Conjunto de duoprismas pq uniformes | |
Tipo | 4 politopos uniformes prismáticos |
Símbolo de Schläfli | {p} × {q} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | p q prismas gonales , q prismas p-gonales |
Caras | pq cuadrados , p q-gons, q p-gons |
Bordes | 2pq |
Vértices | pq |
Figura de vértice | disphenoid |
Simetría | [p, 2, q], orden 4pq |
Doble | pq duopyramid |
Propiedades | convexo , vértice uniforme |
Conjunto de duoprismas pp uniformes | |
Tipo | Prismático uniforme de 4 politopos |
Símbolo de Schläfli | {p} × {p} |
Diagrama de Coxeter-Dynkin | |
Células | Prismas p-gonales 2p |
Caras | p 2 cuadrados , 2p p-gons |
Bordes | 2p 2 |
Vértices | p 2 |
Simetría | [[p, 2, p]] = [2p, 2 + , 2p], orden 8p 2 |
Doble | pp duopyramid |
Propiedades | convexo , vértice uniforme , faceta transitiva |
En geometría de 4 dimensiones o más, un duoprisma es un politopo resultante del producto cartesiano de dos politopos, cada uno de dos dimensiones o más. El producto cartesiano de un n -polytope y un m -polytope es un ( n + m -polytope), donde n y m son 2 ( polígono ) o superior.
Los duoprismas de menor dimensión existen en el espacio de 4 dimensiones como 4-politopos que son el producto cartesiano de dos polígonos en el espacio euclidiano de 2 dimensiones . Más precisamente, es el conjunto de puntos:
donde P 1 y P 2 son los conjuntos de los puntos contenidos en los respectivos polígonos. Dicho duoprisma es convexo si ambas bases son convexas y está delimitado por células prismáticas .
Nomenclatura
Los duoprismas de cuatro dimensiones se consideran 4 politopos prismáticos. Un duoprisma construido a partir de dos polígonos regulares de la misma longitud de borde es un duoprisma uniforme .
Un duoprisma hecho de n -polígonos y m -polígonos se nombra prefijando 'duoprisma' con los nombres de los polígonos base, por ejemplo: un duoprisma triangular-pentagonal es el producto cartesiano de un triángulo y un pentágono.
Una forma alternativa y más concisa de especificar un duoprisma particular es prefijar números que denoten los polígonos base, por ejemplo: 3,5-duoprisma para el duoprisma triangular-pentagonal.
Otros nombres alternativos:
- prisma q -gonal- p -gonal
- q -gonal- p -gonal doble prisma
- q -gonal- p- hiperprisma diagonal
El término duoprisma fue acuñado por George Olshevsky, abreviado de doble prisma . John Horton Conway propuso un nombre similar proprism para prisma producto , un producto cartesiano de dos o más politopos de dimensión al menos dos. Los duoprismas son proprismas formados exactamente por dos politopos.
Ejemplo 16-16 duoprisma
Diagrama de Schlegel Se muestra la proyección desde el centro de un prisma de 16 gonales y todos menos uno de los prismas de 16 gonales opuestos. | neto Se muestran los dos conjuntos de prismas de 16 gonales. Las caras superior e inferior del cilindro vertical están conectadas cuando se pliegan juntas en 4D. |
Geometría de duoprismas de 4 dimensiones
Un duoprisma uniforme de 4 dimensiones se crea mediante el producto de un polígono regular de n lados y un polígono regular de m lados con la misma longitud de borde. Está delimitado por n prismas m -gonales y m n -prismas -gonales. Por ejemplo, el producto cartesiano de un triángulo y un hexágono es un duoprisma delimitado por 6 prismas triangulares y 3 prismas hexagonales.
- Cuando m y n son idénticos, el duoprism resultante está limitada por 2 n idénticos n prismas -gonal. Por ejemplo, el producto cartesiano de dos triángulos es un duoprisma delimitado por 6 prismas triangulares.
