En matemáticas , la cohomología de Eichler (también llamada cohomología parabólica o cohomología cuspidal ) es una teoría de cohomología para grupos fucsianos , introducida por Eichler ( 1957 ), que es una variación de la cohomología de grupo análoga a la imagen de la cohomología con soporte compacto en la cohomología ordinaria. grupo. El isomorfismo de Eichler-Shimura , introducido por Eichler para la cohomología compleja y por Shimura ( 1959) para la cohomología real, es un isomorfismo entre un grupo de cohomología de Eichler y un espacio de formas de cúspide. Hay varias variaciones del isomorfismo de Eichler-Shimura, porque se pueden usar coeficientes reales o complejos, y también se puede usar la cohomología de Eichler o la cohomología de grupo ordinaria como en ( Gunning 1961 ). También hay una variación de los isomorfismos de Eichler-Shimura que utilizan la cohomología l -ádica en lugar de la cohomología real, que relaciona los coeficientes de las formas de las cúspides con los valores propios de Frobenius que actúan sobre estos grupos. Deligne (1971) utilizó esto para reducir la conjetura de Ramanujan a las conjeturas de Weil que luego demostró.
Si G es un grupo fucsiano y M es una representación de él, entonces el grupo de cohomología de Eichler H1
P( G , M ) se define como el núcleo del mapa de H1
( G , M ) a Π c H1
( G c , M ), donde el producto está sobre las cúspides c de un dominio fundamental de G , y G c es el subgrupo que fija la cúspide c .