Resonancia de espín dipolo eléctrico

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La resonancia de espín dipolo eléctrico ( EDSR ) es un método para controlar los momentos magnéticos dentro de un material utilizando efectos mecánicos cuánticos como la interacción espín-órbita . Básicamente, EDSR permite cambiar la orientación de los momentos magnéticos mediante el uso de radiación electromagnética a frecuencias resonantes . El EDSR fue propuesto por primera vez por Emmanuel Rashba . ^[1]

El hardware de la computadora emplea la carga de electrones en los transistores para procesar la información y el momento o giro magnético del electrón para los dispositivos de almacenamiento magnético . El campo emergente de la espintrónica tiene como objetivo unificar las operaciones de estos subsistemas. Para lograr este objetivo, el espín del electrón debe ser operado por campos eléctricos. EDSR permite utilizar el componente eléctrico de los campos de CA para manipular tanto la carga como el giro.

Introducción

Los electrones libres poseen carga eléctrica y momento magnético cuyo valor absoluto es de aproximadamente un magneton de Bohr .${\displaystyle e}$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$

La resonancia de espín de electrones estándar , también conocida como resonancia paramagnética de electrones (EPR), se debe al acoplamiento del momento magnético del electrón al campo magnético externo a través del hamiltoniano que describe su precesión de Larmor . El momento magnético está relacionado con el momento angular del electrón como , donde es el factor g y es la constante de Planck reducida . Por un electrón libre en el vacío . Como el electrón es una partícula de espín ½ , el operador de espín solo puede tomar dos valores: ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g{\mu _{\rm {B}}}\mathbf {S} /\hbar }$${\displaystyle g}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle g\approx 2}$${\displaystyle \mathbf {S} =\pm \hbar /2}$. Entonces, la interacción de Larmor ha cuantificado los niveles de energía en un campo magnético independiente del tiempo, ya que la energía es igual a . De la misma manera, bajo un campo magnético de CA resonante a la frecuencia , se produce una resonancia paramagnética de electrones, es decir, la señal se absorbe fuertemente a esta frecuencia ya que produce transiciones entre los valores de espín.${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(t)}$${\displaystyle \omega _{S}=g\mu _{\rm {B}}B/\hbar }$

Acoplamiento del espín del electrón a los campos eléctricos en los átomos

En los átomos, el orbital de los electrones y la dinámica de espín están acoplados al campo eléctrico de los protones en el núcleo atómico de acuerdo con la ecuación de Dirac . Un electrón que se mueve en un campo eléctrico estático ve, según las transformaciones de Lorentz de la relatividad especial , un campo magnético complementario en el marco de referencia del electrón . Sin embargo, para electrones lentos, este campo es débil y el efecto es pequeño. Este acoplamiento se conoce como interacción espín-órbita y da correcciones a las energías atómicas sobre el orden de la constante de estructura fina al cuadrado.${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$${\displaystyle B\approx (v/c)E}$${\displaystyle v/c\ll 1}$${\displaystyle \alpha ^{2}}$, donde . Sin embargo, esta constante aparece en combinación con el número atómico como , ^[2] y este producto es mayor para átomos masivos, ya del orden de la unidad en el medio de la tabla periódica . Esta mejora del acoplamiento entre la dinámica orbital y de espín en átomos masivos se origina en la fuerte atracción hacia el núcleo y las grandes velocidades de los electrones. Si bien también se espera que este mecanismo acople el espín del electrón al componente eléctrico de los campos electromagnéticos, probablemente nunca se haya observado tal efecto en la espectroscopía atómica . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \alpha =e^{2}/\hbar c\approx 1/137}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z\alpha }$

Mecanismos básicos en cristales

Lo más importante es que la interacción espín-órbita en los átomos se traduce en un acoplamiento espín-órbita en los cristales. Se convierte en una parte esencial de la estructura de bandas de su espectro energético. La relación entre la división espín-órbita de las bandas y el gap prohibido se convierte en un parámetro que evalúa el efecto del acoplamiento espín-órbita, y genéricamente se potencia, del orden de la unidad, para materiales con iones pesados o con asimetrías específicas.

