En matemáticas , la conjetura de Ramanujan , debida a Srinivasa Ramanujan ( 1916 , p.176), establece que la función tau de Ramanujan dada por los coeficientes de Fourier τ ( n ) de la forma de la cúspide Δ ( z ) de peso 12
dónde , satisface
cuando p es un número primo . La conjetura de Ramanujan generalizada o conjetura de Ramanujan-Petersson , introducida por Petersson ( 1930 ), es una generalización a otras formas modulares o automórficas.
Función L de Ramanujan
La función zeta de Riemann y la función L de Dirichlet satisfacen el producto de Euler ,
( 1 )
y debido a su propiedad completamente multiplicativa
( 2 )
¿Existen funciones L distintas de la función zeta de Riemann y las funciones L de Dirichlet que satisfagan las relaciones anteriores? De hecho, las funciones L de las formas automórficas satisfacen el producto de Euler (1) pero no satisfacen (2) porque no tienen la propiedad completamente multiplicativa. Sin embargo, Ramanujan descubrió que la función L del discriminante modular satisface la relación modificada
( 3 )
donde τ ( p ) es la función tau de Ramanujan. El termino
se piensa como la diferencia de la propiedad completamente multiplicativa. La función L anterior se llama función L de Ramanujan .
Conjetura de Ramanujan
Ramanujan conjeturó lo siguiente:
- τ es multiplicativo ,
- τ no es completamente multiplicativa pero para primer p y j en N tenemos: τ ( p j 1 ) = τ ( p ) τ ( p j ) - p 11 τ ( p j -1 ) , y
- | τ ( p ) | ≤ 2 p 11/2 .
Ramanujan observó que la ecuación cuadrática de u = p - s en el denominador de RHS de (3) ,
siempre tendría raíces imaginarias de muchos ejemplos. La relación entre raíces y coeficientes de ecuaciones cuadráticas conduce a la tercera relación, llamada conjetura de Ramanujan . Además, para la función tau de Ramanujan, sean las raíces de la ecuación cuadrática anterior α y β , entonces
que se parece a la Hipótesis de Riemann . Implica una estimación que es solo ligeramente más débil para todos los τ ( n ) , es decir, para cualquier ε > 0 :
En 1917, L. Mordell probó las dos primeras relaciones utilizando técnicas de análisis complejo, específicamente los que ahora se conocen como operadores de Hecke . El tercer enunciado se deriva de la demostración de las conjeturas de Weil de Deligne (1974) . Las formulaciones necesarias para demostrar que se trataba de una consecuencia eran delicadas y nada obvias. Fue obra de Michio Kuga con contribuciones también de Mikio Sato , Goro Shimura y Yasutaka Ihara , seguido de Deligne (1968) . La existencia de la conexión inspiró parte del trabajo profundo a fines de la década de 1960, cuando se estaban elaborando las consecuencias de la teoría de la cohomología étale .
Conjetura de Ramanujan-Petersson para formas modulares
En 1937, Erich Hecke utilizó operadores de Hecke para generalizar el método de la demostración de Mordell de las dos primeras conjeturas a la función L automórfica de los subgrupos discretos Γ de SL (2, Z ) . Para cualquier forma modular
se puede formar la serie Dirichlet
Para una forma modular f ( z ) de peso k ≥ 2 para Γ , φ ( s ) converge absolutamente en Re ( s )> k , porque a n = O ( n k −1+ ε ) . Dado que f es una forma modular de peso k , ( s - k ) φ ( s ) resulta ser un entero y R ( s ) = (2 π ) - s Γ ( s ) φ ( s ) satisface la ecuación funcional :
esto fue probado por Wilton en 1929. Esta correspondencia entre f y φ es uno a uno ( a 0 = (−1) k / 2 Res s = k R ( s ) ). Sea g ( x ) = f ( ix ) - a 0 para x > 0 , entonces g ( x ) está relacionado con R ( s ) a través de la transformación de Mellin
Esta correspondencia relaciona la serie de Dirichlet que satisface la ecuación funcional anterior con la forma automórfica de un subgrupo discreto de SL (2, Z ) .
En el caso de k ≥ 3 Hans Petersson introdujo una métrica en el espacio de formas modulares, llamada métrica de Petersson (ver también métrica de Weil-Petersson ). Esta conjetura lleva su nombre. Bajo la métrica de Petersson se muestra que podemos definir la ortogonalidad en el espacio de formas modulares como el espacio de formas de cúspide y su espacio ortogonal y tienen dimensiones finitas. Además, podemos calcular concretamente la dimensión del espacio de las formas modulares holomorfas, utilizando el teorema de Riemann-Roch (ver las dimensiones de las formas modulares ).
Deligne (1971) utilizó el isomorfismo de Eichler-Shimura para reducir la conjetura de Ramanujan a las conjeturas de Weil que luego demostró. La conjetura más general de Ramanujan-Petersson para formas de cúspide holomórficas en la teoría de formas modulares elípticas para subgrupos de congruencia tiene una formulación similar, con exponente ( k - 1) / 2 donde k es el peso de la forma. Estos resultados también se derivan de las conjeturas de Weil , excepto para el caso k = 1 , donde es un resultado de Deligne y Serre (1974) .