- Cuando m y n son idénticamente 4, la duoprism resultante está limitada por 8 prismas cuadrados ( cubos ), y es idéntica a la tesseract .
Los prismas m -gonales se unen entre sí a través de sus caras m -gonales y forman un bucle cerrado. De manera similar, los prismas n -gonales están unidos entre sí a través de sus n -caras gonales y forman un segundo bucle perpendicular al primero. Estos dos bucles están unidos entre sí a través de sus caras cuadradas y son mutuamente perpendiculares.
Como m y n enfoque infinito, las duoprisms correspondientes se acercan a la duocilindro . Como tal, duoprisms son útiles como no cuadráticas aproximaciones de la duocilindro.
Redes
3-3 | 4-4 | 5-5 | 6-6 | 8-8 | 10-10 |
3-4 | 3-5 | 3-6 | 4-5 | 4-6 | 3-8 |
Proyecciones de perspectiva
Una proyección en perspectiva centrada en una celda hace que un duoprisma parezca un toro , con dos conjuntos de celdas ortogonales, prismas p-gonal y q-gonal.
6 prismas | 6-6 duoprisma |
---|---|
Un prisma hexagonal , proyectado en el plano por perspectiva, centrado en una cara hexagonal, parece un doble hexágono conectado por cuadrados (distorsionados) . De manera similar, un duoprisma 6-6 proyectado en 3D se aproxima a un toro , hexagonal tanto en planta como en sección. |
Los duoprismas pq son idénticos a los duoprismas qp, pero se ven diferentes en estas proyecciones porque se proyectan en el centro de diferentes células.
3-3 | 3-4 | 3-5 | 3-6 | 3-7 | 3-8 |
4-3 | 4-4 | 4-5 | 4-6 | 4-7 | 4-8 |
5-3 | 5-4 | 5-5 | 5-6 | 5-7 | 5-8 |
6-3 | 6-4 | 6-5 | 6-6 | 6-7 | 6-8 |
7-3 | 7-4 | 7-5 | 7-6 | 7-7 | 7-8 |
8-3 | 8-4 | 8-5 | 8-6 | 8-7 | 8-8 |
Proyecciones ortogonales
Las proyecciones ortogonales centradas en el vértice de los duoprismas pp se proyectan en la simetría [2n] para grados impares y [n] para grados pares. Hay n vértices proyectados en el centro. Para 4,4, representa el plano A 3 Coxeter del tesseract . La proyección 5,5 es idéntica al triacontaedro rómbico 3D .
Impar | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
3-3 | 5-5 | 7-7 | 9-9 | ||||
[3] | [6] | [5] | [10] | [7] | [14] | [9] | [18] |
Incluso | |||||||
4-4 (tesseract) | 6-6 | 8-8 | 10-10 | ||||
[4] | [8] | [6] | [12] | [8] | [dieciséis] | [10] | [20] |
Politopos relacionados
El poliedro de sesgo regular , {4,4 | n}, existe en 4 espacios como las n 2 caras cuadradas de un nn duoprisma , usando todas las 2n 2 aristas y n 2 vértices. El 2 n n caras -gonal pueden ser vistos como eliminado. (Los poliedros sesgados se pueden ver de la misma manera mediante un duoprisma nm, pero estos no son regulares ).
Duoantiprism
Al igual que los antiprismas como prismas alternos , existe un conjunto de duoantiprismas de 4 dimensiones: 4 politopos que se pueden crear mediante una operación de alternancia aplicada a un duoprisma. Los vértices alternos crean celdas tetraédricas no regulares, excepto en el caso especial, el duoprisma 4-4 ( tesseract ) que crea las 16 celdas uniformes (y regulares) . El de 16 celdas es el único duoantiprisma uniforme convexo.
Los duoprismas , t 0,1,2,3 {p, 2, q}, se puede alternar en, ht 0,1,2,3 {p, 2, q}, los "duoantiprismas", que no pueden uniformarse en general. La única solución uniforme convexa es el caso trivial de p = q = 2, que es una construcción de simetría más baja del tesseract , t 0,1,2,3 {2,2,2}, con su alternancia como 16 celdas ,, s {2} s {2}.
