En el análisis matemático , en particular, los subcampos del análisis convexo y optimización , una función convexa adecuada es una verdadera extendida -valued función convexa con un no vacío de dominio , que nunca se toma el valor y tampoco es idénticamente igual a
En el análisis convexo y el análisis variacional , un punto (en el dominio) en el que alguna función dada se minimiza normalmente se busca, donde se valora en la recta numérica real extendida [1] Tal punto, si existe, se denomina punto mínimo global de la función y su valor en este punto se denomina mínimo global ( valor ) de la función. Si la función toma como valor entonces es necesariamente el valor mínimo global y el problema de minimización puede resolverse; Esta es, en última instancia, la razón por la que la definición de " adecuado " requiere que la función nunca tomecomo valor. Suponiendo esto, si el dominio de la función está vacío o si la función es idénticamente igual aentonces, el problema de la minimización tiene una vez más una respuesta inmediata. La función extendida de valor real para la cual el problema de minimización no se resuelve mediante ninguno de estos tres casos triviales son exactamente las que se denominan adecuadas . Muchos (aunque no todos) resultados cuyas hipótesis requieren que la función sea adecuada añaden este requisito específicamente para excluir estos casos triviales.
Si el problema es, en cambio, un problema de maximización (que estaría claramente indicado, por ejemplo, si la función es cóncava en lugar de convexa), entonces la definición de " adecuado " se define de manera análoga (aunque técnicamente diferente) pero con el mismo objetivo: para excluir los casos en los que el problema de maximización puede resolverse de inmediato. Específicamente, una función cóncavase llama propio si su negación que es una función convexa, es propia en el sentido definido anteriormente.
Definiciones
Suponer que es una función que toma valores en la recta numérica real extendida Si es una función convexa o si un punto mínimo de se busca, entonces se llama propio si
- por cada
y si tambien existe algun punto en su dominio tal que
Es decir, una función es apropiada si su dominio efectivo no está vacío y nunca alcanza el valor. [2] Esto significa que existen algunos en el cual y tampoco es nunca igual aLas funciones convexas que no son adecuadas se denominan funciones convexas impropias . [3]
Una función cóncava adecuada es, por definición, cualquier función tal que es una función convexa propiamente dicha. Explícitamente, si es una función cóncava o si un punto máximo de se busca, entonces se llama propio si su dominio no está vacío, nunca adquiere el valor y no es idénticamente igual a
Propiedades
Para cada función convexa adecuada existen algunos y tal que
para cada
La suma de dos funciones convexas propias es convexa, pero no necesariamente propia. [4] Por ejemplo, si los conjuntos y son conjuntos convexos no vacíos en el espacio vectorial entonces las funciones características y son funciones convexas adecuadas, pero si luego es idénticamente igual a
La convolución mínima de dos funciones convexas propias es convexa pero no necesariamente convexa propia. [5]
Ver también
Citas
- ^ Rockafellar y Wets 2009 , págs. 1-28.
- ^ Aliprantis, CD; Frontera, KC (2007). Análisis dimensional infinito: Guía del autoestopista (3 ed.). Saltador. pag. 254. doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0.
- ^ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Análisis convexo . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 24. ISBN 978-0-691-01586-6.
- ^ Boyd, Stephen (2004). Optimización convexa . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pag. 79. ISBN 978-0-521-83378-3.
- ^ Ioffe, Aleksandr Davidovich; Tikhomirov, Vladimir Mikhaĭlovich (2009), Teoría de problemas extremos , Estudios de matemáticas y sus aplicaciones, 6 , Holanda del Norte, p. 168, ISBN 9780080875279.
Referencias
- Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 317 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC 883392544 .