{3,3,3} | {3,3,4} | {4,3,3} |
---|---|---|
Pentatope de 5 celdas 4- simplex | Orthoplex de 16 celdas 4- ortoplex | Tesseract de 8 celdas 4- cubo |
{3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
Octaplex de 24 celdas | Dodecaplex de 120 celdas | Tetraplex de 600 celdas |
En geometría , un politopo 4 (a veces también llamado policoron , [1] policélula o poliedro ) es un politopo de cuatro dimensiones . [2] [3] Es una figura conectada y cerrada, compuesta por elementos politopales de menor dimensión: vértices , aristas , caras ( polígonos ) y celdas ( poliedros ). Cada rostro es compartido exactamente por dos celdas.
El análogo bidimensional de un politopo 4 es un polígono y el análogo tridimensional es un poliedro .
Topológicamente, los 4-politopos están estrechamente relacionados con los panales uniformes , como el panal cúbico , que forma un mosaico de 3 espacios; de manera similar, el cubo 3D está relacionado con el mosaico cuadrado 2D infinito . Los 4 politopos convexos se pueden cortar y desplegar como redes en 3 espacios.
Definición
Un politopo 4 es una figura de cuatro dimensiones cerrada . Comprende vértices (puntos de esquina), aristas , caras y celdas . Una celda es el análogo tridimensional de una cara y, por lo tanto, es un poliedro . Cada cara debe unir exactamente dos celdas, de manera análoga a la forma en que cada borde de un poliedro une solo dos caras. Como cualquier politopo, los elementos de un 4-politopo no se pueden subdividir en dos o más conjuntos que también son 4-politopos, es decir, no es un compuesto.
El 4-politopo más conocido es el tesseract o hipercubo, el análogo 4D del cubo.
Visualización
Seccionamiento | Neto | |
---|---|---|
Proyecciones | ||
Schlegel | 2D ortogonal | Ortogonal 3D |
Los 4-politopos no se pueden ver en el espacio tridimensional debido a su dimensión adicional. Se utilizan varias técnicas para ayudar a visualizarlos.
- Proyección ortogonal
Las proyecciones ortogonales se pueden utilizar para mostrar varias orientaciones de simetría de un politopo 4. Se pueden dibujar en 2D como gráficos de borde de vértice y se pueden mostrar en 3D con caras sólidas como envolventes proyectivas visibles .
- Proyección en perspectiva
Así como una forma 3D se puede proyectar en una hoja plana, una forma 4-D se puede proyectar en 3 espacios o incluso en una hoja plana. Una proyección común es un diagrama de Schlegel que utiliza la proyección estereográfica de puntos en la superficie de una esfera tridimensional en tres dimensiones, conectadas por bordes rectos, caras y celdas dibujadas en tres espacios.
- Seccionamiento
Así como un corte a través de un poliedro revela una superficie de corte, un corte a través de un politopo de 4 revela un corte "hipersuperficie" en tres dimensiones. Se puede utilizar una secuencia de dichas secciones para comprender la forma general. La dimensión adicional se puede equiparar con el tiempo para producir una animación suave de estas secciones transversales.
- Redes
Una red de un politopo 4 está compuesta por celdas poliédricas que están conectadas por sus caras y todas ocupan el mismo espacio tridimensional, al igual que las caras poligonales de una red de un poliedro están conectadas por sus bordes y todas ocupan el mismo plano. .
Características topológicas
La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [4]
El valor de la característica de Euler utilizada para caracterizar los poliedros no se generaliza de manera útil a dimensiones superiores y es cero para todos los 4 politopos, cualquiera que sea su topología subyacente. Esta insuficiencia de la característica de Euler para distinguir de manera confiable entre diferentes topologías en dimensiones superiores llevó al descubrimiento de los números Betti más sofisticados. [4]
De manera similar, la noción de orientabilidad de un poliedro es insuficiente para caracterizar las torsiones superficiales de los 4-politopos toroidales, y esto llevó al uso de coeficientes de torsión. [4]
Clasificación
Criterios
Como todos los politopos, los 4-politopos pueden clasificarse basándose en propiedades como " convexidad " y " simetría ".
