En el análisis convexo , una rama de las matemáticas, el dominio efectivo es una extensión del dominio de una función definida para funciones que toman valores en la recta numérica real extendida.
En el análisis convexo y el análisis variacional , normalmente se busca un punto en el que se minimiza alguna función extendida de valor real , donde dicho punto se denomina punto mínimo global . El dominio efectivo de esta función se define como el conjunto de todos los puntos en el dominio de esta función en los que su valor no es igual a[1] donde el dominio efectivo se define de esta manera porque son solo estos puntos los que tienen una posibilidad remota de ser un punto mínimo global. De hecho, es una práctica común en estos campos establecer una función igual aen un punto específicamente para excluir ese punto incluso de ser considerado como una solución potencial (al problema de minimización). [1] Puntos en los que la función toma el valor(si los hay) pertenecen al dominio efectivo porque dichos puntos se consideran soluciones aceptables para el problema de minimización, [1] con el razonamiento de que si tal punto no fuera aceptable como solución, entonces la función ya se habría establecido en en ese punto en su lugar.
Cuando un punto mínimo (en ) de una función se encuentra pero dominio de es un subconjunto adecuado de algún espacio vectorial entonces a menudo es técnicamente útil ampliar a todos configurando en cada [1] Por definición, no tiene sentido pertenece al dominio efectivo de lo cual es consistente con el deseo de encontrar un punto mínimo de la función original en lugar de la extensión recién definida a todos los
Si el problema es, en cambio, un problema de maximización (que estaría claramente indicado), entonces el dominio efectivo consiste en todos los puntos en el dominio de la función en los que no es igual a
Definición
Suponer es un mapa valorado en la recta numérica real extendida cuyo dominio, que se denota por es (dónde se supondrá que es un subconjunto de algún espacio vectorial siempre que esta suposición sea necesaria). Entonces el dominio efectivo de se denota por y típicamente definido como el conjunto
a menos que el es una función cóncava o si el máximo (en lugar del mínimo) dese busca, en cuyo caso el dominio efectivo de es en cambio el conjunto
En análisis convexo y análisis variacional , generalmente se asume que es a menos que se indique claramente lo contrario.
Caracterizaciones
Dejar denotar la proyección canónica sobre que se define por El dominio efectivo de es igual a la imagen de's epígrafe bajo la proyección canónica Es decir
Para un problema de maximización (como si el es cóncavo en lugar de convexo), el dominio efectivo es, en cambio, igual a la imagen bajo de 's hipografo .
Propiedades
Si una función nunca toma el valorpor ejemplo, si la función tiene un valor real , entonces su dominio y dominio efectivo son iguales.
Una función es una función convexa adecuada si y solo si es convexo, el dominio efectivo de no está vacío, y para cada [4]
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e Rockafellar & Wets , 2009 , págs. 1-28.
- ^ a b Aliprantis, CD; Frontera, KC (2007). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3 ed.). Saltador. pag. 254. doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0.
- ^ Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2004). Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto (2 ed.). Walter de Gruyter. pag. 400. ISBN 978-3-11-018346-7.
- ^ a b Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 23. ISBN 978-0-691-01586-6.
- Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 317 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .