En matemáticas , las conjeturas de Weil fueron propuestas muy influyentes de André Weil ( 1949 ). Condujeron a un exitoso programa de varias décadas para probarlos, en el que muchos investigadores destacados desarrollaron el marco de la geometría algebraica moderna y la teoría de números .
Las conjeturas se refieren a las funciones generadoras (conocidas como funciones zeta locales ) derivadas de contar puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos . Una variedad V sobre un campo finito con q elementos tiene un número finito de puntos racionales (con coordenadas en el campo original), así como puntos con coordenadas en cualquier extensión finita del campo original. La función generadora tiene coeficientes derivados de los números N k de puntos sobre el campo de extensión con q k elementos.
Weil conjeturó que tales funciones zeta para variedades suaves son funciones racionales , satisfacen una determinada ecuación funcional y tienen sus ceros en lugares restringidos. Las dos últimas partes fueron modeladas de manera bastante consciente en la función zeta de Riemann , una especie de función generadora de enteros primos, que obedece a una ecuación funcional y (conjeturalmente) tiene sus ceros restringidos por la hipótesis de Riemann . La racionalidad fue probada por Bernard Dwork ( 1960 ), la ecuación funcional por Alexander Grothendieck ( 1965 ) y la análoga de la hipótesis de Riemann por Pierre Deligne ( 1974 ).
Antecedentes e historia
El antecedente más temprano de las conjeturas de Weil es de Carl Friedrich Gauss y aparece en la sección VII de sus Disquisitiones Arithmeticae ( Mazur 1974 ), que se ocupa de las raíces de la unidad y los períodos gaussianos . En el artículo 358, se pasa de los períodos que construyen torres de extensiones cuadráticas, para la construcción de polígonos regulares; y supone que p es un número primo tal que p - 1 es divisible por 3. Entonces hay un campo cúbico cíclico dentro del campo ciclotómico de p- ésima raíz de la unidad, y una base integral normal de períodos para los números enteros de este campo ( un ejemplo del teorema de Hilbert-Speiser ). Gauss construye los períodos de orden 3, correspondientes al grupo cíclico ( Z / p Z ) × de residuos distintos de cero módulo p bajo multiplicación y su subgrupo único de índice tres. Gauss permite, , y sean sus colas. Tomando los períodos (sumas de raíces de unidad) correspondientes a estas clases laterales aplicadas a exp (2 πi / p ) , observa que estos períodos tienen una tabla de multiplicar que es accesible para el cálculo. Los productos son combinaciones lineales de los períodos y él determina los coeficientes. Él pone, por ejemplo,igual al número de elementos de Z / p Z que están en y que, después de incrementarse en uno, también están en . Demuestra que este número y los relacionados son los coeficientes de los productos de los períodos. Para ver la relación de estos conjuntos con las conjeturas de Weil, observe que si α y α + 1 están ambos en, Entonces existen x y y en Z / p Z tal que x 3 = α y y 3 = α + 1 ; en consecuencia, x 3 + 1 = y 3 . Por lo tantoes el número de soluciones a x 3 + 1 = y 3 en el campo finito Z / p Z . Los otros coeficientes tienen interpretaciones similares. Por lo tanto, la determinación de Gauss de los coeficientes de los productos de los períodos cuenta el número de puntos en estas curvas elípticas y, como subproducto, demuestra el análogo de la hipótesis de Riemann.
Las conjeturas de Weil en el caso especial de las curvas algebraicas fueron conjeturadas por Emil Artin ( 1924 ). El caso de las curvas sobre campos finitos fue probado por Weil, terminando el proyecto iniciado por el teorema de Hasse sobre curvas elípticas sobre campos finitos. Su interés era bastante obvio desde dentro de la teoría de números : implicaban límites superiores para las sumas exponenciales , una preocupación básica en la teoría analítica de números ( Moreno 2001 ) .
Lo realmente llamativo, desde el punto de vista de otras áreas matemáticas, fue la conexión propuesta con la topología algebraica . Dado que los campos finitos son de naturaleza discreta , y la topología solo habla de lo continuo , la formulación detallada de Weil (basada en la elaboración de algunos ejemplos) fue sorprendente y novedosa. Sugirió que la geometría sobre campos finitos debería encajar en patrones bien conocidos relacionados con los números de Betti , el teorema del punto fijo de Lefschetz, etc.
