiths, Geometría de curvas algebraicas. Vol. II, con una contribución de Joseph Daniel Harris, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 268, Springer, Heidelberg, 2011. MR-2807457
- Kleiman, Steven L. Dualidad relativa para haces cuasicoherentes. Compositio Math. 41 (1980), núm. 1, 39–60.
- Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, 134 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63277-5, MR 1658959
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157