En matemáticas, la dualidad coherente es cualquiera de una serie de generalizaciones de la dualidad de Serre , que se aplican a haces coherentes , en geometría algebraica y teoría de variedades complejas , así como algunos aspectos del álgebra conmutativa que son parte de la teoría 'local'.
Las raíces históricas de la teoría se encuentran en la idea del sistema lineal adjunto de un sistema lineal de divisores en la geometría algebraica clásica. Esto se reexpresó, con el advenimiento de la teoría de la gavilla , de una manera que hizo más evidente una analogía con la dualidad de Poincaré . Luego, según un principio general, el punto de vista relativo de Grothendieck , la teoría de Jean-Pierre Serre se amplió a un morfismo adecuado ; La dualidad de Serre se recuperó como el caso del morfismo de una variedad proyectiva no singular (o variedad completa ) hasta cierto punto. La teoría resultante ahora a veces se llamaDualidad Serre-Grothendieck-Verdier , y es una herramienta básica en geometría algebraica. Un tratamiento de esta teoría, Residues and Duality (1966) de Robin Hartshorne , se convirtió en un referente. Un producto derivado del hormigón fue el residuo de Grothendieck .
Ir más allá de los morfismos propios, como para las versiones de la dualidad de Poincaré que no son para colectores cerrados , requiere alguna versión del concepto de soporte compacto . Esto se abordó en SGA2 en términos de cohomología local y dualidad local de Grothendieck ; y posteriormente. La dualidad Greenlees-May , formulada por primera vez en 1976 por Ralf Strebel y en 1978 por Eben Matlis , es parte de la consideración continua de esta área.
Punto de vista del functor adjunto
Mientras que la dualidad de Serre usa un haz de líneas o un haz invertible como un haz de dualización , la teoría general (resulta) no puede ser tan simple. (Más precisamente, puede, pero a costa de imponer la condición de anillo de Gorenstein ). En un giro característico, Grothendieck reformuló la dualidad coherente general como la existencia de un functor adjunto derecho, llamado functor de imagen inverso retorcido o excepcional , a una imagen directa superior con functor de soporte compacto.
Las imágenes directas superiores son una forma de gavilla de cohomología en este caso con un soporte adecuado (compacto); se agrupan en un solo funtor por medio de la formulación de categoría derivada del álgebra homológica (introducida con este caso en mente). Si es apropiado, entonces es un adjunto a la derecha del functor de imagen inverso. El teorema de existencia para la imagen inversa retorcida es el nombre que se le da a la prueba de la existencia de lo que sería el recuento de la comónada de la adjunción buscada, es decir, una transformación natural.
- ,
que se denota por (Hartshorne) o (Verdier). Es el aspecto de la teoría más cercano al significado clásico, como sugiere la notación, que la dualidad se define por integración.
Ser más preciso, existe como un funtor exacto de una categoría derivada de haces cuasi coherentes en, a la categoría análoga en , cuando sea
es un morfismo propio o cuasi proyectivo de esquemas noetherianos, de dimensión finita de Krull . [1] De esto se puede derivar el resto de la teoría: los complejos dualizantes retroceden a través de, el símbolo del residuo de Grothendieck , el haz de dualización en el caso Cohen-Macaulay .
Para obtener un enunciado en un lenguaje más clásico, pero aún más amplio que la dualidad de Serre, Hartshorne ( Geometría algebraica ) usa el functor Ext de gavillas ; esta es una especie de trampolín hacia la categoría derivada.
La declaración clásica de la dualidad de Grothendieck para un morfismo proyectivo o propio de esquemas noetherianos de dimensión finita, encontrados en Hartshorne ( Residuos y dualidad ) es el siguiente cuasi-isomorfismo
por un complejo por encima delimitado de -módulos con cohomología cuasi coherente y un complejo por debajo delimitado de -Módulos con cohomología coherente. Aquí elSon haces de homomorfismos.
Construcción del pseudofunctor que utiliza complejos dualizantes rígidos
A lo largo de los años, varios enfoques para construir el emergió el pseudofunctor. Un enfoque exitoso bastante reciente se basa en la noción de un complejo dualizador rígido. Esta noción fue definida por primera vez por Van den Bergh en un contexto no conmutativo. [2] La construcción se basa en una variante de la cohomología de Hochschild derivada (cohomología de Shukla): ser un anillo conmutativo, y dejar ser un conmutativo álgebra. Hay un functor que toma un complejo cochain a un objeto en la categoría derivada sobre . [3] [4]
Asumiendo es noetheriano, un rígido complejo dualizador sobre relativo a es por definición un par dónde es un complejo de dualización sobre que tiene una dimensión plana finita sobre , y donde es un isomorfismo en la categoría derivada . Si existe un complejo dualizante tan rígido, entonces es único en un sentido fuerte. [5]
Asumiendo es una localización de tipo finito-álgebra, existencia de un rígido complejo de dualización sobre relativo a fue probado por primera vez por Yekutieli y Zhang [6] asumiendoes un anillo noetheriano regular de dimensión finita de Krull, y por Avramov , Iyengar y Lipman [7] asumiendoes un anillo de Gorenstein de dimensión finita de Krull y es de dimensión plana finita sobre .