La analogía con la topología sugirió que se estableciera una nueva teoría homológica aplicando dentro de la geometría algebraica . Esto llevó dos décadas (era un objetivo central del trabajo y la escuela de Alexander Grothendieck ) basándose en las sugerencias iniciales de Serre . La parte de la racionalidad de las conjeturas fue probada primero por Bernard Dwork ( 1960 ), usando métodos p -adic . Grothendieck (1965) y sus colaboradores establecieron la conjetura de racionalidad, la ecuación funcional y el vínculo con los números de Betti utilizando las propiedades de la cohomología étale , una nueva teoría de la cohomología desarrollada por Grothendieck y Michael Artin para atacar las conjeturas de Weil, como se describe en Grothendieck ( 1960) . De las cuatro conjeturas, la análoga de la hipótesis de Riemann fue la más difícil de probar. Motivado por la prueba de Serre (1960) de un análogo de las conjeturas de Weil para las variedades de Kähler , Grothendieck concibió una prueba basada en sus conjeturas estándar sobre ciclos algebraicos ( Kleiman 1968 ). Sin embargo, las conjeturas estándar de Grothendieck permanecen abiertas (a excepción del teorema rígido de Lefschetz , que fue probado por Deligne ampliando su trabajo sobre las conjeturas de Weil), y el análogo de la hipótesis de Riemann fue probado por Deligne ( 1974 ), usando la teoría de la cohomología étale pero eludiendo el uso de conjeturas estándar mediante un argumento ingenioso.
Deligne (1980) encontró y demostró una generalización de las conjeturas de Weil, acotando los pesos del empuje hacia adelante de una gavilla.
Declaración de las conjeturas de Weil
Supongamos que X es un no singular n -dimensional variedad algebraica proyectiva sobre el campo F q con q elementos. La función zeta ζ ( X , s ) de X es por definición
donde N m es el número de puntos de X definidos sobre el grado m de extensión F q m de F q .
Las conjeturas de Weil afirman:
- (Racionalidad) ζ ( X , s ) es una función racional de T = q - s . Más precisamente, ζ ( X , s ) se puede escribir como un producto alterno finito
- (Ecuación funcional y dualidad de Poincaré) La función zeta satisface
- (Hipótesis de Riemann) | α i , j | = q i / 2 para todo 1 ≤ i ≤ 2 n - 1 y todo j . Esto implica que todos los ceros de P k ( T ) se encuentran en la "línea crítica" de números complejos s con parte real k / 2 .
- (Números de Betti) Si X es A (buena) " reducción mod p " de un no singular variedad proyectiva Y define sobre un campo de número incrustado en el campo de los números complejos, entonces el grado de P i es el i ésimo número Betti de el espacio de puntos complejos de Y .
Ejemplos de
La linea proyectiva
El ejemplo más simple (que no sea un punto) es tomar X como la línea proyectiva. El número de puntos de X sobre un campo con q m elementos es simplemente N m = q m + 1 (donde el " + 1 " proviene del " punto en el infinito "). La función zeta es solo
- 1 / (1 - q - s ) (1 - q 1− s ) .
Es fácil comprobar directamente todas las partes de las conjeturas de Weil. Por ejemplo, la variedad compleja correspondiente es la esfera de Riemann y sus números Betti iniciales son 1, 0, 1.
Espacio proyectivo
No es mucho más difícil hacer un espacio proyectivo n- dimensional. El número de puntos de X sobre un campo con q m elementos es simplemente N m = 1 + q m + q 2 m + ⋯ + q nm . La función zeta es solo
- 1 / (1 - q - s ) (1 - q 1− s ) (1 - q 2− s ) ⋯ (1 - q n - s ) .
De nuevo, es fácil comprobar directamente todas las partes de las conjeturas de Weil. ( El espacio proyectivo complejo proporciona los números de Betti relevantes, que casi determinan la respuesta).
El número de puntos en la línea proyectiva y el espacio proyectivo son muy fáciles de calcular porque se pueden escribir como uniones disjuntas de un número finito de copias de espacios afines. También es fácil probar las conjeturas de Weil para otros espacios, como Grassmannians y variedades de bandera, que tienen la misma propiedad de "pavimentación".