Como resultado, incluso los electrones lentos en los sólidos experimentan un fuerte acoplamiento espín-órbita. Esto significa que el hamiltoniano de un electrón en un cristal incluye un acoplamiento entre el momento del cristal de electrones y el espín del electrón. El acoplamiento al campo eléctrico externo se puede encontrar sustituyendo el momento en la energía cinética como , donde está el potencial del vector magnético , como lo requiere la invariancia de calibre del electromagnetismo. La sustitución se conoce como sustitución de Peierls . Por lo tanto, el campo eléctrico se acopla al espín del electrón y su manipulación puede producir transiciones entre los valores de espín.${\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }$${\displaystyle \mathbf {k} \rightarrow \mathbf {k} -(e/\hbar c)\mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\partial \mathbf {A} /\partial t}$

Teoría

La resonancia de espín de dipolo eléctrico es la resonancia de espín de electrones impulsada por un campo eléctrico de CA resonante . Debido a que la longitud de Compton , que ingresa al magneton de Bohr y controla el acoplamiento del espín del electrón al campo magnético de CA , es mucho más corta que todas las longitudes características de la física del estado sólido , el EDSR puede ser en órdenes de magnitud más fuerte que el EPR impulsado por un campo magnético de CA . EDSR suele ser más fuerte en materiales sin el centro de inversión donde se eleva la degeneración doble del espectro de energía y los hamiltonianos simétricos en el tiempo incluyen productos de las matrices de Pauli relacionadas con el espín , como , y poderes impares del momento cristalino. ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {C}}=\hbar /mc\approx 4\times 10^{-11}\mathrm {cm} }$${\displaystyle \mu _{\rm {B}}=e\lambda _{\rm {C}}/2}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle \mathbf {S} =(\hbar /2)\mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mathbf {k} }$. En tales casos, el espín del electrón está acoplado al vector-potencial del campo electromagnético. Sorprendentemente, la EDSR en electrones libres se puede observar no solo en la frecuencia de resonancia de espín, sino también en sus combinaciones lineales con la frecuencia de resonancia del ciclotrón . En semiconductores de espacio estrecho con centro de inversión, EDSR puede surgir debido al acoplamiento directo del campo eléctrico a la coordenada anómala .${\displaystyle {\tilde {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle \omega _{S}}$${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{\rm {SO}}}$

Se permite EDSR tanto con portadores libres como con electrones unidos a defectos. Sin embargo, para las transiciones entre estados enlazados conjugados de Kramers, su intensidad es suprimida por un factor donde es la separación entre niveles adyacentes del movimiento orbital.${\displaystyle \hbar \omega _{S}/\Delta E}$${\displaystyle \Delta E}$

Teoría simplificada y mecanismo físico.

Como se indicó anteriormente, varios mecanismos de EDSR operan en diferentes cristales. El mecanismo de su eficiencia genéricamente alta se ilustra a continuación aplicado a electrones en semiconductores de espacio directo del tipo InSb. Si la división espín-órbita de los niveles de energía es comparable a la brecha prohibida , la masa efectiva de un electrón y su factor g pueden evaluarse en el marco del esquema de Kane, ^{[3] [4]} ver teoría de perturbación k · p .${\displaystyle \Delta _{\rm {so}}}$${\displaystyle E_{\rm {G}}}$${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle m^{*}\approx {\frac {\hbar ^{2}E_{\rm {G}}}{P^{2}}},\,\,\,|g|\approx {\frac {m_{0}P^{2}}{\hbar ^{2}E_{\rm {G}}}}}$,

donde es un parámetro de acoplamiento entre el electrón y las bandas de valencia, y es la masa del electrón en el vacío.${\displaystyle P\approx 10{\text{ eV}}\mathrm {\AA} }$${\displaystyle m_{0}}$

