En geometría algebraica , el teorema principal de la teoría de la eliminación establece que todo esquema proyectivo es adecuado . Una versión de este teorema es anterior a la existencia de la teoría de esquemas . Puede enunciarse, probarse y aplicarse en el siguiente escenario más clásico. Sea k un campo , denotado porel espacio proyectivo n- dimensional sobre k . El principal teorema de la teoría de la eliminación es el enunciado de que para cualquier n y cualquier variedad algebraica V definida sobre k , el mapa de proyección envía subconjuntos cerrados con Zariski a subconjuntos cerrados con Zariski.
El principal teorema de la teoría de la eliminación es un corolario y una generalización de la teoría de la resultante multivariada de Macaulay . La resultante de n polinomios homogéneos en n variables es el valor de una función polinomial de los coeficientes, que toma el valor cero si y solo si los polinomios tienen un cero común no trivial sobre algún campo que contiene los coeficientes.
Esto pertenece a la teoría de la eliminación , ya que calcular las cantidades resultantes para eliminar variables entre ecuaciones polinómicas. De hecho, dado un sistema de ecuaciones polinomiales , que es homogéneo en algunas variables, la resultante elimina estas variables homogéneas al proporcionar una ecuación en las otras variables, que tiene, como soluciones, los valores de estas otras variables en las soluciones del original. sistema.
Un simple ejemplo motivador
El plano afín sobre un campo k es el producto directo de dos copias de k . Dejar
ser la proyección
Esta proyección no está cerrada para la topología de Zariski (ni para la topología habitual si o ), porque la imagen de de la hipérbola H de la ecuación es que no es cerrada, aunque H sí lo es, siendo una variedad algebraica .
Si uno se extiende a una línea proyectiva la ecuación de la terminación proyectiva de la hipérbola se convierte en
y contiene
dónde es la prolongación de a
Esto se expresa comúnmente diciendo que el origen del plano afín es la proyección del punto de la hipérbola que está en el infinito, en la dirección del eje y .
De manera más general, la imagen de de cada conjunto algebraico en es un número finito de puntos, o con un número finito de puntos eliminados, mientras que la imagen de de cualquier conjunto algebraico en es un número finito de puntos o la línea completa De ello se deduce que la imagen de de cualquier conjunto algebraico es un conjunto algebraico, es decir, es un mapa cerrado para la topología de Zariski.
El principal teorema de la teoría de la eliminación es una amplia generalización de esta propiedad.
Formulación clásica
Para enunciar el teorema en términos de álgebra conmutativa , se debe considerar un anillo polinomial sobre un anillo noetheriano conmutativo R , y un ideal homogéneo I generado por polinomios homogéneos (En la demostración original de Macaulay , k era igual an , y R era un anillo polinomial sobre los enteros, cuyos indeterminados eran todos los coeficientes de la)
Cualquier homomorfismo de anillo de R a un campo K , define un homomorfismo de anillo (también denotado ), aplicando a los coeficientes de los polinomios.
El teorema es: hay un ideal en R , determinado únicamente por I , de modo que, para cada homomorfismo de anillode R a un campo K , los polinomios homogéneostener un cero común no trivial (en un cierre algebraico de K ) si y solo si
Es más, si k < n , yes principal si k = n . En este último caso, un generador dese llama la resultante de
Usando la notación anterior, primero hay que caracterizar la condición que no tienen ningún cero común no trivial. Este es el caso si el ideal homogéneo máximo es el único ideal primo homogéneo que contiene Nullstellensatz de Hilbert afirma que este es el caso si y solo si contiene un poder de cada o, de manera equivalente, que para algún entero positivo d .
Para este estudio, Macaulay introdujo una matriz que ahora se llama matriz de Macaulay en grado d . Sus filas están indexadas por los monomios de grado d eny sus columnas son los vectores de los coeficientes sobre la base monomial de los polinomios de la formadonde m es un monomio de grado Uno tiene si y solo si el rango de la matriz de Macaulay es igual al número de sus filas.
Si k < n , el rango de la matriz de Macaulay es menor que el número de sus filas para cada d , y, por lo tanto, tener siempre un cero común no trivial.
De lo contrario, deja ser el grado de y supongamos que los índices se eligen para que El grado
se llama grado de Macaulay o límite de Macaulay porque Macaulay ha demostrado quetener un cero común no trivial si y solo si el rango de la matriz de Macaulay en el grado D es menor que el número de sus filas. En otras palabras, lo anterior d puede elegirse una vez para todos como igual a D .
Por tanto, el ideal cuya existencia está afirmado por el teorema principal de la teoría de la eliminación, es el ideal cero si k < n , y, de lo contrario, se genera por los menores máximas de la matriz Macaulay en grado D .
Si k = n , Macaulay también ha demostrado quees un ideal principal (aunque la matriz de Macaulay en grado D no es una matriz cuadrada cuando k > 2 ), que se genera por la resultante deEste ideal también es genéricamente un ideal primo , ya que es primo si R es el anillo de polinomios enteros con todos los coeficientes de como indeterminados.
Interpretación geométrica
En la formulación anterior, el anillo polinomial define un morfismo de esquemas (que son variedades algebraicas si R se genera finitamente sobre un campo)
El teorema afirma que la imagen del conjunto cerrado de Zariski V ( I ) definido por I es el conjunto cerrado V ( r ) . Así se cierra el morfismo.
Ver también
Referencias
- Mumford, David (1999). El Libro Rojo de Variedades y Esquemas . Saltador. ISBN 9783540632931.
- Eisenbud, David (2013). Álgebra conmutativa: con miras a la geometría algebraica . Saltador. ISBN 9781461253501.
- Milne, James S. (2014). "El trabajo de John Tate". Premio Abel 2008-2012 . Saltador. ISBN 9783642394492.