Curvas elípticas
Estos dan los primeros casos no triviales de las conjeturas de Weil (probadas por Hasse). Si E es una curva elíptica sobre un campo finito con q elementos, entonces el número de puntos de E definidos sobre el campo con q m elementos es 1 - α m - β m + q m , donde α y β son conjugados complejos con valores absolutos. valor √ q . La función zeta es
- ζ ( E , s ) =(1 - αq - s ) (1 - βq - s )/(1 - q - s ) (1 - q 1− s ).
Cohomología de Weil
Weil sugirió que las conjeturas se seguirían de la existencia de una " teoría de cohomología de Weil " adecuada para variedades en campos finitos, similar a la cohomología habitual con coeficientes racionales para variedades complejas. Su idea era que si F es el automorfismo de Frobenius sobre el campo finito, entonces el número de puntos de la variedad X sobre el campo de orden q m es el número de puntos fijos de F m (actuando sobre todos los puntos de la variedad X definidos sobre el cierre algebraico). En topología algebraica, el número de puntos fijos de un automorfismo se puede calcular utilizando el teorema de punto fijo de Lefschetz , dado como una suma alterna de trazas en los grupos de cohomología . Entonces, si hubiera grupos de cohomología similares para variedades en campos finitos, entonces la función zeta podría expresarse en términos de ellos.
El primer problema con esto es que el campo de coeficientes para una teoría de cohomología de Weil no pueden ser los números racionales. Para ver esto, considere el caso de una curva elíptica supersingular sobre un campo finito de característica p . El anillo de endomorfismo de este es un orden en un álgebra de cuaternión sobre los racionales, y debería actuar sobre el primer grupo de cohomología, que debería ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de coeficientes por analogía con el caso de una curva elíptica compleja. Sin embargo, un álgebra de cuaternión sobre los racionales no puede actuar sobre un espacio vectorial bidimensional sobre los racionales. El mismo argumento elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sean los reales o los números p -ádicos, porque el álgebra de cuaterniones sigue siendo un álgebra de división sobre estos campos. Sin embargo, no elimina la posibilidad de que el campo de coeficientes sea el campo de los números l -ádicos para algún primo l ≠ p , porque sobre estos campos el álgebra de división se divide y se convierte en un álgebra matricial, que puede actuar sobre un espacio vectorial bidimensional. . Grothendieck y Michael Artin lograron construir teorías de cohomología adecuadas sobre el campo de los números l -ádicos para cada l ≠ p primo , denominada cohomología l -ádica .
Demostraciones de Grothendieck de tres de las cuatro conjeturas
A fines de 1964, Grothendieck junto con Artin y Jean-Louis Verdier (y el trabajo anterior de 1960 de Dwork) demostraron las conjeturas de Weil, aparte de la tercera conjetura más difícil anterior (la conjetura de la "hipótesis de Riemann") (Grothendieck 1965). Los teoremas generales sobre la cohomología étale permitieron a Grothendieck probar un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para la teoría de la cohomología l -ádica, y aplicándola al automorfismo F de Frobenius pudo probar la fórmula conjeturada para la función zeta:
donde cada polinomio P i es el determinante de I - TF en el grupo de cohomología l -ádica H i .
La racionalidad de la función zeta sigue inmediatamente. La ecuación funcional para la función zeta se deriva de la dualidad de Poincaré para la cohomología l -ádica, y la relación con números Betti complejos de un ascensor se deriva de un teorema de comparación entre la cohomología l -ádica y ordinaria para variedades complejas.
De manera más general, Grothendieck demostró una fórmula similar para la función zeta (o "función L generalizada") de una gavilla F 0 :
como producto sobre grupos de cohomología:
El caso especial de la gavilla constante da la función zeta habitual.
Primera prueba de Deligne de la conjetura de la hipótesis de Riemann
Verdier (1974) , Serre (1975) , Katz (1976) y Freitag & Kiehl (1988) dieron relatos expositivos de la primera prueba de Deligne (1974) . Gran parte de los antecedentes de la cohomología l -ádica se describe en ( Deligne 1977 ).
La primera prueba de Deligne de la tercera conjetura de Weil restante (la "conjetura de la hipótesis de Riemann") utilizó los siguientes pasos:
Uso de lápices Lefschetz
- Grothendieck expresó la función zeta en términos de la traza de Frobenius en grupos de cohomología l -ádicos, por lo que las conjeturas de Weil para una variedad d -dimensional V sobre un campo finito con q elementos dependen de mostrar que los valores propios α de Frobenius actuando sobre i el grupo de cohomología l -ádica H i ( V ) de V tiene valores absolutos | α | = q i / 2 (para una inclusión de los elementos algebraicos de Q l en los números complejos).