Eligiendo el mecanismo de acoplamiento espín-órbita basado en la coordenada anómala bajo la condición:, tenemos${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{\rm {so}}}}$${\displaystyle \Delta _{\rm {so}}\approx E_{G}}$

${\displaystyle r_{\rm {so}}\approx {\frac {\hbar ^{2}|g|k}{m_{0}E_{\rm {G}}}}}$,

donde está el impulso del cristal de electrones. Entonces la energía de un electrón en un campo eléctrico de CA es${\displaystyle k}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle U=e\;r_{\rm {so}}{\tilde {E}}\approx e{\tilde {E}}{\frac {P^{2}}{E_{\rm {G}}^{2}}}k\approx e{\tilde {E}}{\frac {\hbar ^{2}k}{m^{*}E_{\rm {G}}}}.}$

Un electrón que se mueve en el vacío con una velocidad en un campo eléctrico de CA ve, según la transformación de Lorentz, un campo magnético efectivo . Su energía en este campo${\displaystyle \hbar k/m_{0}}$${\displaystyle {\tilde {E}}}$${\displaystyle {\tilde {B}}={v/c}{\tilde {E}}}$

${\displaystyle U_{v}=\mu _{\rm {B}}{\tilde {B}}=e{\tilde {E}}{\frac {\hbar ^{2}k}{m_{0}^{2}c^{2}}},}$

La proporción de estas energías

${\displaystyle {\frac {U}{U_{v}}}\approx {\frac {m_{0}}{m^{*}}}{\frac {m_{0}c^{2}}{E_{\rm {G}}}}}$.

Esta expresión muestra explícitamente de dónde proviene el predominio de EDSR sobre la resonancia paramagnética de electrones . El numerador del segundo factor es la mitad de la brecha de Dirac mientras que es de escala atómica, 1eV. El mecanismo físico detrás de la mejora se basa en el hecho de que dentro de los cristales los electrones se mueven en un fuerte campo de núcleos, y en el medio de la tabla periódica el producto del número atómico y la constante de estructura fina es del orden de la unidad, y es este producto el que juega el papel de constante de acoplamiento efectivo, cf. acoplamiento giro-órbita. Sin embargo, se debe tener en cuenta que los argumentos anteriores basados ​​en la masa efectiva${\displaystyle m_{0}c^{2}\approx 0.5\mathrm {MeV} }$${\displaystyle E_{\rm {G}}}$${\displaystyle E_{\rm {G}}\approx }$${\displaystyle Z\;\alpha }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \alpha }$La aproximación no es aplicable a los electrones localizados en centros profundos de la escala atómica. Para ellos, el EPR suele ser el mecanismo dominante.

Mecanismo de acoplamiento Zeeman no homogéneo

Los mecanismos anteriores de acoplamiento espín-órbita en sólidos se originaron a partir de la interacción de Thomas y las matrices de espín acopladas al momento electrónico . Sin embargo, la interacción Zeeman${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\bf {k}}}$

${\displaystyle H_{\rm {Z}}({\bf {r}})=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$

en un campo magnético no homogéneo se produce un mecanismo diferente de interacción espín-órbita mediante el acoplamiento de las matrices de Pauli a la coordenada electrónica . El campo magnético puede ser tanto un campo macroscópico no homogéneo como un campo microscópico de oscilación rápida dentro de ferro o antiferromagnetos que cambian a la escala de una constante de red. ^{[5] [6]}${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\bf {r}}}$