La conjetura de Ramanujan-Petersson para las formas de Maass todavía está abierta (a partir de 2016) porque el método de Deligne, que funciona bien en el caso holomórfico, no funciona en el caso analítico real.
Conjetura de Ramanujan-Petersson para formas automórficas
Satake (1966) reformuló la conjetura de Ramanujan-Petersson en términos de representaciones automórficas para GL (2) diciendo que los componentes locales de las representaciones automórficas se encuentran en la serie principal, y sugirió esta condición como una generalización de la conjetura de Ramanujan-Petersson a automórficas. formas en otros grupos. Otra forma de decir esto es que los componentes locales de las formas de las cúspides deben moderarse. Sin embargo, varios autores encontraron contraejemplos para grupos anisotrópicos donde el componente en el infinito no estaba templado. Kurokawa (1978) y Howe & Piatetski-Shapiro (1979) mostraron que la conjetura también era falsa incluso para algunos grupos cuasi-divididos y divididos, al construir formas automórficas para el grupo unitario U (2, 1) y el grupo simpléctico Sp ( 4) que no son templados en casi todas partes, relacionados con la representación θ 10 .
Después de que se encontraron los contraejemplos, Piatetski-Shapiro (1979) sugirió que aún debería mantenerse una reformulación de la conjetura. La formulación actual de la conjetura generalizada de Ramanujan es para una representación automórfica cuspidal genérica globalmente de un grupo reductivo conectado , donde la suposición genérica significa que la representación admite un modelo de Whittaker . Establece que cada componente local de tal representación debe ser moderado. Es una observación debida a Langlands que el establecimiento de la functorialidad de los poderes simétricos de las representaciones automórficas de GL ( n ) dará una prueba de la conjetura de Ramanujan-Petersson.
Límites hacia Ramanujan sobre campos numéricos
Obtener los mejores límites posibles hacia la conjetura generalizada de Ramanujan en el caso de los campos numéricos ha llamado la atención de muchos matemáticos. Cada mejora se considera un hito en el mundo de la teoría de números moderna . Para comprender los límites de Ramanujan para GL ( n ) , considere una representación automórfica cuspidal unitaria :
La clasificación de Bernstein-Zelevinsky nos dice que cada p-ádico π v se puede obtener mediante inducción parabólica unitaria a partir de una representación
Aquí cada uno es una representación de GL ( n i ) , sobre el lugar v , de la forma
con templado. Dado n ≥ 2 , un límite de Ramanujan es un número δ ≥ 0 tal que
La clasificación de Langlands se puede utilizar para los lugares de Arquímedes . La conjetura generalizada de Ramanujan es equivalente al límite δ = 0 .
Jacquet, Piatetski-Shapiro y Shalika (1981)δ ≤ 1/2 para el grupo lineal general GL ( n ) , conocido como límite trivial. Luo, Rudnick y Sarnak (1999) lograron un avance importante , quienes actualmente tienen el mejor límite general de δ ≡ 1/2 - ( n 2 +1) −1 para n arbitrario y cualquier campo numérico . En el caso de GL (2) , Kim y Sarnak establecieron el límite de avance de δ = 7/64 cuando el campo numérico es el campo de los números racionales , que se obtiene como consecuencia del resultado de functorialidad de Kim (2002) en el cuarto simétrico obtenido mediante el método Langlands-Shahidi . Generalizar los límites de Kim-Sarnak a un campo numérico arbitrario es posible mediante los resultados de Blomer y Brumley (2011) .
obtenga un primer límite dePara grupos reductivos distintos de GL ( n ) , la conjetura generalizada de Ramanujan se seguiría del principio de funcionalidad de Langlands . Un ejemplo importante son los grupos clásicos , donde Cogdell et al. Obtuvieron los mejores límites posibles . (2004) como consecuencia de su elevación functorial Langlands .
La conjetura de Ramanujan-Petersson sobre los campos de funciones globales
La prueba de Drinfeld de la correspondencia global de Langlands para GL (2) sobre un campo de función global conduce a una prueba de la conjetura de Ramanujan-Petersson. Lafforgue (2002) extendió con éxito la técnica shtuka de Drinfeld al caso de GL ( n ) en característica positiva. A través de una técnica diferente que extiende el método Langlands-Shahidi para incluir campos de función global, Lomelí (2009) demuestra la conjetura de Ramanujan para los grupos clásicos .
Aplicaciones
Una aplicación de la conjetura de Ramanujan es la construcción explícita de gráficos de Ramanujan por Lubotzky , Phillips y Sarnak . De hecho, el nombre "gráfico de Ramanujan" se deriva de esta conexión. Otra aplicación es que la conjetura de Ramanujan-Petersson para el grupo lineal general GL ( n ) implica la conjetura de Selberg sobre los valores propios del laplaciano para algunos grupos discretos.
Referencias
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