- Después de inflar V y extender el campo base, se puede suponer que la variedad V tiene un morfismo en la línea proyectiva P 1 , con un número finito de fibras singulares con singularidades muy suaves (cuadráticas). La teoría de la monodromía de los lápices de Lefschetz , introducida para variedades complejas (y cohomología ordinaria) por Lefschetz (1924) , y ampliada por Grothendieck (1972) y Deligne & Katz (1973) a la cohomología l -ádica, relaciona la cohomología de V con que de sus fibras. La relación depende del espacio E x de los ciclos de desaparición , el subespacio de la cohomología H d −1 ( V x ) de una fibra no singular V x , atravesada por clases que se desvanecen en fibras singulares.
- La secuencia espectral de Leray relaciona el grupo de cohomología media de V con la cohomología de la fibra y la base. La parte difícil de tratar es más o menos un grupo H 1 ( P 1 , j * E ) = H1
taza( U , E ), donde U son los puntos de la línea proyectiva con fibras no singulares, yj es la inclusión de U en la línea proyectiva, y E es la gavilla con fibras los espacios E x de los ciclos de fuga.
La estimación clave
El corazón de la prueba de Deligne es mostrar que la gavilla E sobre U es pura, en otras palabras, encontrar los valores absolutos de los valores propios de Frobenius en sus tallos. Esto se hace estudiando las funciones zeta de las potencias pares E k de E y aplicando la fórmula de Grothendieck para las funciones zeta como productos alternos sobre grupos de cohomología. La idea crucial de considerar incluso k potencias de E se inspiró en el artículo de Rankin ( 1939 ), quien utilizó una idea similar con k = 2 para delimitar la función tau de Ramanujan . Langlands (1970 , sección 8) señaló que una generalización del resultado de Rankin para valores pares más altos de k implicaría la conjetura de Ramanujan , y Deligne se dio cuenta de que en el caso de las funciones zeta de las variedades, la teoría de Grothendieck de las funciones zeta de las gavillas proporcionaba un análogo de esta generalización.
- Los polos de la función zeta de E k se encuentran usando la fórmula de Grothendieck
- y calcular los grupos de cohomología en el denominador de forma explícita. La H0
cEl término suele ser solo 1, ya que U no suele ser compacto, y la H2
cse puede calcular explícitamente de la siguiente manera. La dualidad de Poincaré relaciona H2
c( E k ) a H0
( E k ), que es a su vez el espacio de covariantes del grupo monodromía, que es el grupo geométrico fundamental de U que actúa sobre la fibra de E k en un punto. La fibra de E tiene una forma bilineal inducida por el producto en taza , que es antisimétrica si d es par, y convierte a E en un espacio simpléctico. (Esto es un poco inexacto: Deligne demostró más tarde que E ∩ E ⊥ = 0 utilizando el teorema rígido de Lefschetz , esto requiere las conjeturas de Weil, y la demostración de las conjeturas de Weil realmente tiene que usar un argumento un poco más complicado con E / E ∩ E ⊥ en lugar de E. ) Un argumento de Kazhdan y Margulis muestra que la imagen del grupo de monodromía que actúa sobre E , dada por la fórmula de Picard-Lefschetz , es Zariski denso en un grupo simpléctico y por lo tanto tiene las mismas invariantes, que son bien conocidos de la teoría invariante clásica. Hacer un seguimiento de la acción de Frobenius en este cálculo muestra que sus valores propios son todos q k ( d −1) / 2 + 1 , por lo que la función zeta de Z ( E k , T ) tiene polos solo en T = 1 / q k ( d −1) / 2 + 1 .
- El producto de Euler para la función zeta de E k es
- Si k es par, entonces todos los coeficientes de los factores de la derecha (considerados como series de potencias en T ) son no negativos ; esto sigue escribiendo
- y usando el hecho de que las trazas de potencias de F son racionales, por lo que sus k potencias son no negativas ya que k es par. Deligne demuestra la racionalidad de las trazas relacionándolas con números de puntos de variedades, que son siempre enteros (racionales).