Experimentar

La EDSR se observó por primera vez de forma experimental con portadores libres en antimonuro de indio (InSb), un semiconductor con un fuerte acoplamiento espín-órbita. Las observaciones realizadas bajo diferentes condiciones experimentales permitieron demostrar e investigar varios mecanismos de EDSR. En un material sucio, Bell ^[7] observó una línea EDSR de frecuencia estrecha con movimiento sobre un fondo de una amplia banda de resonancia de ciclotrón . MacCombe y col. ^[8] trabajando con InSb de alta calidad observada EDSR isotrópica impulsada por el mecanismo a la frecuencia combinatoria donde está la frecuencia del ciclotrón. Banda EDSR fuertemente anisotrópica debido al acoplamiento de giro-órbita de Dresselhaus de inversión-asimetría${\displaystyle \omega _{S}}$${\displaystyle (\mathbf {r} _{\rm {so}}\cdot {\tilde {\mathbf {E} }})}$${\displaystyle \omega _{\rm {C}}+\omega _{S}}$${\displaystyle \omega _{\rm {C}}}$${\displaystyle k^{3}}$ fue observado en InSb a la frecuencia spin-flip por Dobrowolska et al. ^[9] El acoplamiento espín-órbita en n -Ge que se manifiesta a través del factor g de electrones fuertemente anisotrópicos da como resultado EDSR al romper la simetría de traslación por campos eléctricos no homogéneos que mezclan funciones de onda de diferentes valles. ^[10] La EDSR infrarroja observada en semiconductores semimagnéticos Cd Mn Se ^[11] se atribuyó ^[12] al acoplamiento espín-órbita a través de un campo de intercambio no homogéneo. Se observó y estudió EDSR con portadores de carga libres y atrapados en una gran variedad de sistemas tridimensionales (3D), incluidas las dislocaciones en Si, ^[13]${\displaystyle \omega _{S}}$${\displaystyle _{1-x}}$${\displaystyle _{x}}$un elemento con un acoplamiento espín-órbita notoriamente débil. Todos los experimentos anteriores se realizaron en la mayor parte de los sistemas tridimensionales (3D).

Aplicaciones

Se esperan aplicaciones principales de EDSR en computación cuántica y espintrónica de semiconductores, actualmente enfocados en sistemas de baja dimensión. Uno de sus principales objetivos es la manipulación rápida de espines de electrones individuales a escala nanométrica, por ejemplo, en puntos cuánticos de aproximadamente 50 nm de tamaño. Estos puntos pueden servir como qubits de circuitos de computación cuántica. Los campos magnéticos dependientes del tiempo prácticamente no pueden abordar los espines de electrones individuales a tal escala, pero los espines individuales pueden abordarse bien mediante campos eléctricos dependientes del tiempo producidos por puertas a nanoescala. Todos los mecanismos básicos de EDSR enumerados anteriormente operan en puntos cuánticos, ^[14] pero en los compuestos A B también el acoplamiento hiperfino${\displaystyle _{3}}$${\displaystyle _{5}}$de espines de electrones a espines nucleares juega un papel esencial. ^{[15] [16] [17]} Para lograr qubits rápidos operados por EDSR ^[18] se necesitan nanoestructuras con fuerte acoplamiento espín-órbita. Para el acoplamiento órbita-giro Rashba

${\displaystyle H_{\rm {R}}=\alpha _{\rm {R}}(\sigma _{x}k_{y}-\sigma _{y}k_{x})}$,

la fuerza de la interacción se caracteriza por el coeficiente . En los cables cuánticos de InSb ya se ha alcanzado la magnitud de la escala atómica de aproximadamente 1 eV . ^[19] Una forma diferente de lograr qubits de espín rápido basados ​​en puntos cuánticos operados por EDSR es utilizando nanoimanes que producen campos magnéticos no homogéneos. ^[20]${\displaystyle \alpha _{\rm {R}}}$${\displaystyle \alpha _{\rm {R}}}$${\displaystyle \mathrm {\AA} }$

