Aproximaciones de medios efectivos ( EMA ) o teoría de medios efectivos ( EMT ) pertenecen al modelado analítico o teórico que describe las propiedades macroscópicas de los materiales compuestos . Los EMA o EMT se desarrollan a partir de promediar los múltiples valores de los componentes que forman directamente el material compuesto. A nivel de constituyentes, los valores de los materiales varían y no son homogéneos . El cálculo preciso de los muchos valores constituyentes es casi imposible. Sin embargo, se han desarrollado teorías que pueden producir aproximaciones aceptables que a su vez describen parámetros útiles que incluyenpermitividad y permeabilidad efectivas de los materiales en su conjunto. En este sentido, las aproximaciones de medio efectivo son descripciones de un medio (material compuesto) basadas en las propiedades y las fracciones relativas de sus componentes y se derivan de cálculos, [1] [2] y teoría del medio efectivo . [3] Hay dos fórmulas ampliamente utilizadas. [4]
La permitividad y la permeabilidad efectivas son características dieléctricas y magnéticas promediadas de un medio microinhomogéneo. Ambos están sujetos a. Ambos se derivaron en una aproximación cuasi-estática cuando el campo eléctrico dentro de una partícula de mezcla puede considerarse homogéneo. Entonces, estas fórmulas no pueden describir el efecto del tamaño de partícula. Se realizaron muchos intentos para mejorar estas fórmulas.
Aplicaciones
Hay muchas aproximaciones de medios efectivos diferentes, [5] cada una de las cuales es más o menos precisa en distintas condiciones. Sin embargo, todos asumen que el sistema macroscópico es homogéneo y, típico de todas las teorías de campo medio, no logran predecir las propiedades de un medio multifásico cercano al umbral de percolación debido a la ausencia de correlaciones de largo alcance o fluctuaciones críticas en la teoría. .
Las propiedades consideradas suelen ser la conductividad. o la constante dieléctrica del medio. Estos parámetros son intercambiables en las fórmulas en una amplia gama de modelos debido a la amplia aplicabilidad de la ecuación de Laplace. Los problemas que quedan fuera de esta clase se encuentran principalmente en el campo de la elasticidad y la hidrodinámica, debido al carácter tensorial de orden superior de las constantes del medio efectivo.
Los EMA pueden ser modelos discretos, como los aplicados a redes de resistencias, o teorías continuas aplicadas a la elasticidad o viscosidad. Sin embargo, la mayoría de las teorías actuales tienen dificultades para describir los sistemas de filtración. De hecho, entre las numerosas aproximaciones efectivas a los medios, solo la teoría simétrica de Bruggeman es capaz de predecir un umbral. Este rasgo característico de la última teoría la coloca en la misma categoría que otras teorías de campo medio de los fenómenos críticos . [ cita requerida ]
El modelo de Bruggeman
DAG Bruggeman propuso una fórmula de la siguiente forma: [6]
(3)
Aquí, el signo positivo antes de la raíz cuadrada debe cambiarse a signo negativo en algunos casos para obtener la parte imaginaria correcta de la permitividad compleja efectiva que está relacionada con la atenuación de la onda electromagnética. Esta fórmula se basa en la igualdad
(4)
dónde es el salto del flujo de desplazamiento eléctrico en toda la superficie de integración, es el componente del campo eléctrico microscópico normal a la superficie de integración, es la permitividad compleja relativa local que toma el valor dentro de la partícula de metal recogido, el valor dentro de la partícula dieléctrica escogida y el valor fuera de la partícula escogida, es el componente normal del campo eléctrico macroscópico. La fórmula (4) surge de la igualdad de Maxwell . Por lo tanto, en el enfoque de Bruggeman solo se considera una partícula seleccionada. La interacción con todas las demás partículas se tiene en cuenta solo en la aproximación de campo medio descrita por. La fórmula (3) da una curva de resonancia razonable para las excitaciones de plasmón en nanopartículas metálicas si su tamaño es de 10 nm o menos. Pero es incapaz de describir la dependencia del tamaño de la frecuencia de resonancia de las excitaciones de plasmón que se observan en el experimento [7].
