La escala dinámica (a veces conocida como escala Family-Vicsek [1] [2] ) es una prueba de fuego que muestra si un sistema en evolución exhibe auto-similitud . En general, se dice que una función exhibe escalado dinámico si satisface:
Aquí el exponente está fijado por el requisito dimensional . El valor numérico de debe permanecer invariante a pesar de la unidad de medida de se cambia por algún factor ya que es una cantidad adimensional.
Muchos de estos sistemas evolucionan de manera auto-similar en el sentido de que los datos obtenidos de la instantánea en cualquier momento fijo son similares a los datos respectivos tomados de la instantánea de cualquier momento anterior o posterior. Es decir, el sistema es similar a sí mismo en diferentes momentos. La prueba de fuego de tal auto-semejanza es proporcionada por la escala dinámica.
Historia
Tamás Vicsek y Fereydoon Family propusieron por primera vez la idea de escalado dinámico en el contexto de agregación limitada por difusión ( DLA ) de conglomerados en dos dimensiones. [2] La forma de su propuesta de escalamiento dinámico fue:
Prueba de escalado dinámico
En tales sistemas podemos definir una determinada variable estocástica dependiente del tiempo . Estamos interesados en calcular la distribución de probabilidad de en varios instantes de tiempo es decir . El valor numérico de y el valor típico o medio de generalmente cambia con el tiempo. La pregunta es: ¿qué sucede con las correspondientes variables adimensionales? Si los valores numéricos de las cantidades dimensionales cambian, pero las cantidades adimensionales correspondientes permanecen invariantes, entonces podemos argumentar que las instantáneas del sistema en diferentes momentos son similares. Cuando esto sucede, decimos que el sistema es auto-similar.
Una forma de verificar el escalado dinámico es trazar variables adimensionales como una función de de los datos extraídos en varios momentos diferentes. Entonces, si todas las parcelas de vs obtenidos en diferentes momentos colapsan en una sola curva universal, entonces se dice que los sistemas en diferentes momentos son similares y obedecen a escalado dinámico. La idea del colapso de datos está profundamente arraigada en el teorema de Buckingham Pi . [3] Esencialmente, estos sistemas pueden denominarse auto-similitud temporal, ya que el mismo sistema es similar en diferentes momentos.
Ejemplos de
Muchos fenómenos investigados por los físicos no son estáticos, sino que evolucionan probabilísticamente con el tiempo (es decir, proceso estocástico ). El universo en sí es quizás uno de los mejores ejemplos. Se ha estado expandiendo desde el Big Bang . Del mismo modo, el crecimiento de redes como Internet también son sistemas en constante crecimiento. Otro ejemplo es la degradación del polímero [4], en la que la degradación no se produce en un abrir y cerrar de ojos, sino durante bastante tiempo. La propagación de virus biológicos e informáticos tampoco ocurre de la noche a la mañana.
Muchos otros sistemas aparentemente dispares que presentan una escala dinámica. Por ejemplo:
- cinética de agregación descrita por la ecuación de coagulación de Smoluchowski , [5] [6] [7] [8] [9]
- redes complejas descritas por el modelo de Barabasi-Albert , [10]
- el conjunto de Cantor cinético y estocástico , [11]
- el modelo de crecimiento dentro de la clase de universalidad Kardar-Parisi-Zhang (KPZ); uno encuentra que el ancho de la superficieexhibe escalado dinámico. [12] [13]
- la distribución del tamaño del área de los bloques de celosía estocástica plana ponderada (WPSL) también exhibe escalamiento dinámico. [ cita requerida ]
Referencias
- ^ Familia, F .; Vicsek, T. (1985). "Escalado de la zona activa en el proceso Edén sobre redes de percolación y el modelo de deposición balística". Revista de Física A: Matemática y General . 18 (2): L75 – L81. Código bibliográfico : 1985JPhA ... 18L..75F . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 18/2/005 .
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