En matemáticas , las funciones ortogonales pertenecen a un espacio funcional que es un espacio vectorial equipado con una forma bilineal . Cuando el espacio de funciones tiene un intervalo como dominio , la forma bilineal puede ser la integral del producto de funciones sobre el intervalo:
Las funciones y son ortogonales cuando esta integral es cero, es decir cuando sea . Al igual que con una base de vectores en un espacio de dimensión finita, las funciones ortogonales pueden formar una base infinita para un espacio funcional. Conceptualmente, la integral anterior es equivalente a un producto escalar vectorial; dos vectores son mutuamente independientes (ortogonales) si su producto escalar es cero.
Suponer es una secuencia de funciones ortogonales de normas L 2 distintas de cero . De ello se deduce que la secuenciaes de funciones de L 2 -norm one, formando una secuencia ortonormal . Para tener una norma L 2 definida, la integral debe estar acotada, lo que restringe las funciones a ser integrables al cuadrado .
Funciones trigonométricas
Varios conjuntos de funciones ortogonales se han convertido en bases estándar para funciones aproximadas. Por ejemplo, las funciones seno sin nx y sin mx son ortogonales en el intervalo Cuándo y n y m son números enteros positivos. Para entonces
y la integral del producto de las dos funciones seno se desvanece. [1] Junto con las funciones coseno, estas funciones ortogonales pueden ensamblarse en un polinomio trigonométrico para aproximar una función dada en el intervalo con su serie de Fourier .
Polinomios
Si uno comienza con la secuencia monomial en el intervalo y aplica el proceso de Gram-Schmidt , luego se obtienen los polinomios de Legendre . Otra colección de polinomios ortogonales son los polinomios de Legendre asociados .
El estudio de polinomios ortogonales involucra funciones de peso que se insertan en forma bilineal:
Para polinomios de Laguerre en la función de peso es .
Tanto los físicos como los teóricos de la probabilidad usan polinomios de Hermite en, donde la función de peso es o .
Los polinomios de Chebyshev se definen en y usa pesas o .
Los polinomios de Zernike se definen en el disco unitario y tienen ortogonalidad de partes radiales y angulares.
Funciones con valores binarios
Las funciones de Walsh y las ondas de Haar son ejemplos de funciones ortogonales con rangos discretos.
Funciones racionales
Los polinomios de Legendre y Chebyshev proporcionan familias ortogonales para el intervalo [-1, 1] mientras que ocasionalmente se requieren familias ortogonales en [0, ∞) . En este caso, es conveniente aplicar primero la transformada de Cayley , para llevar el argumento a [−1, 1] . Este procedimiento da como resultado familias de funciones ortogonales racionales llamadas funciones racionales de Legendre y funciones racionales de Chebyshev .
En ecuaciones diferenciales
Las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones de contorno a menudo se pueden escribir como una suma ponderada de funciones de solución ortogonales (también conocidas como funciones propias ), lo que conduce a series de Fourier generalizadas .
Ver también
Referencias
- ^ Antoni Zygmund (1935) Serie trigonométrica , página 6, Seminario de matemáticas, Universidad de Varsovia
- George B. Arfken y Hans J. Weber (2005) Métodos matemáticos para físicos , sexta edición, capítulo 10: Teoría de Sturm-Liouville - Funciones ortogonales, Academic Press .
- Precio, Justin J. (1975). "Temas en funciones ortogonales" . American Mathematical Monthly . 82 : 594–609. doi : 10.2307 / 2319690 . CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Giovanni Sansone (traducido por Ainsley H. Diamond) (1959) Funciones ortogonales , Interscience Publishers .
enlaces externos
- Funciones ortogonales , en MathWorld.