Fórmulas
Sin pérdida de generalidad, consideraremos el estudio de la conductividad efectiva (que puede ser dc o ac) para un sistema formado por inclusiones esféricas multicomponente con diferentes conductividades arbitrarias. Entonces la fórmula de Bruggeman toma la forma:
Inclusiones circulares y esféricas
En un sistema de dimensión espacial euclidiana que tiene un número arbitrario de componentes, [8] la suma se realiza sobre todos los componentes. y son respectivamente la fracción y la conductividad de cada componente, y es la conductividad efectiva del medio. (La suma sobre eles la unidad.)
Inclusiones elípticas y elipsoidales
Esta es una generalización de la ecuación. (1) a un sistema bifásico con inclusiones elipsoidales de conductividad en una matriz de conductividad . [9] La fracción de inclusiones es y el sistema es dimensional. Para inclusiones orientadas al azar,
donde el 's denotan el doblete / triplete apropiado de factores de despolarización que está gobernado por las relaciones entre el eje de la elipse / elipsoide. Por ejemplo: en el caso de un círculo {, } y en el caso de una esfera {, , }. (La suma sobre el es la unidad.)
El caso más general al que se ha aplicado el enfoque de Bruggeman es el de inclusiones elipsoidales bianisotrópicas. [10]
Derivación
La figura ilustra un medio de dos componentes. [8] Considere el volumen de conductividad rayado, tómalo como una esfera de volumen y suponga que está incrustado en un medio uniforme con una conductividad efectiva . Si el campo eléctrico lejos de la inclusión esEntonces las consideraciones elementales conducen a un momento dipolar asociado con el volumen
Esta polarización produce una desviación de. Si la desviación promedio va a desaparecer, la polarización total sumada a los dos tipos de inclusión debe desaparecer. Por lo tanto
dónde y son respectivamente la fracción de volumen del material 1 y 2. Esto se puede ampliar fácilmente a un sistema de dimensión que tiene un número arbitrario de componentes. Todos los casos se pueden combinar para producir la ecuación. (1).
Eq. (1) también se puede obtener requiriendo que la desviación en la corriente desaparezca [11] [12] . Se ha derivado aquí del supuesto de que las inclusiones son esféricas y se pueden modificar para formas con otros factores de despolarización; que conduce a la ecuación. (2).
También está disponible una derivación más general aplicable a materiales bianisotrópicos. [10]
Modelado de sistemas de percolación
La aproximación principal es que todos los dominios están ubicados en un campo medio equivalente. Desafortunadamente, no es el caso cerca del umbral de percolación donde el sistema está gobernado por el mayor grupo de conductores, que es un fractal, y correlaciones de largo alcance que están totalmente ausentes de la fórmula simple de Bruggeman. En general, los valores de umbral no se predicen correctamente. Es 33% en la EMA, en tres dimensiones, lejos del 16% esperado de la teoría de la percolación y observado en experimentos. Sin embargo, en dos dimensiones, la EMA da un umbral del 50% y se ha demostrado que modela la percolación relativamente bien. [13] [14] [15]
Ecuación de Maxwell Garnett
En la aproximación de Maxwell Garnett , [16] el medio efectivo consiste en un medio matricial con e inclusiones con . Maxwell Garnett era hijo del físico William Garnett y recibió su nombre del amigo de Garnett, James Clerk Maxwell . Propuso su fórmula para explicar las imágenes coloreadas que se observan en vasos dopados con nanopartículas metálicas. Su fórmula tiene una forma
(1)
dónde es la permitividad relativa compleja efectiva de la mezcla, es la permitividad relativa compleja del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permitividad relativa con fracción de volumen de . Esta fórmula se basa en la igualdad
(2)
dónde es la permitividad absoluta del espacio libre yes momento dipolar eléctrico de una sola inclusión inducida por el exterior campo eléctrico E . Sin embargo, esta igualdad es buena solo para un medio homogéneo y. Además, la fórmula (1) ignora la interacción entre inclusiones simples. Debido a estas circunstancias, la fórmula (1) da una curva de resonancia demasiado estrecha y demasiado alta para las excitaciones del plasmón en las nanopartículas metálicas de la mezcla. [17]
Fórmula
La ecuación de Maxwell Garnett dice: [18]
dónde es la constante dieléctrica efectiva del medio, de las inclusiones, y de la matriz; es la fracción de volumen de las inclusiones.
La ecuación de Maxwell Garnett se resuelve mediante:
siempre que el denominador no desaparezca. Una calculadora MATLAB simple que utiliza esta fórmula es la siguiente.
