En álgebra conmutativa y geometría algebraica , la teoría de la eliminación es el nombre clásico de los enfoques algorítmicos para eliminar algunas variables entre polinomios de varias variables, con el fin de resolver sistemas de ecuaciones polinómicas .
La teoría de la eliminación clásica culminó con el trabajo de Macaulay sobre las resultantes multivariadas y su descripción en el capítulo Teoría de la eliminación de las primeras ediciones (1930) del Álgebra Moderna de van der Waerden . Después de eso, la mayoría de los geómetras algebraicos ignoraron la teoría de la eliminación durante casi treinta años, hasta la introducción de nuevos métodos para resolver ecuaciones polinomiales, como las bases de Gröbner , que eran necesarias para el álgebra computacional .
Historia y conexión con las teorías modernas.
El campo de la teoría de la eliminación fue motivado por la necesidad de métodos para resolver sistemas de ecuaciones polinomiales .
Uno de los primeros resultados fue el teorema de Bézout , que acota el número de soluciones (en el caso de dos polinomios en dos variables en el tiempo de Bézout).
Excepto por el teorema de Bézout, el enfoque general fue eliminar variables para reducir el problema a una sola ecuación en una variable.
El caso de las ecuaciones lineales se resolvió completamente por eliminación gaussiana , donde el método más antiguo de la regla de Cramer no procede por eliminación y funciona solo cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables. Durante el siglo XIX, esto se ha extendido a las ecuaciones diofánticas lineales y al grupo abeliano con la forma normal de Hermite y la forma normal de Smith .
Antes del siglo XX, se introdujeron diferentes tipos de eliminadores , incluidos los resultantes , y varios tipos de discriminantes . En general, estas eliminaciones también son invariantes y también son fundamentales en la teoría invariante .
Todos estos conceptos son efectivos, en el sentido de que su definición incluye un método de cálculo. Alrededor de 1890, David Hilbert introdujo métodos no efectivos, y esto fue visto como una revolución, que llevó a la mayoría de los geómetras algebraicos de la primera mitad del siglo XX a intentar "eliminar la eliminación". No obstante , se puede considerar que el Nullstellensatz de Hilbert pertenece a la teoría de la eliminación, ya que afirma que un sistema de ecuaciones polinomiales no tiene ninguna solución si y solo una puede eliminar todas las incógnitas para obtener 1.
La teoría de la eliminación culminó con el trabajo de Kronecker y, finalmente, FS Macaulay , quien introdujo las resultantes multivariadas y las resultantes U , proporcionando métodos de eliminación completos para sistemas de ecuaciones polinómicas, que se han descrito en el capítulo Teoría de la eliminación de las primeras ediciones (1930). del Álgebra Moderna de van der Waerden .
Después de eso, la teoría de la eliminación ha sido considerada anticuada, eliminada de las próximas ediciones de Moderne Algebra , y generalmente ignorada, hasta la introducción de las computadoras , y más específicamente del álgebra computacional , que planteó el problema de diseñar algoritmos de eliminación que sean lo suficientemente eficientes para siendo implementado. Los principales métodos para esta renovación de la teoría de la eliminación son las bases de Gröbner y la descomposición algebraica cilíndrica , que se introdujeron alrededor de 1970.
Conexión a la lógica
También hay una faceta lógica en la teoría de la eliminación, como se ve en el problema de satisfacibilidad booleano . En el peor de los casos, presumiblemente es difícil eliminar variables computacionalmente. La eliminación del cuantificador es un término utilizado en lógica matemática para explicar que, en algunas teorías, toda fórmula es equivalente a una fórmula sin cuantificador. Este es el caso de la teoría de polinomios sobre un campo algebraicamente cerrado , donde la teoría de eliminación puede verse como la teoría de los métodos para hacer que la eliminación de cuantificadores sea algorítmicamente efectiva. La eliminación del cuantificador sobre los reales es otro ejemplo, que es fundamental en la geometría algebraica computacional .
Ver también
Referencias
- Israel Gelfand , Mikhail Kapranov, Andrey Zelevinsky , Discriminantes, resultantes y determinantes multidimensionales . Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1994. x + 523 págs. ISBN 0-8176-3660-9
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
- David Cox, John Little, Donal O'Shea, Uso de geometría algebraica . Segunda edición revisada. Textos de Posgrado en Matemáticas , vol. 185. Springer-Verlag , 2005, xii + 558 págs., ISBN 978-0-387-20733-9