Finito | |
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E 3 = UNA 2 UNA 1 | |
E 4 = A 4 | |
E 5 = D 5 | |
E 6 | |
E 7 | |
E 8 | |
Affine (extendido) | |
E 9 o E 8 (1) o E 8 + | |
Hiperbólico (demasiado extendido) | |
E 10 o E 8 (1) ^ o E 8 ++ | |
Lorentzian (muy extendido) | |
E 11 o E 8 +++ | |
Kac – Moody | |
E 12 o E 8 ++++ | |
... |
En matemáticas , especialmente en la teoría de Lie , E n es el álgebra de Kac-Moody cuyo diagrama de Dynkin es un gráfico bifurcado con tres ramas de longitud 1, 2 y k , con k = n - 4.
En algunos libros y artículos antiguos, E 2 y E 4 se utilizan como nombres para G 2 y F 4 .
Álgebras de Lie de dimensión finita
El grupo E n es similar al grupo A n , excepto que el n-ésimo nodo está conectado al tercer nodo. Entonces, la matriz de Cartan parece similar, -1 por encima y por debajo de la diagonal, excepto por la última fila y columna, tiene -1 en la tercera fila y columna. El determinante de la matriz de Cartan para E n es 9 - n .
- E 3 es otro nombre para el álgebra de Lie A 1 A 2 de dimensión 11, con determinante de Cartan 6.
- E 4 es otro nombre para el álgebra de Lie A 4 de dimensión 24, con determinante de Cartan 5.
- E 5 es otro nombre para el álgebra de Lie D 5 de dimensión 45, con determinante de Cartan 4.
- E 6 es el álgebra de Lie excepcional de dimensión 78, con determinante de Cartan 3.
- E 7 es el álgebra de Lie excepcional de dimensión 133, con determinante de Cartan 2.
- E 8 es el álgebra de Lie excepcional de dimensión 248, con determinante de Cartan 1.
Álgebras de Lie de dimensión infinita
- E 9 es otro nombre para el álgebra de Lie afín de dimensión infinita (también como E 8 + o E 8 (1) como un (un nodo) extendido E 8 ) (o celosía E8 ) correspondiente al álgebra de Lie de tipo E 8 . E 9 tiene una matriz de Cartan con determinante 0.
- E 10 (o E 8 ++ o E 8 (1) ^ como una (dos-nodo) sobre-extendida E 8 ) es una dimensión infinita álgebra Kac-Moody cuya celosía raíz es la incluso Lorentzian unimodular celosía II 9,1 de dimensión 10. Se han calculado algunas de sus multiplicidades de raíces; para las raíces pequeñas, las multiplicidades parecen comportarse bien, pero para las raíces más grandes, los patrones observados se rompen. E 10 tiene una matriz de Cartan con determinante −1:
- E 11 (o E 8 +++ como (tres-nodo) muy extendida E 8 ) es un álgebra de Lorentz , que contiene uno tiempo-como dimensión imaginaria, que se ha conjeturado para generar el "grupo" simetría de la teoría M .
- E n para n ≥12 es un álgebra de Kac-Moody de dimensión infinita que no se ha estudiado mucho.
Celosía de raíz
El retículo raíz de E n tiene determinante 9 - n , y se puede construir como el retículo de vectores en el retículo unimodular de Lorentzian Z n , 1 que son ortogonales al vector (1,1,1,1, ..., 1 | 3) de la norma n × 1 2 - 3 2 = n - 9.
E7½
Landsberg y Manivel ampliaron la definición de E n para el entero n para incluir el caso n = 7½. Hicieron esto para llenar el "vacío" en las fórmulas de dimensión para las representaciones de la serie E n que fue observado por Cvitanovic, Deligne, Cohen y de Man. E 7½ tiene dimensión 190, pero no es un simple álgebra de Lie: contiene un álgebra de Heisenberg de 57 dimensiones como su nilradical .
Ver también
Referencias
- Kac, Victor G; Moody, RV; Wakimoto, M. (1988). "En E 10 ". Métodos geométricos diferenciales en física teórica (Como, 1987) . OTAN Adv. Sci. Inst. Ser. C Matemáticas. Phys. Sci. 250 . Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. págs. 109-128. Señor 0981374 .
Otras lecturas
- West, P. (2001). " Teoría E 11 y M". Gravedad clásica y cuántica . 18 (21): 4443–4460. arXiv : hep-th / 0104081 . Código Bibliográfico : 2001CQGra..18.4443W . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 18/21/305 .Clase. Quantum Grav. 18 (2001) 4443-4460
- Gebert, RW; Nicolai, H. (1994). "E 10 para principiantes". Notas de la conferencia de física : 197–210. arXiv : hep-th / 9411188 . doi : 10.1007 / 3-540-59163-X_269 . Actas de la conferencia conmemorativa de Guersey '94
- Landsberg, JM; Manivel, L. (2006). "Los sextonions y E 7½" . Avances en Matemáticas . 201 (1): 143-179. arXiv : math.RT / 0402157 . doi : 10.1016 / j.aim.2005.02.001 .
- Conexiones entre las álgebras de Kac-Moody y la teoría M , Paul P. Cook, 2006 [1]
- Una clase de álgebras de Lorentzian Kac-Moody , Matthias R. Gaberdiel, David I. Olive y Peter C. West, 2002 [2]