% Esta sencilla calculadora de MATLAB calcula el dieléctrico efectivo% constante de una mezcla de un material de inclusión en un medio base% según la teoría de Maxwell Garnett introducida en:% https://en.wikipedia.org/wiki/Effective_Medium_Approximations% ENTRADAS:% eps_base: constante dieléctrica del material base;% eps_incl: constante dieléctrica del material de inclusión;% vol_incl: porción de volumen del material de inclusión;% PRODUCCIÓN:% eps_mean: constante dieléctrica efectiva de la mezcla.función [eps_mean] = MaxwellGarnettFormula ( eps_base, eps_incl, vol_incl ) pequeño_number_cutoff = 1 e - 6 ; si vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ([ 'ADVERTENCIA: la porción de volumen del material de inclusión está fuera de rango!' ]); final factor_up = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_down = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_down ) < small_number_cutoff disp ([ 'ADVERTENCIA: ¡el medio efectivo es singular!' ]); eps_mean = 0 ; demás eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down ; final
Derivación
Para la derivación de la ecuación de Maxwell Garnett, comenzamos con una matriz de partículas polarizables. Utilizando el concepto de campo local de Lorentz, obtenemos la relación de Clausius-Mossotti :
Dónde es el número de partículas por unidad de volumen. Al usar electrostática elemental, obtenemos una inclusión esférica con constante dieléctrica y un radio una polarización :
Si combinamos con la ecuación de Clausius Mosotti, obtenemos:
Dónde es la constante dieléctrica efectiva del medio, de las inclusiones; es la fracción de volumen de las inclusiones.
Como el modelo de Maxwell Garnett es una composición de un medio matricial con inclusiones, mejoramos la ecuación:
Validez
En términos generales, se espera que la EMA de Maxwell Garnett sea válida en fracciones de bajo volumen. , ya que se supone que los dominios están separados espacialmente y se desprecia la interacción electrostática entre las inclusiones elegidas y todas las demás inclusiones vecinas. [21] La fórmula de Maxwell Garnett, en contraste con la fórmula de Bruggeman, deja de ser correcta cuando las inclusiones se vuelven resonantes. En el caso de la resonancia de plasmón, la fórmula de Maxwell Garnett es correcta solo en la fracción de volumen de las inclusiones. [22] Se ha estudiado la aplicabilidad de la aproximación del medio eficaz para las multicapas dieléctricas [23] y las multicapas de metal-dieléctrico [24] , lo que demuestra que hay ciertos casos en los que la aproximación del medio eficaz no se cumple y se debe tener cuidado en la aplicación de la teoría.
Fórmula que describe el efecto de tamaño
Se propuso una nueva fórmula que describe el efecto de tamaño. [17] Esta fórmula tiene una forma
(5)
,
donde a es el radio de la nanopartícula yes el número de oleada. Se supone aquí que la dependencia temporal del campo electromagnético viene dada por el factorEn este artículo se utilizó el enfoque de Bruggeman, pero se calculó el campo electromagnético para el modo de oscilación del dipolo eléctrico dentro de la partícula seleccionada sin aplicar una aproximación cuasiestática . Por lo tanto, la funciónse debe a la falta de uniformidad del campo dentro de la partícula seleccionada. En región cuasi-estática, es decir ≤ 10 nm para Ag esta función se vuelve constante y la fórmula (5) se vuelve idéntica a la fórmula de Bruggeman.
Fórmula de permeabilidad efectiva
La fórmula para la permeabilidad efectiva de las mezclas tiene una forma [17]
(6)
Aquí es la permeabilidad relativamente compleja efectiva de la mezcla, es la permeabilidad relativamente compleja del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permeabilidad relativa con fracción de volumen de . Esta fórmula se obtuvo en aproximación dipolo. Aquí se descuidaron el modo octupolar magnético y todos los demás modos de oscilación magnética de órdenes impares. Cuándo y esta fórmula tiene una forma simple [17]
(7)
Teoría del medio efectivo para redes de resistencias
Para una red que consta de una alta densidad de resistencias aleatorias, una solución exacta para cada elemento individual puede ser impráctica o imposible. En tal caso, una red de resistencias aleatorias se puede considerar como un gráfico bidimensional y la resistencia efectiva se puede modelar en términos de medidas gráficas y propiedades geométricas de las redes. [25] Suponiendo que la longitud del borde << el espaciado de los electrodos y los bordes se distribuyan uniformemente, se puede considerar que el potencial cae uniformemente de un electrodo a otro. Resistencia de la hoja de una red tan aleatoria () se puede escribir en términos de densidad de borde (cable) (), resistividad (), ancho () y espesor () de bordes (alambres) como:
Ver también
- Ecuación constitutiva
- Umbral de percolación
Referencias
- ^ Wenshan, Cai ; Shalaev, Vladimir (noviembre de 2009). Metamateriales ópticos: fundamentos y aplicaciones . Saltador. pp. Capítulo 2.4. ISBN 978-1-4419-1150-6.