Ver también

• Fina estructura electrónica
• Efecto Stark
• Efecto Zeeman

Referencias

1. EI Rashba , ciclotrón y resonancias combinadas en un campo perpendicular, Sov. Phys. Estado sólido 2 , 1109-1122 (1960)
2. LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica cuántica, teoría no relativista (Addison-Wesley, lectura) 1958,72${\displaystyle \S }$
3. Kane, Evan O. (1957). "Estructura de bandas de antimonuro de indio". Revista de Física y Química de Sólidos . 1 (4): 249–261. Código bibliográfico : 1957JPCS .... 1..249K . doi : 10.1016 / 0022-3697 (57) 90013-6 . ISSN  0022-3697 .
4. Roth, Laura M .; Laxo, Benjamín; Zwerdling, Solomon (1959). "Teoría de los efectos de la magnetoabsorción óptica en semiconductores". Revisión física . 114 (1): 90-104. Código Bibliográfico : 1959PhRv..114 ... 90R . doi : 10.1103 / PhysRev.114.90 . ISSN 0031-899X . 
5. SI Pekar; EI Rashba (1965). "Resonancia combinada en cristales en campos magnéticos no homogéneos" (PDF) . Física soviética JETP . 20 (5): 1295.
6. Rashba, EI (2005). "Spin Dynamics y Spin Transport". Revista de superconductividad . 18 (2): 137-144. arXiv : cond-mat / 0408119 . Código bibliográfico : 2005JSup ... 18..137R . doi : 10.1007 / s10948-005-3349-8 . ISSN 0896-1107 . S2CID 55016414 .  
7. Bell, RL (1962). "Transiciones de espín dipolo eléctrico en InSb". Cartas de revisión física . 9 (2): 52–54. Código Bibliográfico : 1962PhRvL ... 9 ... 52B . doi : 10.1103 / PhysRevLett.9.52 . ISSN 0031-9007 . 
8. McCombe, BD; Bishop, SG; Kaplan, R. (1967). "Resonancia combinada y ElectrongValues ​​en InSb". Cartas de revisión física . 18 (18): 748–750. Código bibliográfico : 1967PhRvL..18..748M . doi : 10.1103 / PhysRevLett.18.748 . ISSN 0031-9007 . 
9. Dobrowolska, M .; Chen, Y .; Furdyna, JK; Rodríguez, S. (1983). "Efectos de la inversión de la cantidad de movimiento de los fotones y del campo magnético en la resonancia de espín dipolo eléctrico del infrarrojo lejano en InSb". Cartas de revisión física . 51 (2): 134-137. Código Bibliográfico : 1983PhRvL..51..134D . doi : 10.1103 / PhysRevLett.51.134 . ISSN 0031-9007 . 
10. EM Gershenzon, NM Pevin, IT Semenov y MS Fogelson, Excitación de dipolo eléctrico de resonancia de giro en n compensado-Tipo Ge, Física-Semiconductores soviéticos 10 , 104-105 (1976).
11. Dobrowolska, M .; Witowski, A .; Furdyna, JK; Ichiguchi, T .; Drew, HD; Wolff, PA (1984). "Observación del infrarrojo lejano de la resonancia del espín del dipolo eléctrico de los electrones donantes en Cd1 − xMnxSe". Physical Review B . 29 (12): 6652–6663. doi : 10.1103 / PhysRevB.29.6652 . ISSN 0163-1829 . 
12. Khazan, LS; Rubo, Yu. GRAMO.; Sheka, VI (1993). "Transiciones de espín óptico inducidas por intercambio en semiconductores semimagnéticos". Physical Review B . 47 (20): 13180-13188. Código Bibliográfico : 1993PhRvB..4713180K . doi : 10.1103 / PhysRevB.47.13180 . ISSN 0163-1829 . PMID 10005622 .  
13. VV Kveder; V. Ya. Kravchenko; TR Mchedlidze; Yu. A. Osip'yan; DE Khmel'nitskii; AI Shalynin (1986). "Resonancia combinada en dislocaciones en silicio" (PDF) . Cartas JETP . 43 (4): 255.