Si es un esquema de tipo finito sobre , se pueden pegar los rígidos complejos dualizantes que tienen sus piezas afines, [8] [9] y obtener un rígido complejo dualizante. Una vez que se establece una existencia global de un rígido complejo dualizante, dado un mapa de esquemas sobre , uno puede definir , donde para un esquema , establecimos .
Ejemplos complejos de dualización
Complejo dualizante para una variedad proyectiva
El complejo dualizante para una variedad proyectiva está dado por el complejo
[10]
Plano que interseca una línea
Considere la variedad proyectiva
Podemos calcular usando una resolución por gavillas libres localmente. Esto viene dado por el complejo
Desde tenemos eso
Este es el complejo
Ver también
- Dualidad Verdier
Notas
- ↑ Verdier 1969 , Amnon Neeman encontró un enfoque elegante y más general, utilizando métodos de topología algebraica, en particular la representabilidad de Brown , ver Neeman 1996
- ↑ van den Bergh, Michel (septiembre de 1997). "Teoremas de existencia para complejos de dualización sobre anillos filtrados y graduados no conmutativos" . Revista de álgebra . 195 (2): 662–679. doi : 10.1006 / jabr.1997.7052 .
- ^ Yekutieli, Amnon (2014). "La operación de cuadratura para anillos DG conmutativos". arXiv : 1412.4229 [ math.KT ].
- ^ Avramov, Luchezar L .; Iyengar, Srikanth B .; Lipman, Joseph; Nayak, Suresh (enero de 2010). "Reducción de functores de Hochschild derivados sobre esquemas y álgebras conmutativas" . Avances en Matemáticas . 223 (2): 735–772. arXiv : 0904.4004 . doi : 10.1016 / j.aim.2009.09.002 . S2CID 15218584 .
- ^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 de mayo de 2008). "Complejos de dualización rígidos sobre anillos conmutativos". Álgebras y teoría de la representación . 12 (1): 19–52. arXiv : matemáticas / 0601654 . doi : 10.1007 / s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
- ^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (31 de mayo de 2008). "Complejos de dualización rígidos sobre anillos conmutativos". Álgebras y teoría de la representación . 12 (1): 19–52. arXiv : matemáticas / 0601654 . doi : 10.1007 / s10468-008-9102-9 . S2CID 13597155 .
- ^ Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (14 de enero de 2010). "Reflexividad y rigidez para complejos, I: Anillos conmutativos". Álgebra y teoría de números . 4 (1): 47–86. arXiv : 0904.4695 . doi : 10.2140 / ant.2010.4.47 . S2CID 18255441 .
- ^ Yekutieli, Amnon; Zhang, James J. (2004). "Rígidos complejos dualizantes sobre esquemas". arXiv : matemáticas / 0405570 .
- ^ Avramov, Luchezar; Iyengar, Srikanth; Lipman, Joseph (10 de septiembre de 2011). "Reflexividad y rigidez para complejos, II: Esquemas". Álgebra y teoría de números . 5 (3): 379–429. arXiv : 1001,3450 . doi : 10.2140 / ant.2011.5.379 . S2CID 21639634 .
- ^ Kovacs, Sandor. "Singularidades de variedades estables" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de agosto de 2017.
Referencias
- Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Derived functors of I -adic complete and local homology", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453, doi : 10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I , ISSN 0021-8693 , MR 1172439
- Hartshorne, Robin (1966), Residues and Duality , Lecture Notes in Mathematics 20 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 20–48
- Neeman, Amnon (1996), "El teorema de la dualidad de Grothendieck mediante las técnicas de Bousfield y la representabilidad de Brown", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205-236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1308405
- Verdier, Jean-Louis (1969), "Cambio de base para una imagen inversa retorcida de gavillas coherentes", Geometría algebraica (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , págs. 393– 408, MR 0274464
- Hopkins, Glenn, Un enfoque algebraico del símbolo de residuos de Grothendieck (PDF)