- ^ Wang, M; Pan, N (2008). "Predicciones de propiedades físicas efectivas de materiales multifásicos complejos" (Descarga gratuita de PDF) . Ciencia e Ingeniería de Materiales: R: Informes . 63 : 1–30. doi : 10.1016 / j.mser.2008.07.001 .
- ^ TC Choy, "Teoría del medio eficaz", Oxford University Press, (2016) 241 p.
- ^ M. Scheller, C. Jansen, M. Koch, "Aplicaciones de las teorías de medios efectivos en el régimen de Terahercios" en Tecnologías ópticas y fotónicas recientes , ed. por KY Kim, Intech, Croacia, Vukovar (2010), pág. 231.
- ^ Tinga, WR; Voss, WAG; Blossey, DF (1973). "Enfoque generalizado de la teoría de la mezcla dieléctrica multifásica" . J. Appl. Phys . 44 (9): 3897. Bibcode : 1973JAP .... 44.3897T . doi : 10.1063 / 1.1662868 . Archivado desde el original el 16 de julio de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2019 .
- ^ Bruggeman, DAG (1935). "Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen". Annalen der Physik . 416 (7): 636–664. doi : 10.1002 / yp.19354160705 . ISSN 0003-3804 .
- ^ SJ Oldenburg. "Nanopartículas de plata: propiedades y aplicaciones" . Sigma Aldrich . Consultado el 17 de mayo de 2019 .
- ^ a b Landauer, Rolf (abril de 1978). "Conductividad eléctrica en medios no homogéneos" . Actas de la conferencia AIP . 40 . Instituto Americano de Física. págs. 2-45. doi : 10.1063 / 1.31150 . Archivado desde el original el 10 de julio de 2012 . Consultado el 7 de febrero de 2010 .
- ^ Granqvist, CG; Hunderi, O. (1978). "Conductividad de materiales no homogéneos: teoría del medio efectivo con interacción dipolo-dipolo". Phys. Rev. B . 18 (4): 1554-1561. Código bibliográfico : 1978PhRvB..18.1554G . doi : 10.1103 / PhysRevB.18.1554 .
- ^ a b Weiglhofer, WS; Lakhtakia, A .; Michel, B. (1998). "Formalismos de Maxwell Garnett y Bruggeman para un compuesto particulado con medio huésped bianisotrópico" . Microw. Optar. Technol. Lett . 15 (4): 263–266. doi : 10.1002 / (SICI) 1098-2760 (199707) 15: 4 <263 :: AID-MOP19> 3.0.CO; 2-8 . Archivado desde el original el 5 de enero de 2013.
- ^ Stroud, D. (1975). "Enfoque de medio efectivo generalizado para la conductividad de un material no homogéneo". Phys. Rev. B . 12 (8): 3368–3373. Código Bibliográfico : 1975PhRvB..12.3368S . doi : 10.1103 / PhysRevB.12.3368 .
- ^ Davidson, A .; Tinkham, M. (1976). "Ecuaciones fenomenológicas para la conductividad eléctrica de materiales microscópicamente no homogéneos". Phys. Rev. B . 13 (8): 3261–3267. Código Bibliográfico : 1976PhRvB..13.3261D . doi : 10.1103 / PhysRevB.13.3261 .
- ^ Kirkpatrick, Scott (1973). "Percolación y conducción". Rev. Mod. Phys . 45 (4): 574–588. Código Bibliográfico : 1973RvMP ... 45..574K . doi : 10.1103 / RevModPhys.45.574 .
- ^ Zallen, Richard (1998). La física de los sólidos amorfos . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-29941-7.
