En matemáticas , el argumento Eckmann-Hilton (o principio Eckmann-Hilton o teorema Eckmann-Hilton ) es un argumento sobre dos magma unital estructuras en un conjunto donde uno es un homomorfismo para el otro. Dado esto, se puede demostrar que las estructuras coinciden y que el magma resultante es un monoide conmutativo . Esto puede usarse para probar la conmutatividad de los grupos de homotopía superior . El principio lleva el nombre de Beno Eckmann y Peter Hilton , quienes lo usaron en un artículo de 1962.
El resultado de Eckmann-Hilton
Dejar ser un conjunto equipado con dos operaciones binarias , que escribiremos y y supongamos:
- y son ambos unitales , lo que significa que hay elementos y de tal que y , para todos .
- para todos .
Luego y son iguales y de hecho conmutativas y asociativas.
Observaciones
Las operaciones y a menudo se les llama estructuras monoides o multiplicaciones, pero esto sugiere que se asume que son asociativas, una propiedad que no se requiere para la demostración. De hecho, sigue la asociatividad. Asimismo, no tenemos que exigir que las dos operaciones tengan el mismo elemento neutral; esto es una consecuencia.
Prueba
Primero, observe que las unidades de las dos operaciones coinciden: .
Ahora deja . Luego. Esto establece que las dos operaciones coinciden y son conmutativas.
Para asociatividad, .
Prueba bidimensional
La prueba anterior también tiene una presentación "bidimensional" que ilustra mejor la aplicación a grupos de homotopía superiores . Para esta versión de la prueba, escribimos las dos operaciones como yuxtaposición vertical y horizontal, es decir, y . La propiedad de intercambio se puede expresar de la siguiente manera:
Para todos , , para que podamos escribir sin ambigüedad.
Dejar y ser las unidades de composición vertical y horizontal respectivamente. Luego, por lo que ambas unidades son iguales.
Ahora para todos , , por lo que la composición horizontal es la misma que la composición vertical y ambas operaciones son conmutativas.
Finalmente, para todos , , entonces la composición es asociativa.
Observaciones
Si las operaciones son asociativas, cada una define la estructura de un monoide en , y las condiciones anteriores son equivalentes a la condición más abstracta que es un homomorfismo monoide (o viceversa). Una forma aún más abstracta de enunciar el teorema es: sies un objeto monoide en la categoría de monoides , entonces es de hecho un monoide conmutativo.
Es importante que un argumento similar NO dé un resultado tan trivial en el caso de objetos monoide en las categorías de categorías pequeñas o de grupoides. En cambio, la noción de objeto de grupo en la categoría de groupoids resulta ser equivalente a la noción de módulo cruzado . Esto lleva a la idea de utilizar múltiples objetos grupoides en la teoría de la homotopía.
De manera más general, el argumento de Eckmann-Hilton es un caso especial del uso de la ley de intercambio en la teoría de categorías dobles y múltiples (estrictas). Una categoría doble (estricta) es un conjunto, o clase, equipado con dos estructuras de categoría, cada una de las cuales es un morfismo de la otra estructura. Si las composiciones en las estructuras de dos categorías están escritas entonces la ley de intercambio dice
siempre que se definan ambos lados. Para ver un ejemplo de su uso y un poco de discusión, consulte el documento de Higgins al que se hace referencia a continuación. La ley de intercambio implica que una categoría doble contiene una familia de monoides abelianos.
La historia en relación con los grupos de homotopía es interesante. Los trabajadores de la topología de principios del siglo XX eran conscientes de que el grupo fundamental no beliano era útil en geometría y análisis; que los grupos de homología abeliana podrían definirse en todas las dimensiones; y que para un espacio conectado, el primer grupo de homología fue el grupo fundamental hecho abeliano . De modo que había un deseo de generalizar el grupo fundamental no beliano a todas las dimensiones.
En 1932, Eduard Čech presentó un artículo sobre grupos de homotopía superior al Congreso Internacional de Matemáticas en Zürich. Sin embargo, Pavel Alexandroff y Heinz Hopf rápidamente demostraron que estos grupos eran abelianos para, y por estos motivos persuadió a Čech para que retirara su artículo, de modo que solo apareciera un pequeño párrafo en las Actas . Se dice que Witold Hurewicz asistió a esta conferencia, y su primer trabajo sobre grupos de homotopía superior apareció en 1935. [ cita requerida ] Por lo tanto, los sueños de los primeros topólogos se han considerado durante mucho tiempo un espejismo. [ cita requerida ]
Los grupos cúbicos de homotopía superior se construyen para espacios filtrados en el libro Topología algebraica nonabeliana citado a continuación, que desarrolla la topología algebraica básica, que incluye análogos superiores al teorema de Seifert-Van Kampen , sin utilizar homología singular o aproximación simplicial.
Referencias
- John Baez: principio de Eckmann-Hilton (semana 89)
- John Baez: principio de Eckmann-Hilton (semana 100)
- Eckmann, B .; Hilton, PJ (1962), "Estructuras grupales en categorías generales. I. Multiplicaciones y comultiplicaciones", Mathematische Annalen , 145 (3): 227–255, doi : 10.1007 / bf01451367 , MR 0136642.
- Hurewicz , W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, 38 , págs. 112-119, 521-528.
- Brown , R .; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011), Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, groupoides homotópicos cúbicos , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15 , p. 703, arXiv : matemáticas / 0407275 , MR 2841564.
- Higgins, PJ (2005), "Elementos delgados y capas conmutativas en categorías $ \ omega $ cúbicas" , Teoría y aplicación de categorías , 14 : 60–74, MR 2122826.
- James, IM (1999), Historia de la topología , Holanda del Norte
- Murray Bremner y Sara Madariaga. (2014) Permutación de elementos en semigrupos dobles