- La serie de potencias para Z ( E k , T ) converge para T menos que el valor absoluto 1 / q k ( d −1) / 2 + 1 de su único polo posible. Cuando k es par, los coeficientes de todos sus factores de Euler no son negativos, de modo que cada uno de los factores de Euler tiene coeficientes acotados por una constante multiplicada por los coeficientes de Z ( E k , T ) y, por lo tanto, converge en la misma región y no tiene polos en esta región. Entonces para k incluso los polinomios Z ( Ek
x, T ) no tienen ceros en esta región, o en otras palabras, los valores propios de Frobenius en los tallos de E k tienen un valor absoluto como máximo q k ( d −1) / 2 + 1 . - Esta estimación se puede utilizar para encontrar el valor absoluto de cualquier valor propio α de Frobenius en una fibra de E de la siguiente manera. Para cualquier entero k , α k es un valor propio de Frobenius en un tallo de E k , que para k par está limitado por q 1+ k ( d −1) / 2 . Entonces
- Como esto es cierto para un par k arbitrariamente grande , esto implica que
- La dualidad de Poincaré implica entonces que
Finalización de la prueba
La deducción de la hipótesis de Riemann de esta estimación es principalmente un uso bastante sencillo de técnicas estándar y se hace de la siguiente manera.
- Los valores propios de Frobenius en H1
taza( T , E ) ahora se puede estimar, ya que son los ceros de la función zeta de la gavilla E . Esta función zeta se puede escribir como un producto de Euler de las funciones zeta de los tallos de E , y el uso de la estimación de los valores propios de estos tallos muestra que este producto converge para | T | < q - d / 2−1 / 2 , por lo que no hay ceros de la función zeta en esta región. Esto implica que los valores propios de Frobenius en E son como máximo q d / 2 + 1/2 en valor absoluto (de hecho, pronto se verá que tienen un valor absoluto exactamente q d / 2 ). Este paso del argumento es muy similar a la demostración habitual de que la función zeta de Riemann no tiene ceros con una parte real mayor que 1, escribiéndola como un producto de Euler. - La conclusión de esto es que los valores propios α del Frobenius de una variedad de dimensión par d en el grupo de cohomología media satisfacen
- Para obtener la hipótesis de Riemann, es necesario eliminar el 1/2 del exponente. Esto puede hacerse de la siguiente manera. La aplicación de esta estimación a cualquier potencia par V k de V y el uso de la fórmula de Künneth muestra que los valores propios de Frobenius en la cohomología media de una variedad V de cualquier dimensión d satisfacen
- Como esto es cierto para un par k arbitrariamente grande , esto implica que
- La dualidad de Poincaré implica entonces que
- Esto prueba las conjeturas de Weil para la cohomología media de una variedad. Las conjeturas de Weil para la cohomología por debajo de la dimensión media se siguen de esto aplicando el teorema débil de Lefschetz , y las conjeturas para la cohomología por encima de la dimensión media se siguen de la dualidad de Poincaré.
Segunda prueba de Deligne
Deligne (1980) encontró y demostró una generalización de las conjeturas de Weil, acotando los pesos del empuje hacia adelante de una gavilla. En la práctica, es esta generalización, en lugar de las conjeturas de Weil originales, la que se usa principalmente en aplicaciones, como el teorema de Lefschetz . Gran parte de la segunda prueba es una reordenación de las ideas de su primera prueba. La principal idea adicional necesaria es un argumento estrechamente relacionado con el teorema de Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée Poussin , utilizado por Deligne para mostrar que varias series L no tienen ceros con la parte 1 real.
Una gavilla construible en una variedad sobre un campo finito se llama pura de peso β si para todos los puntos x los valores propios de Frobenius en x tienen valor absoluto N ( x ) β / 2 , y se llama mezcla de peso ≤ β si se puede escribir como extensiones repetidas por poleas puras con pesos ≤ β .
El teorema de Deligne establece que si f es un morfismo de esquemas de tipo finito sobre un campo finito, entonces R i f ! toma haces mixtos de peso ≤ β a haces mixtos de peso ≤ β + i .
Las conjeturas originales de Weil siguen tomando f como un morfismo de una variedad proyectiva suave a un punto y considerando la gavilla constante Q l en la variedad. Esto da un límite superior en los valores absolutos de los valores propios de Frobenius, y la dualidad de Poincaré muestra que este es también un límite inferior.