- ^ Rozen, John; López, René; Haglund, Richard F. Jr .; Feldman, Leonard C. (2006). "Percolación de corriente bidimensional en películas de dióxido de vanadio nanocristalino" . Apl. Phys. Lett . 88 (8): 081902. Código Bibliográfico : 2006ApPhL..88h1902R . doi : 10.1063 / 1.2175490 . Archivado desde el original el 12 de julio de 2012 . Consultado el 24 de abril de 2019 .
- ^ Garnett, JCM (1904). "Colores en Vidrios Metálicos y en Películas Metálicas" . Transacciones filosóficas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de la ingeniería . 203 (359–371): 385–420. doi : 10.1098 / rsta.1904.0024 . ISSN 1364-503X .
- ^ a b c d Belyaev, BA; Tyurnev, VV (2018). "Cálculo electrodinámico de parámetros electromagnéticos efectivos de un medio dieléctrico con nanopartículas metálicas de un tamaño dado". Revista de Física Experimental y Teórica . 127 (4): 608–619. doi : 10.1134 / S1063776118100114 . ISSN 1063-7761 .
- ^ Choy, Tuck C. (1999). Teoría del medio efectivo . Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851892-1.
- ^ Levy, O. y Stroud, D. (1997). Teoría de Maxwell Garnett para mezclas de inclusiones anisotrópicas: aplicación a polímeros conductores. Revisión física B, 56 (13), 8035.
- ^ Liu, Tong, et al. "Nanopartículas microporosas de Co @ CoO con propiedades superiores de absorción de microondas". Nanoescala 6.4 (2014): 2447-2454.
- ^ Jepsen, Peter Uhd; Fischer, Bernd M .; Thoman, Andreas; Helm, Hanspeter; Suh, JY; López, René; Haglund, RF Jr. (2006). "Transición de fase metal-aislante en una película delgada de VO 2 observada con espectroscopía de terahercios" . Phys. Rev. B . 74 (20): 205103. Código Bibliográfico : 2006PhRvB..74t5103J . doi : 10.1103 / PhysRevB.74.205103 . hdl : 2440/36406 .
- ^ Belyaev, BA; Tyurnev, VV (2018). "Cálculo electrodinámico de parámetros electromagnéticos efectivos de un medio dieléctrico con nanopartículas metálicas de determinado tamaño". Revista de Física Experimental y Teórica . 127 (4): 608–619. Código Bib : 2018JETP..127..608B . doi : 10.1134 / S1063776118100114 . S2CID 125250487 .
- ^ Zhukovsky, SV; Andryieuski, A., Takayama, O .; Shkondin, E., Malureanu, R .; Jensen, F., Lavrinenko, AV (2015). "Demostración experimental de la ruptura de aproximación media eficaz en multicapas totalmente dieléctricas de sub-longitud de onda profunda" . Cartas de revisión física . 115 (17): 177402. arXiv : 1506.08078 . Código Bibliográfico : 2015PhRvL.115q7402Z . doi : 10.1103 / PhysRevLett.115.177402 . PMID 26551143 . S2CID 4018894 .
- ^ Sukham, J .; Takayama, O., Mahmoodi, M .; Sychev, S., Bogdanov, A .; Hassan Tavassoli, S., Lavrinenko, AV; Malureanu R. (2019). "Investigación de la aplicabilidad de medios efectivos para estructuras multicapa ultrafinas" . Nanoescala . 11 (26): 12582–12588. doi : 10.1039 / C9NR02471A . PMID 31231735 .
- ^ Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U. (2017). "Distribución actual en la conducción de redes de nanocables". Revista de Física Aplicada . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP ... 122d5101K . doi : 10.1063 / 1.4985792 .
Otras lecturas
- Lakhtakia (Ed.), A. (1996). Artículos seleccionados sobre materiales compuestos ópticos lineales [Milestone Vol. 120] . Bellingham, WA, EE.UU .: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2152-4.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- Tuck, Choy (1999). Teoría del medio efectivo (1ª ed.). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-851892-1.
- Lakhtakia (Ed.), A. (2000). Campos electromagnéticos en materiales y estructuras no convencionales . Nueva York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-36356-9.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- Weiglhofer (Ed.) ; Lakhtakia (Ed.), A. (2003). Introducción a los medios complejos para óptica y electromagnetismo . Bellingham, WA, EE.UU .: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-4947-4.CS1 maint: texto adicional: lista de autores ( enlace )
- Mackay, TG ; Lakhtakia, A. (2010). Anisotropía electromagnética y bianisotropía: una guía de campo (1ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-4289-61-0.