Grupo de Steinberg (teoría K)

En la teoría K algebraica , un campo de las matemáticas , el grupo de Steinberg de un anillo es la extensión central universal del subgrupo de conmutadores del grupo lineal general estable de .${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Lleva el nombre de Robert Steinberg y está relacionado con los grupos inferiores${\displaystyle K}$ , en particular y .${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K_{3}}$

Definición

De manera abstracta, dado un anillo , el grupo de Steinberg es la extensión central universal del subgrupo de conmutadores del grupo lineal general estable (el subgrupo de conmutadores es perfecto y, por lo tanto, tiene una extensión central universal).${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$

Presentación usando generadores y relaciones

Una presentación concreta usando generadores y relaciones es la siguiente. Matrices elementales , es decir, matrices de la forma , donde está la matriz de identidad, es la matriz con en la entrada y ceros en el resto, y satisfacen las siguientes relaciones, llamadas relaciones de Steinberg :${\displaystyle {e_{pq}}(\lambda ):=\mathbf {1} +{a_{pq}}(\lambda )}$${\displaystyle \mathbf {1} }$${\displaystyle {a_{pq}}(\lambda )}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle p\neq q}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{ij}(\lambda )e_{ij}(\mu )&=e_{ij}(\lambda +\mu );&&\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{jk}(\mu )\right]&=e_{ik}(\lambda \mu ),&&{\text{for }}i\neq k;\\\left[e_{ij}(\lambda ),e_{kl}(\mu )\right]&=\mathbf {1} ,&&{\text{for }}i\neq l{\text{ and }}j\neq k.\end{aligned}}}$

El inestable grupo de Steinberg de orden sobre , denotado por , está definido por los generadores , donde y , estos generadores están sujetos a las relaciones de Steinberg. El grupo estable de Steinberg , denotado por , es el límite directo del sistema . También se puede considerar como el grupo de Steinberg de orden infinito.${\displaystyle r}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)}$${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )}$${\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}$${\displaystyle \lambda \in A}$${\displaystyle \operatorname {St} (A)}$${\displaystyle {\operatorname {St} _{r}}(A)\to {\operatorname {St} _{r+1}}(A)}$

El mapeo produce un homomorfismo de grupo . Como las matrices elementales generan el subgrupo de conmutadores , este mapeo es sobreyectivo en el subgrupo de conmutadores.${\displaystyle {x_{ij}}(\lambda )\mapsto {e_{ij}}(\lambda )}$ ${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$

La interpretación como grupo fundamental

El grupo Steinberg es el grupo fundamental del espacio Volodin , que es la unión de espacios clasificadores de los subgrupos unipotentes de GL ( A ).

Relación con la teoría K

K ₁

${\displaystyle {K_{1}}(A)}$es el cokernel del mapa , al igual que la abelianización de y el mapeo es sobreyectivo en el subgrupo del conmutador.${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$${\displaystyle \varphi }$

K ₂

${\displaystyle {K_{2}}(A)}$es el centro del grupo Steinberg. Esta fue la definición de Milnor, y también se sigue de definiciones más generales de grupos superiores .${\displaystyle K}$

También es el núcleo del mapeo . De hecho, hay una secuencia exacta${\displaystyle \varphi :\operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)}$

${\displaystyle 1\to {K_{2}}(A)\to \operatorname {St} (A)\to {\operatorname {GL} _{\infty }}(A)\to {K_{1}}(A)\to 1.}$

De manera equivalente, es el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales , por lo que también es un grupo de homología: .${\displaystyle {K_{2}}(A)={H_{2}}(E(A);\mathbb {Z} )}$

K ₃

Gersten (1973) demostró eso .${\displaystyle {K_{3}}(A)={H_{3}}(\operatorname {St} (A);\mathbb {Z} )}$

Referencias

• Gersten, SM (1973), " of a Ring is of the Steinberg Group", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 37 (2): 366–368, doi : 10.2307 / 2039440 , JSTOR 2039440${\displaystyle K_{3}}$${\displaystyle H_{3}}$ 

• Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría algebraica${\displaystyle K}$ , Anales de estudios matemáticos, 72 , Princeton University Press , MR  0349811

• Steinberg, Robert (1968), Conferencias sobre grupos de Chevalley , Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, MR  0466335 , archivado desde el original el 10 de septiembre de 2012