En general, R i f ! no convierte gavillas puras en gavillas puras. Sin embargo, lo hace cuando se cumple una forma adecuada de dualidad de Poincaré, por ejemplo, si f es suave y adecuada, o si se trabaja con gavillas perversas en lugar de gavillas como en Beilinson, Bernstein y Deligne (1982) .
Inspirado por el trabajo de Witten (1982) sobre la teoría de Morse , Laumon (1987) encontró otra prueba, usando la transformada l -ádica de Fourier de Deligne , que le permitió simplificar la prueba de Deligne evitando el uso del método de Hadamard y de la Vallée Poussin. . Su demostración generaliza el cálculo clásico del valor absoluto de las sumas de Gauss utilizando el hecho de que la norma de una transformada de Fourier tiene una relación simple con la norma de la función original. Kiehl y Weissauer (2001) utilizaron la demostración de Laumon como base para su exposición del teorema de Deligne. Katz (2001) simplificó aún más la prueba de Laumon, utilizando la monodromía en el espíritu de la primera prueba de Deligne. Kedlaya (2006) dio otra prueba usando la transformada de Fourier, reemplazando la cohomología etale con cohomología rígida .
Aplicaciones
- Deligne (1980) pudo probar el teorema de Lefschetz sobre campos finitos usando su segunda demostración de las conjeturas de Weil.
- Deligne (1971) había demostrado previamente que la conjetura de Ramanujan-Petersson se deriva de las conjeturas de Weil.
- Deligne (1974 , sección 8) utilizó las conjeturas de Weil para probar estimaciones de sumas exponenciales.
- Nick Katz y William Messing ( 1974 ) pudieron probar la conjetura estándar del tipo Künneth sobre campos finitos utilizando la prueba de Deligne de las conjeturas de Weil.
Referencias
- Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift , 19 (1): 207–246, doi : 10.1007 / BF01181075 , ISSN 0025-5874
- Beilinson, Alexander A .; Bernstein, Joseph ; Deligne, Pierre (1982), "Faisceaux pervers", Análisis y topología de espacios singulares, I (Luminy, 1981) , Astérisque, 100 , París: Société Mathématique de France , págs. 5-171, MR 0751966
- Deligne, Pierre (1971), "Formes modulaires et représentations l-adiques", Séminaire Bourbaki vol. 1968/69 Exposés 347-363 , Lecture Notes in Mathematics, 179 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0058801 , ISBN 978-3-540-05356-9
- Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 (43): 273–307, doi : 10.1007 / BF02684373 , ISSN 1618-1913 , MR 0340258
- Deligne, Pierre , ed. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5) , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 569 , Berlín: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0091516 , ISBN 978-0-387-08066-6, archivado desde el original el 15 de mayo de 2009 , consultado el 3 de febrero de 2010
- Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil. II" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi : 10.1007 / BF02684780 , ISSN 1618-1913 , MR 0601520
- Deligne, Pierre ; Katz, Nicholas (1973), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. II , Lecture Notes in Mathematics, vol. 340, 340 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0060505 , ISBN 978-3-540-06433-6, MR 0354657
- Dwork, Bernard (1960), "Sobre la racionalidad de la función zeta de una variedad algebraica", American Journal of Mathematics , American Journal of Mathematics, vol. 82, No. 3, 82 (3): 631–648, doi : 10.2307 / 2372974 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372974 , MR 0140494
- Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étale cohomology and the Weil conjecture , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)], 13 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-02541-3 , ISBN 978-3-540-12175-6, MR 0926276
- Grothendieck, Alexander (1960), "La teoría de la cohomología de las variedades algebraicas abstractas" , Proc. Internat. Congreso de Matemáticas. (Edimburgo, 1958) , Cambridge University Press , págs. 103-118, MR 0130879
- Grothendieck, Alexander (1995) [1965], "Formule de Lefschetz et racionalité des fonctions L", Séminaire Bourbaki , 9 , París: Société Mathématique de France , págs. 41–55, MR 1608788
- Grothendieck, Alexander (1972), Groupes de monodromie en géométrie algébrique. I , Lecture Notes in Mathematics, vol. 288, 288 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0068688 , ISBN 978-3-540-05987-5, MR 0354656