14. Kloeffel, Christoph; Pérdida, Daniel (2013). "Perspectivas de la computación cuántica basada en espines en puntos cuánticos". Revisión anual de la física de la materia condensada . 4 (1): 51–81. arXiv : 1204.5917 . Código bibliográfico : 2013ARCMP ... 4 ... 51K . doi : 10.1146 / annurev-conmatphys-030212-184248 . ISSN 1947-5454 . S2CID 118576601 .  
15. Laird, EA; Barthel, C .; Rashba, EI; Marcus, CM; Hanson, diputado; Gossard, AC (2007). "Resonancia de espín de electrones impulsada por puerta hiperfina-mediada". Cartas de revisión física . 99 (24): 246601. arXiv : 0707.0557 . Código Bibliográfico : 2007PhRvL..99x6601L . doi : 10.1103 / PhysRevLett.99.246601 . ISSN 0031-9007 . PMID 18233467 . S2CID 6836173 .   
16. Rashba, Emmanuel I. (2008). "Teoría de la resonancia de espín dipolo eléctrico en puntos cuánticos: teoría del campo medio con fluctuaciones gaussianas y más allá". Physical Review B . 78 (19): 195302. arXiv : 0807.2624 . Código Bibliográfico : 2008PhRvB..78s5302R . doi : 10.1103 / PhysRevB.78.195302 . ISSN 1098-0121 . S2CID 31087805 .  
17. Shafiei, M .; Nowack, KC; Reichl, C .; Wegscheider, W .; Vandersypen, LMK (2013). "Resolución de resonancia de espín dipolo eléctrico mediada por giro-órbita e hiperfina en un punto cuántico". Cartas de revisión física . 110 (10): 107601. arXiv : 1207.3331 . Código bibliográfico : 2013PhRvL.110j7601S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.107601 . ISSN 0031-9007 . PMID 23521296 . S2CID 12331987 .   
18. van den Berg, JWG; Nadj-Perge, S .; Pribiag, VS; Plissard, SR; Bakkers, EPAM; Frolov, SM; Kouwenhoven, LP (2013). "Qubit de giro rápido-órbita en un nanocable de antimonuro de indio". Cartas de revisión física . 110 (6): 066806. arXiv : 1210.7229 . Código Bibliográfico : 2013PhRvL.110f6806V . doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.066806 . ISSN 0031-9007 . PMID 23432291 . S2CID 20036880 .   
19. van Weperen, I .; Tarasinski, B .; Eeltink, D .; Pribiag, VS; Plissard, SR; Bakkers, EPAM; Kouwenhoven, LP; Wimmer, M. (2015). "Interacción espín-órbita en nanocables InSb". Physical Review B . 91 (20): 201413. arXiv : 1412.0877 . Código bibliográfico : 2015PhRvB..91t1413V . doi : 10.1103 / PhysRevB.91.201413 . ISSN 1098-0121 . S2CID 53477096 .  
20. Yoneda, junio; Otsuka, Tomohiro; Takakura, Tatsuki; Pioro-Ladrière, Michel; Brunner, Roland; Lu, Hong; Nakajima, Takashi; Obata, Toshiaki; Noiri, Akito; Palmstrøm, Christopher J .; Gossard, Arthur C .; Tarucha, Seigo (2015). "Diseño robusto de microimán para manipulaciones eléctricas rápidas de espines individuales en puntos cuánticos". Física Aplicada Express . 8 (8): 084401. arXiv : 1507.01765 . Código Bibliográfico : 2015APExp ... 8h4401Y . doi : 10.7567 / APEX.8.084401 . ISSN 1882-0778 . S2CID 118103069 .  

Otras lecturas

• Yafet, Y. (1963). "Factores g y relajación Spin-Lattice de electrones de conducción". Física del estado sólido . 14 : 1–98. doi : 10.1016 / S0081-1947 (08) 60259-3 . ISBN 9780126077148. ISSN  0081-1947 .
• Rashba, EI; Sheka, VI (1991). "Resonancias de espín dipolo eléctrico". Problemas modernos en ciencias de la materia condensada . 27 : 131-206. arXiv : 1812.01721 . doi : 10.1016 / B978-0-444-88535-7.50011-X . ISBN 9780444885357. ISSN  0167-7837 . S2CID  118971637 .
• GL Bir; GE Pikus (1975). Efectos inducidos por la simetría y la deformación en semiconductores . Nueva York: Wiley. ISBN 978-0470073216.