En matemáticas , y especialmente en teoría de homotopía , un módulo cruzado está formado por los grupos G y H , donde G actúa sobre H por automorfismos (que escribiremos a la izquierda,, y un homomorfismo de grupos
que es equivariante con respecto a la acción de conjugación de G sobre sí mismo:
y también satisface la llamada identidad de Peiffer :
Origen
La primera mención de la segunda identidad para un módulo cruzado parece estar en la nota al pie 25 de la p. 422 del artículo de 1941 de JHC Whitehead que se cita a continuación, mientras que el término "módulo cruzado" se introduce en su artículo de 1946 que se cita a continuación. Estas ideas fueron bien elaboradas en su artículo de 1949 'Homotopía combinatoria II', que también introdujo la importante idea de un módulo cruzado libre. Las ideas de Whitehead sobre módulos cruzados y sus aplicaciones se desarrollan y explican en el libro de Brown, Higgins, Sivera que se enumera a continuación. Algunas generalizaciones de la idea de módulo cruzado se explican en el artículo de Janelidze.
Ejemplos de
Deje que N sea un subgrupo normal de un grupo G . Entonces, la inclusión
es un módulo cruzado con la acción de la conjugación de G en N .
Para cualquier grupo G , los módulos sobre el anillo de grupo son módulos G cruzados con d = 0.
Para cualquier grupo H , el homomorfismo de H a Aut ( H ) enviando cualquier elemento de H al correspondiente automorfismo interno es un módulo cruzado.
Dada cualquier extensión central de grupos
el homomorfismo sobreyectivo
junto con la acción de G sobre H define un módulo cruzado. Por lo tanto, las extensiones centrales pueden verse como módulos cruzados especiales. Por el contrario, un módulo cruzado con un límite sobreyectivo define una extensión central.
Si ( X , A , x ) es un par puntiagudo de espacios topológicos (es decir, A es un subespacio de X, y x es un punto en A ), entonces el límite homotopy
del segundo grupo de homotopía relativa al grupo fundamental , se le puede dar la estructura de módulo cruzado. El functor
satisface una forma del teorema de van Kampen , en el sentido de que conserva ciertos límites.
El resultado en el módulo cruzado de un par también se puede expresar como: si
es una fibración puntiaguda de espacios, entonces el mapa inducido de grupos fundamentales
Se le puede dar la estructura de módulo cruzado. Este ejemplo es útil en la teoría K algebraica . Existen versiones de dimensiones superiores de este hecho que utilizan n -cubos de espacios.
Estos ejemplos sugieren que los módulos cruzados pueden considerarse como "grupos bidimensionales". De hecho, esta idea se puede precisar utilizando la teoría de categorías . Se puede demostrar que un módulo cruzado es esencialmente lo mismo que un grupo categórico o 2-grupo : es decir, un objeto de grupo en la categoría de categorías, o equivalentemente un objeto de categoría en la categoría de grupos. Esto significa que el concepto de módulo cruzado es una versión del resultado de combinar los conceptos de "grupo" y "categoría". Esta equivalencia es importante para versiones de grupos de dimensiones superiores.
Clasificando el espacio
Cualquier módulo cruzado
tiene un espacio de clasificación BM con la propiedad de que sus grupos de homotopía son Coker d, en dimensión 1, Ker d en dimensión 2 y 0 en dimensiones superiores a 2. Es posible describir las clases de homotopía de mapas de un complejo CW a BM . Esto permite probar que los 2 tipos de homotopía (puntiagudos, débiles) están completamente descritos por módulos cruzados.
enlaces externos
- J. Baez y A. Lauda, Álgebra de dimensiones superiores V: 2 grupos
- R. Brown, Groupoids y objetos cruzados en topología algebraica
- R. Brown, teoría de grupos de dimensiones superiores
- R. Brown, PJ Higgins, R. Sivera, topología algebraica no beliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupos de homotopía cúbica, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 páginas. (Agosto de 2011) .
- M. Forrester-Barker, Objetos de grupo y categorías internas
- Behrang Noohi, Notas sobre 2 grupos, 2 grupos y módulos cruzados
- módulos cruzados en el nlab
Referencias
- Whitehead, JHC, Sobre la adición de relaciones a los grupos de homotopía, Ann. de Matemáticas. (2) 42 (1941) 409–428.
- Whitehead, JHC, Nota sobre un artículo anterior titulado "Sobre la adición de relaciones a grupos de homotopía", Ann. de Matemáticas. (2) 47 (1946) 806–810.
- Whitehead, JHC, homotopía combinatoria. II, Bull. Amer. Matemáticas. Soc. 55 (1949) 453–496.
- Janelidze, G. Módulos internos cruzados. Matemáticas georgianas. J. 10 (2003), núm. 1, 99-114.