- Katz, Nicholas M. (1976), "Una visión general de la prueba de Deligne de la hipótesis de Riemann para variedades sobre campos finitos", Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert , Proc. Simpos. Pure Math., XXVIII , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 275-305, MR 0424822
- Katz, Nicholas (2001), "Funciones L y monodromía: cuatro conferencias sobre Weil II" , Advances in Mathematics , 160 (1): 81-132, doi : 10.1006 / aima.2000.1979 , MR 1831948
- Katz, Nicholas M .; Messing, William (1974), "Algunas consecuencias de la hipótesis de Riemann para variedades sobre campos finitos", Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23 ... 73K , doi : 10.1007 / BF01405203 , ISSN 0020- 9910 , MR 0332791
- Kedlaya, Kiran S. (2006), "Transformaciones de Fourier y p -ádico 'Weil II ' ", Compositio Mathematica , 142 (6): 1426–1450, arXiv : math / 0210149 , doi : 10.1112 / S0010437X06002338 , ISSN 0010-437X , MR 2278753
- Kiehl, Reinhardt; Weissauer, Rainer (2001), Conjeturas de Weil , haces perversos y transformada l'adic de Fourier , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Una serie de encuestas modernas en matemáticas [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas. 3ra Serie. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 42 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-04576-3 , ISBN 978-3-540-41457-5, MR 1855066
- Kleiman, Steven L. (1968), "Los ciclos algebraicos y las conjeturas de Weil", Dix esposés sur la cohomologie des schémas , Amsterdam: North-Holland, págs. 359–386, MR 0292838
- Langlands, Robert P. (1970), "Problemas en la teoría de formas automórficas" , Conferencias sobre análisis y aplicaciones modernas, III , Lecture Notes in Math, 170 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 18–61, doi : 10.1007 / BFb0079065 , ISBN 978-3-540-05284-5, MR 0302614
- Laumon, Gérard (1987), "Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles et conjecture de Weil" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 65 (65): 131–210, doi : 10.1007 / BF02698937 , ISSN 1618-1913 , Señor 0908218
- Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique , Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (en francés), París: Gauthier-Villars Reimpreso en Lefschetz, Solomon (1971), artículos seleccionados , Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 978-0-8284-0234-7, MR 0299447
- Mazur, Barry (1974), "Autovalores de Frobenius actuando sobre variedades algebraicas sobre campos finitos", en Hartshorne, Robin (ed.), Geometría algebraica, Arcata 1974 , Actas de simposios en matemáticas puras, 29 , ISBN 0-8218-1429-X
- Moreno, O. (2001) [1994], "Bombieri-Weil bound" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Rankin, Robert A .; Hardy, GH (1939), "Contribuciones a la teoría de la función de Ramanujan τ y funciones aritméticas similares. II. El orden de los coeficientes de Fourier de las formas modulares integrales", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 35 (3): 357-372 , Código Bib : 1939PCPS ... 35..357R , doi : 10.1017 / S0305004100021101 , MR 0000411
- Serre, Jean-Pierre (1960), "Analogues kählériens de certaines conjectures de Weil", Annals of Mathematics , Segunda serie, The Annals of Mathematics, vol. 71, No. 2, 71 (2): 392–394, doi : 10.2307 / 1970088 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970088 , MR 0112163
- Serre, Jean-Pierre (1975), "Valeurs propers des endomorphismes de Frobenius [d'après P. Deligne]", Séminaire Bourbaki vol. 1973/74 Exposés 436–452 , Lecture Notes in Mathematics, 431 , págs. 190–204, doi : 10.1007 / BFb0066371 , ISBN 978-3-540-07023-8
- Verdier, Jean-Louis (1974), "Indépendance par rapport a ℓ des polynômes caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie ℓ-adique", Séminaire Bourbaki vol. 1972/73 Exposés 418–435 , Lecture Notes in Mathematics, 383 , Springer Berlin / Heidelberg, págs. 98–115, doi : 10.1007 / BFb0057304 , ISBN 978-3-540-06796-2
- Weil, André (1949), "Números de soluciones de ecuaciones en campos finitos" , Boletín de la American Mathematical Society , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN 0002 -9904 , MR 0029393 Reimpreso en Oeuvres Scientifiques / Collected Papers por André Weil ISBN 0-387-90330-5
- Witten, Edward (1982), "Supersymmetry and Morse Theory" , Journal of Differential Geometry , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310 / jdg / 1214437492 , ISSN 0022-040X , MR 0683171 , archivado desde el original en 2013 -04-16