La única solución uniforme no convexa es p = 5, q = 5/3 , ht 0,1,2,3 {5,2,5 / 3},, construido a partir de 10 antiprismas pentagonales , 10 antiprismas cruzados pentagrammicos y 50 tetraedros, conocido como el gran duoantiprisma (gudap). [1] [2]
Ditetragoltriados
También están relacionados los ditetragoltriates u octagoltriates, formados tomando el octágono (considerado un ditetragon o un cuadrado truncado) a un p-gon. El octágono de un p-gon se puede definir claramente si se supone que el octágono es el casco convexo de dos rectángulos perpendiculares ; entonces el ditetragoltriado p-gonal es el casco convexo de dos duoprismas pp (donde los p-gons son similares pero no congruentes, tienen diferentes tamaños) en orientaciones perpendiculares. El policoron resultante es isogonal y tiene prismas p-gonales 2p y trapezoprismas rectangulares p 2 (un cubo con simetría D 2d ) pero no puede uniformarse. La figura del vértice es una bipirámide triangular .
Antiprismoides dobles
Al igual que los duoantiprismas como duoprismas alternos, existe un conjunto de antiprismoides dobles p-gonales creados alternando los ditetragoltriados 2p-gonales, creando antiprismas y tetraedros p-gonales mientras se reinterpretan los espacios bipiramidales triangulares no coreálmicos como dos tetraedros. La figura resultante generalmente no es uniforme excepto en dos casos: el gran antiprisma y su conjugado, el doble antiprismoide pentagrammico (con p = 5 y 5/3 respectivamente), representado como la alternancia de un ditetragoltriado decagonal o decagrammico. La figura del vértice es una variante de la esfenocorona .
politopos k_22
El duoprisma 3-3 , -1 22 , es el primero en una serie dimensional de politopos uniformes, expresada por Coxeter como serie k 22 . El duoprisma 3-3 es la figura del vértice del segundo, el 5-simplex birectificado . La cuarta figura es un panal euclidiano, 2 22 , y la final es un panal hiperbólico paracompacto, 3 22 , con el grupo Coxeter [3 2,2,3 ],. Cada politopo uniforme progresivo se construye a partir del anterior como su figura de vértice .
Espacio | Finito | Euclidiana | Hiperbólico | ||
---|---|---|---|---|---|
norte | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Grupo Coxeter | A 2 A 2 | E 6 | = E 6 + | = E 6 ++ | |
Diagrama de Coxeter | |||||
Simetría | [[3 2,2, -1 ]] | [[3 2,2,0 ]] | [[3 2,2,1 ]] | [[3 2,2,2 ]] | [[3 2,2,3 ]] |
Pedido | 72 | 1440 | 103.680 | ∞ | |
Grafico | ∞ | ∞ | |||
Nombre | −1 22 | 0 22 | 1 22 | 2 22 | 3 22 |
Ver también
- Politopo y 4-politopo
- 4 politopos regulares convexos
- Duocilindro
- Tesseract
Notas
- ^ Jonathan Bowers - Policora uniforme misceláneo 965. Gudap
- ^ http://www.polychora.com/12GudapsMovie.gif Animación de secciones transversales
Referencias
- Politopos regulares , HSM Coxeter , Dover Publications, Inc., 1973, Nueva York, p. 124.
- Coxeter , The Beauty of Geometry: Twelve Essays , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Capítulo 5: Poliedros oblicuos regulares en tres y cuatro dimensiones y sus análogos topológicos)
- Coxeter, poliedros oblicuos regulares HSM en tres y cuatro dimensiones. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
- Explicación simple de la cuarta dimensión , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, Nueva York. Disponible en la biblioteca de la Universidad de Virginia. También disponible en línea: Explicación simple de la cuarta dimensión: contiene una descripción de los duoprismas (prismas dobles) y los duocilindros (cilindros dobles). Googlebook
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966