- Un 4-politopo es convexo si su límite (incluidas sus celdas, caras y bordes) no se interseca y el segmento de línea que une dos puntos cualesquiera del 4-politopo está contenido en el 4-politopo o su interior; de lo contrario, no es convexo . Los 4-politopos auto-intersectantes también se conocen como 4-politopos en estrella , por analogía con las formas en estrella de los polígonos en estrella no convexos y los poliedros de Kepler-Poinsot .
- Un politopo 4 es regular si es transitivo en sus banderas . Esto significa que todas sus celdas son poliedros regulares congruentes y, de manera similar, las figuras de sus vértices son congruentes y de otro tipo de poliedro regular.
- Un 4-politopo convexo es semi-regular si tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes ( vértice-transitivo ) y sus celdas son poliedros regulares . Las celdas pueden ser de dos o más tipos, siempre que tengan el mismo tipo de cara. Solo hay 3 casos identificados por Thorold Gosset en 1900: el rectificado de 5 celdas , el rectificado de 600 celdas y el desaire de 24 celdas .
- Un 4-politopo es uniforme si tiene un grupo de simetría bajo el cual todos los vértices son equivalentes y sus celdas son poliedros uniformes . Las caras de un 4 politopo uniforme deben ser regulares .
- Un 4-politopo es scaliforme si es transitivo al vértice y tiene todas las aristas de igual longitud. Esto permite celdas que no son uniformes, como los sólidos Johnson convexos de caras regulares .
- Un 4-politopo regular que también es convexo se dice que es un 4-politopo regular convexo .
- Un politopo 4 es prismático si es el producto cartesiano de dos o más politopos de menor dimensión. Un 4-politopo prismático es uniforme si sus factores son uniformes. El hipercubo es prismático (producto de dos cuadrados , o de un cubo y un segmento de línea ), pero se considera por separado porque tiene simetrías distintas de las heredadas de sus factores.
- Un mosaico o panal de tres espacios es la división del espacio euclidiano tridimensional en una cuadrícula repetitiva de celdas poliédricas. Tales mosaicos o teselados son infinitos y no unen un volumen "4D", y son ejemplos de 4 politopos infinitos. Un mosaico uniforme de 3 espacios es uno cuyos vértices son congruentes y están relacionados por un grupo espacial y cuyas celdas son poliedros uniformes .
Clases
A continuación se enumeran las diversas categorías de 4 politopos clasificados de acuerdo con los criterios anteriores:
Politopo uniforme 4 ( vértice-transitivo ):
- 4 politopos convexos uniformes (64, más dos familias infinitas)
- 47 4 politopos uniformes convexos no prismáticos que incluyen:
- 6 4 politopos regulares convexos
- 4 politopos uniformes prismáticos :
- {} × {p, q}: 18 hiperprismas poliédricos (incluido el hiperprisma cúbico, el hipercubo regular )
- Prismas construidos sobre antiprismas (familia infinita)
- {p} × {q}: duoprismas (familia infinita)
- 47 4 politopos uniformes convexos no prismáticos que incluyen:
- 4 politopos uniformes no convexos (10 + desconocido)
- 10 politopos de Schläfli-Hess (regulares)
- 57 hiperprismas construidos sobre poliedros uniformes no convexos
- Número total desconocido de 4 politopos uniformes no convexos: Norman Johnson y otros colaboradores han identificado 1849 casos conocidos (convexos y en estrella), todos construidos por figuras de vértices por el software Stella4D . [5]
Otros 4 politopos convexos :
- Pirámide poliédrica
- Prisma poliédrico
4 politopos uniformes infinitos de 3 espacios euclidianos (teselaciones uniformes de celdas uniformes convexas)
- 28 panales uniformes convexos: teselaciones poliédricas convexas uniformes, que incluyen:
- 1 mosaico regular, panal cúbico : {4,3,4}
4 politopos uniformes infinitos de 3 espacios hiperbólicos (teselaciones uniformes de células uniformes convexas)
- 76 panales uniformes convexos de Wythoff en el espacio hiperbólico , que incluyen:
- 4 teselación regular de 3 espacios hiperbólicos compactos : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
4 politopo uniforme dual ( transitivo de celda ):
- 41 4 politopos uniformes convexos dobles únicos
- 17 prismas poliédricos uniformes convexos dobles únicos
- familia infinita de duoprismas uniformes convexos duales (células tetraédricas irregulares)
- 27 panales uniformes dobles convexos únicos, que incluyen:
- Panal rombododecaédrico
- Nido de abeja tetraédrico disfenoide
Otros:
- Estructura de Weaire-Phelan en forma de panal que llena el espacio periódicamente con células irregulares
4 politopos regulares abstractos :
- 11 celdas
- 57 celdas
Estas categorías incluyen solo los 4 politopos que exhiben un alto grado de simetría. Son posibles muchos otros 4-politopos, pero no se han estudiado tan extensamente como los incluidos en estas categorías.
Ver también
- 4 politopos regulares
- La 3-esfera (o glome ) es otra figura comúnmente discutida que reside en un espacio de 4 dimensiones. Este no es un 4-politopo, ya que no está limitado por células poliédricas.
- El duocilindro es una figura en el espacio de 4 dimensiones relacionada con los duoprismas . Tampoco es un 4-politopo porque sus volúmenes delimitadores no son poliédricos.
Referencias
Notas
- ^ NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finita , 11.1 Politopos y panales , p.224
- ^ Vialar, T. (2009). Dinámica no lineal compleja y caótica: avances en economía y finanzas . Saltador. pag. 674. ISBN 978-3-540-85977-2.
- ^ Capecchi, V .; Contucci, P .; Buscema, M .; D'Amore, B. (2010). Aplicaciones de las matemáticas en modelos, redes neuronales artificiales y artes . Saltador. pag. 598. doi : 10.1007 / 978-90-481-8581-8 . ISBN 978-90-481-8580-1.
- ↑ a b c Richeson, D .; La gema de Euler: la fórmula del poliedro y el nacimiento de la topoplogía , Princeton, 2008.
- ^ Polychora uniforme , Norman W. Johnson (Wheaton College), 1845 casos en 2005
Bibliografía
- HSM Coxeter :
- HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins y JCP Miller : Poliedros uniformes , Transacciones filosóficas de la Royal Society of London, Londne, 1954
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3.a edición, Dover Nueva York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- JH Conway y MJT Guy : Politopos de Arquímedes en cuatro dimensiones , Actas del coloquio sobre convexidad en Copenhague, páginas 38 y 39, 1965
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- Politopos de Arquímedes tetradimensionales (alemán), Marco Möller, tesis doctoral de 2004 [2]
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polychoron" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Fórmula poliédrica" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Características de Euler policorón regular" . MathWorld .
- Página de figuras de cuatro dimensiones , George Olshevsky.
- Olshevsky, George. "Polychoron" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
- Polychora uniforme , Jonathan Bowers
- Visor de policorones uniformes - Applet Java3D con fuentes
- Dr. R. Klitzing, polychora
Familia | A n | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Polígono regular | Triángulo | Cuadrado | p-gon | Hexágono | Pentágono | |||||||
Poliedro uniforme | Tetraedro | Octaedro • Cubo | Demicubo | Dodecaedro • Icosaedro | ||||||||
Politopo uniforme 4 | 5 celdas | 16 celdas • Tesseract | Demitesseract | 24 celdas | 120 celdas • 600 celdas | |||||||
5 politopos uniformes | 5-simplex | 5 ortoplex • 5 cubos | 5-demicubo | |||||||||
6 politopos uniformes | 6-simplex | 6 ortoplex • 6 cubos | 6-demicubo | 1 22 • 2 21 | ||||||||
7 politopos uniformes | 7-simplex | 7-ortoplex • 7-cubo | 7-demicubo | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Politopo uniforme de 8 | 8 simplex | 8 ortoplex • 8 cubos | 8-demicubo | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
9 politopos uniformes | 9 simplex | 9-ortoplex • 9-cubo | 9-demicubo | |||||||||
Politopo uniforme 10 | 10-simplex | 10-ortoplex • 10-cubo | 10-demicubo | |||||||||
Uniforme n - politopo | n - simplex | n - ortoplex • n - cubo | n - demicube | 1 k2 • 2 k1 • k 21 | n - politopo pentagonal | |||||||
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